山东省2021-2022学年高二12月“山东学情”联考数学试题

高二数学 第1 页 共4 页 山东学情2021 年12 月份高二质量检测 数学试题（A 版） 考试时间：120 分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.抛物线 2 4 y x  的焦点F 到其准线的距离为（ ） A. 1 8 B. 1 4 C. 1 2 D.2 2.在等差数列{an}中，a3＝3，a5＝5，其前n 项和为Sn，则 10 S 的值为( ) A.10 B.55 C.100 D.110 3.在四棱锥P ABCD  中，底面ABCD 是平行四边形，E 为PD 的中点，若     DA a ，    DC b ，     DP c ，则用基底  , , a b c   表示向量BE  为（ ） A. 1 2      a b c B. 1 2      a b c C. 1 2       a b c D. 1 2       a b c 4.在等比数列{an}中，若 1 5 , a a 是方程x2＋4x＋3＝0 的两根， 则a3 的值是( ) A.－2 B.－3 C. 3 D.± 3 5.m = 1 6 是两直线x + 2my −1 = 0，3���−1 ���−������−1 = 0 平行的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.在下列四个命题中： ①若向量a，b 所在的直线为异面直线，则向量a，b 一定不共面； ②向量a＝(2,-1,2)，b＝(－4,2，m)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 m<5； ③直线 1 x y a b   的一个方向向量为(1, −��� ���)； ④若存在不全为0 的实数x,y,z 使得xa+���b+zc=0,则a，b，c 共面. 其中正确命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 高二数学 第2 页 共4 页 7.等差数列 n a 满足：1 0 a  ， 3a5=5a8.当数列 n a 的前n 项和 n S 取最大值时，n （ ） A.12 B.13 C.14 D.15 8. 已知⊙C：���2 −10���+ ���2 + 16 = 0, 直线���:x −y + 1 = 0 .P 为l 上的动点. 过点P 作 ⊙C 的切线PA、PB，切点为A、B，当������⋅������最小时，直线AB 的方程为（ ） A. x + y −5 = 0 B. x −y −1 = 0 C. 2x −y −1 = 0 D. x −y −2 = 0 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.下列说法正确的是（ ） A.直线2x + y = 2 与直线x + 2y = 1 垂直. B.过点（1,2）的直线被圆x2 + ���2 −6���= 0 所截得的弦的长度的最小值为2. C.直线l：mx −y + 1 −m = 0 与圆C：���2 + ���−1 2 = 5 的位置关系不确定. D.若直线mx+ny=1 与圆���2 + ���2 = 1 相交，则点P（m,n）在圆外. 10.如图，已知棱长为的1 正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，F 为线段 1 BC 的中点，E 为线段 1 1 AC 上的动点，则下列四个结论正确的 是（ ） A.存在点E ，使EF ∥BD B.点E 到直线������距离的最小值为1 C.当E 为 1 1 AC 的中点时，EF 与 1 AD 所成的角等于60° D.三棱锥 1 B ACE  的体积为定值 11.双曲线 2 2 2 2 2 2 2 : 1,( , 0, 0, 0) x y C a b c a b c a b        的左右焦点分别为 1 2 , F F ,以 1 2 F F 为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于 , M N ( , M N 均在第一象限)，连接 1 MF ， 交另一支渐近线于E ， 且E 为 1 MF 的中点， O 是坐标原点.下列说法正确的是 （ ） A.双曲线的离心率 2 e = B.双曲线的渐近线方程为 3 0 x y   C.当a=1 时， 1 2 NF F  的面积为3 D.当a=1 时， 1 2 NF F  的周长为4 2 7  12.设数列 n a 是无穷数列， 若存在正整数k， 使得对任意 , n N   均有an+k > an,则称 n a 是间隔递增数列，k 是 n a 的间隔数.则下列说法正确的是（ ） A.公比大于1 的等比数列一定是间隔递增数列 B.已知an 4 =n+ n ，则 n a 是间隔递增数列且最小间隔数是4 C.已知an   2 1 n n   ，则 n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3 D.已知an 2 2021, n tn    若 n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t<5 高二数学 第3 页 共4 页 第II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知数列 n a 是首项为1，公比为2 的等比数列，则数列  2 n a 的前n 项和为 ______________ 14. 在棱长为1 的正方体������������−���1���1���1���1 中，直线 1 AD 与平面BD���1 之间的距离 为 . 15.与圆C： ���2 + ���2 −2���+ 4���= 0 外切于原点， 且被y 轴截得的弦长为8 的圆的标准方程 为 . 16.双曲线 2 2 2 2 1 x y a b - = 的离心率是 2 ，点 1 2 , F F 是该双曲线的两焦点，P 在双曲线上，且 PF1⊥x 轴，则△PF1F2 的内切圆和外接圆半径之比r R = 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知空间三点A，B，C，三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3). （1）求与AB →共线的单位向量. （2）若P(1, 7 2 , ���),且A，B，C，P 四点共面，求���，并求此时点P 到直线AB 的距离. 18.已知{an}是递增等差数列，{bn}是正项等比数列，b1＝2a1＝2，b3＝2a4，b5＝5a6＋2. （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）若       n n b a 的前n 项和为Sn，若对任意的正整数n，都有Sn<m 恒成立.求实数m 的最小值. 19.已知点A、B 在直线x+y=0 上且关于坐标原点O 对称，│AB│=4，圆M 过点A、B 且 与直线x+2=0 相切. （1）求圆M 的半径. （2）若圆M 的半径小于4，求过点P 1，3 且与圆M 相切的直线方程. 高二数学 第4 页 共4 页 20.已知抛物线 2 2 ( 0) y px p   的焦点为F，过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A,B， OAB  的面积为9 8 （O 为坐标原点）. （1）求抛物线的标准方程； （2)过点P（1,0）的直线l 交抛物线于M,N,且 3 MP PN   ,求MN . 21.在平行六面体������������−���1���1���1���1中，底面是边长为2 的正方形，侧棱������1的长为2，且 ∠���1������= ∠���1������= 60°. （1）证明：平面���1������⊥平面ABCD （2）求平面���1������与平面���1���1���的夹角 （3）在线段������1上是否存在点���，使������∥平面���1���1���?若存在求出点���的坐标，不存在说 明理由. 22.在平面直角坐标系中，点P 为椭圆C ：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     上的一点， 1 F ， 2 F 分别为 椭圆左右焦点， 若△ 1 2 F PF 的面积的最大值为3 ， 且以原点为圆心， 短半轴长为半径的 圆与直线3 4 5 0 x y    相切. （1）求椭圆C 的方程； （2）若过点  1,0 直线l 与椭圆C 交于不同的两点A，B，点D 是椭圆C 的右顶点，直线 DA， DB 分别与y 轴交于M， N 两点， 试问： 以线段MN 为直径的圆是否过x 轴上的定点? 若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.