山东省济南市2021-2022学年高一上学期期末考试（学情检测）数学试题

济南市2022 年1 月高一年级学情检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“ 0 x  ，2 0 x  ”的否定是（）． A. 0 x  ，2 0 x  B. 0 x ，2 0 x  C. 0 x ，2 0 x  D. 0 x  ，2 0 x  2. 已知集合   1 0 A x x    ，   2 2 0 B x x x    ，则A B   （）． A.   0,2 B.   1,2 C.   1,2 D.   2, 3. 如果函数 ( ) y f x  在[ , ] a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“ ( ) ( ) 0 f a f b   ”是“函数 ( ) y f x  在( , ) a b 内有零点”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ln3 a  ， 23π sin 3 b  ， 2 3 3 c   ，则a，b，c 的大小关系是（）． A. a b c   B. a c b   C. c b a   D. c a b   5. 函数  1 e cos 1 e x x f x x     ，   π,π x 的图象形状大致是（）． A. B. C. D. 6. 电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的 一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿 观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮 实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为 6000 等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1 密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌 人两地堡之间的距离是54 米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800 米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将 迫击炮转动的角度（）． 注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200 密位时，扇形的弦长和弧长近似相等； （ⅱ）取π 等于3 进行计算． A. 30 密位 B. 60 密位 C. 90 密位 D. 180 密位 7. 已知函数 1 4 2 4 x x f x     ，   1,1 x ，则函数  y f x 的 值域为（）． A.   3, B.   3,4 C. 13 3, 4       D. 13,4 4       8. 正割  secant 及余割  cosecant 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔 威发首先引入的 ．定义 正割 1 sec cos    ，余割 1 csc sin    ．已知m 为正实数，且 2 2 csc tan 15 m x x    对任意 的实数 π , 2 k x x k         Z 均成立，则m 的最小值为（） A. 1 B. 4 C. 8 D. 9 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对得5 分；部分选对的得2 分；有选错的得0 分． 9. 2 2 2sin cos 1 cos 1 sin x x x x    的值可能为（）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 下列命题为真命题的是（）． A. 若 2 2 a b c c  ，则a b  B. 若 0 b a   ， 0 m  ，则 a m a b m b    C. 若a b  ，c d  ，则a c b d    D. 若 2 2 a b  ， 0 ab  ，则 1 1 a b  11. 设函数    cos 0,0 π f x x          是R 上的奇函数，若  f x 在区间 π π , 4 3      上 单调递减，则的取值可能为（）． A. 6 B. 4 C. 3 2 D. 1 2 12. 已知函数        , 0,1 1 1 , 1, 2 x x f x f x x           ，则以下结论正确的是（）． A. 函数  f x 为增函数 B. 1 x  ，   2 0, x  ，    1 2 1 f x f x   C. 若  3 8 f x  在   , x n  上恒成立，则n 的最小值为2 D. 若关于x 的方程      2 2 1 2 0 m f x f m m x         R 有三个不同的实根，则 8 4 m    三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 2 3 6 6 log 3 log 12 8   的值为______． 14. 已知tan 4  ，则 4sin 2cos 5cos 3sin       的值为______． 15. 如果在实数运算中定义新运算“a b  ”：当a b 时， 2 4 a a b    ；当a b  时， 1 lg a b b   ．那么函数     2 1 4 y x x    的零点个数为______． 16. 已知函数    ln 1 a f x ax a x     ，则无论a 取何值，  f x 图象恒过的定点坐标______； 若  f x 在  2,5 上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合   2 A x a x a   ，集合  1 B x x   或  5 x  ，全集U R ． （1）若 1 a ，求  UA B  ð ； （2）若A B   ，求实数a 的取值范围． 18. 在① π 6 x  是函数  f x 图象的 一条对称轴，②函数  f x 的最大值为2，③函数  f x 图象 与y 轴交点的纵坐标是1 这三个条件中选取两个补充在下面题目中，并解答． 已知函数    π sin 2 0,0 2 f x A x A             ，______． （1）求  f x 的解析式； （2）求  f x 在 π 0, 2      上的值域． 19. 已知函数  2 log 1 a x f x x    为奇函数． （1）求实数a 的值； （2）若    2 2 log 4 3 0 m x f x x     恒成立，求实数m 的取值范围． 20. 自新冠疫情爆发以来，全球遭遇“缺芯”困境，同时以美国为首的西方国家对中国高科技企 业进行打压及制裁．在这个艰难的时刻，我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板 电脑，并从2021 年起全面发售．经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350 万元，每生 产x（千台）电脑需要另投成本 T x （万元），且 2 100 1000,0 40 10000 601 7450, 40 ax x x T x x x x             ，另 外，每台平板电脑售价为0.6 万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出．已知2021 年共售 出10000 台平板电脑，企业获得年利润为1650 万元． （1）求企业获得年利润  W x （万元）关于年产量x（千台）的函数关系式； （2）当年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 21. 我们知道，函数  y f x  的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数  y f x  为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数  y f x  的图象关于点  P m n , 成中心对称图形 的充要条件是函数   y f x m n    为奇函数．已知  4 2 4x f x  ． （1）利用上述结论，证明：  f x 的图象关于 1 ,1 2      成中心对称图形； （2）判断  f x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式   2 1 2 f ax x f x     ． 22. 已知奇函数  f x 和偶函数 g x 满足   3sin e e x x g x x f x      ． （1）求  f x 和 g x 的解析式； （2）存在 1 x ，   2 0, x  ，使得     2 2 1 1 e x f x a x g     成立，求实数a 的取值范围． 1【答案】A 2【答案】C 3【答案】A 4【答案】B 5【答案】D 6【答案】A 7【答案】B 8【答案】D 9【答案】BD 10【答案】AC 11【答案】ACD 12【答案】BCD 13【答案】6 14【答案】2 15【答案】1 16【答案】 ①.   1,1 ②. 1 ,0 4        17【答案】（1）    ,1 3,    （2）   , 3 5,    【小问1 详解】 当 1 a 时 ，   1 3 A x x   ， 所 以     U ,1 3, A      ð ， 则       U ,1 3, A B       ð ； 【小问2 详解】 因为A 真含于B，所以满足 2 1 a   或 5 a  ，解得：    , 3 5, a   ，所以实数a 的 取值范围是   , 3 5,    18【答案】（1）条件选择见解析， ( ) 2sin(2 ) 6 f x x    ； （2）[ 1,2]  . 【小问1 详解】 选择①②， 2 A ，由2 2 , Z 6 2 k k          及 π 0 2    得： 0, 6 k     ， 所以 ( ) f x 的解析式是： ( ) 2sin(2 ) 6 f x x    . 选择①③，由2 2 , Z 6 2 k k          及 π 0 2    得： 0, 6 k     ，即 ( ) sin(2 ) 6 f x A x    ， 而 (0) 1 f ，则 sin 1 6 A  ，即 1 1 2 A  ，解得 2 A ， 所以 ( ) f x 的解析式是： ( ) 2sin(2 ) 6 f x x    . 选择②③， 2 A ，而 (0) sin 2sin 1 f A     ，即 1 sin 2  ，又 π 0 2    ，则有 6 π   ， 所以 ( ) f x 的解析式是： ( ) 2sin(2 ) 6 f x x    . 【小问2 详解】 由(1)知， ( ) 2sin(2 ) 6 f x x    ，当 π 0 2 x  时， 7π 2 6 6 6 x      ， 则当2 6 2 x     ，即 6 x   时， max ( ) 2 f x ，当 7 2 6 6 x     ，即 2 x   时， min ( ) 1 f x  ， 所以函数  f x 在 π 0, 2      上的值域是[ 1,2]  . 19【答案】（1） 1 a  （2）  2, 【小问1 详解】 由题意得：    f x f x   ，即 2 2 log log 1 1 a x a x x x      ，解得： 1 a ， 当 1 a  时， 1 0 1 a x x     ，不合题意，舍去， 所以 1 a ,经检验符合题意； 【小问2 详解】 由 1 0 1 x x    ，解得：1 1 x   ，由 2 4 3 0 x x    得： 1 x  或 3 x  ， 综上：不等式中   1,1 x ，    2 2 log 4 3 0 m x f x x     变形为    2 log 1 3 m x x       ， 即    2 log 1 3 m x x       恒成立， 令     2 2 2 2 log 2 3 log 1 4 g x x x x            ，当   1,1 x 时，  ,2 g x  ， 所以 2 m ，实数m 的取值范围为  2,. 20【答案】（1）  2 10 500 2350,0 40 10000 6100, 40 x x x W x x x x             （2）当年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大，最大年利润为5900 万元. 【小问1 详解】 10000 台平板电脑, 即10 千台，此时  10 100 2000 T a   ，根据题意得： 0.6 10000 100 2000 1350 1650 a      ， 解 得 ： 10 a  ， 故 当 0 40 x   时 ，  2 2 0.6 1000 1350 10 100 1000 10 500 2350 W x x x x x x          ， 当 40 x≥ 时 ，  10000 10000 0.6 1000 1350 601 7450 6100 W x x x x x x          ， 综 上 ：  2 10 500 2350,0 40 10000 6100, 40 x x x W x x x x             ； 【小问2 详解】 当0 40 x   时，    2 2 10 500 2350 10 25 3900 W x x x x       ，当 25 x  时，  W x 取得最大值， max 3900 W x  ； 当 40 x≥ 时，  10000 10000 10000 6100 6100 6100 2 5900 W x x x x x x x                 ，当且仅当 10000 x x  ，即 100 x  时，等号成立， max 5900 W x  ，因为5900 3900  ，所以当年产量 为100（千台）时，企业所获年利润最大，最大年利润为5900 万元. 21【小问1 详解】 证明：∵  4 2 4x f x  ，令 1 1 2 g x f x          ， ∴ 1 2 4 4 2 2 4 1 4 1 2 2 4 2 2 4 1 4 2 4 x x x x x x g x             ，即 1 4 1 4 x x g x   ， 又∵   1 4 4 1 1 4 4 1 x x x x g x g x           ， ∴ g x 为奇函数， 有题意可知，  f x 的图象关于 1 ,1 2      成中心对称图形； 【小问2 详解】 易知函数 2 4x y  为单调递增函数，且2 4 0 x   对于xR 恒成立, 则函数  4 2 4x f x  在R 上为单调递减函数， 由（1）知，  f x 的图象关于 1 ,1 2      成中心对称图形，即   1 2 f x f x   ， 不等式   2 1 2 f ax x f x     得：   2 1 2 f ax x f x     ， 即    2 1 1 f ax x f x     ，则 2 1 1 ax x x    ， 整理得   2 1 0 x a x    ， 当 1 a  时，不等式的解集为  0 x x  ； 当 1 a  时，不等式的解集为     1 0 x x a x   或 ； 当 1 a  时，不等式的解集为     0 1 x x x a   或 . 22【答案】（1） 3sin f x x  ， e e x x g x    （2） 9 , 4 a        【小问1 详解】 因为奇函数  f x 和偶函数  g x 满足   3sin e e x x g x x f x      ①，所以       3sin e e x x f g x f x g x x x          ②；联立①②得：  3sin f x x  ，  e e x x g x    ； 【小问2 详解】     2 2 1 1 e x f x a x g     变形为 2 2 1 e e 3sin x x a x    ，因为   1 0, x  ，所以   1 3sin 3,3 x  ，所以   2 2 e e 3,3 x x a    ， 当 0 a 时，   2 e 3,3 x  在   2 0, x  上有解，符合要求； 令 e e x x h x a    ，由对勾函数可知，当 1 a 时， e e x x h x a