浙江省钱塘联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

（北京）股份有限公司 绝密★考试结束前 2022 学年第二学期钱塘联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设 为两个不同的平面， 为两条不同的直线，且 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A.3 B. C. D. 4.已知向量满足 ，向量 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量为（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 5.若 ，则（ ） A. B. C. D. 6.已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7.龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇官盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆 台.现有一龙洗盆高 ，盆口直径 ，盆底直径 .现往盆内倒入水，当水深 时，盆内水的体 积近似为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ，则函数 零点个数最多是（ ） A.10 B.12 C.14 D.16 二､多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.若 ，其中为虚数单位，则（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. 的共轭复数为 D. 的实部为1 10. 的内角 的对边分别为 ，下列说法正确的是（ ） A.若 则 外接圆的半径等于1 B.若 ，则此三角形为直角三角形 C.若 ，则解此三角形必有两解 D.若 是锐角三角形，则 11.设 ，且 ，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 的最小值为 12.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体组成，目前发现了共有13 个这种几何体，而 截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知 一截角四面体的棱长为2.下列说法正确的是（ ） A.每一个截角四面体共有18 条棱，12 个顶点 B.该截角四面体的表面积为 C.该截角四面体的体积为 D.该截角四面体的外接球半径为 非选择题部分 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形 的直观图，其中 ，则三角形 的面 （北京）股份有限公司 积为__________. 14.若直线 不平行平面 ，则以下命题成立的是__________. ① 内的所有直线都与 异面； ② 内不存在与 平行的直线； ③ 内直线都与 相交； ④直线 与平面 有公共点. 15.多面体 的各顶点在半径为2 的球面上， 是矩形， ，则多面体体积的最 大值为__________. 16.如图，设 中的角 所对的边是 ，已知 ， ， 点 分别为边 上的动点，线段 交 于点 ，且 ，若 ，则 __________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（10 分）已知向量 满足 . （1）若 ，求向量 的坐标； （2）若 ，求向量 与向量 夹角的余弦值. 18.（12 分）已知 内角 的对边分别为 ，设 . （北京）股份有限公司 （1）求 ； （2）若 的面积为 ，求 的值. 19.（12 分）如图，在正方体 中 分别是棱 的中点，设 是线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 20.（12 分）已知 为坐标原点，向量 ，设 （1）求 单调递增区间； （2）在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，求 的取值范围. 21.（12 分）在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常 严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度 （单 位：毫克/立方米）随着时间 （单位：天）变化的函数关系式近似为 ，若多次喷洒， 则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去 污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用. （1）若一次喷洒4 个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ （北京）股份有限公司 （2）若第一次喷洒2 个单位的去污剂，6 天后再喷洒 个单位的去污剂，要使接下来的3 天能够 持续有效去污，求 的最小值. 22.（12 分）已知函数 （其中 ）. （1）若 且方程 有解，求实数 的取值范围； （2）若 是偶函数，讨论函数 的零点情况. 2022 学年第二学期钱塘联盟期中联考 高一年级数学学科参考答案 一､单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B A B B 二､多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 题号 9 10 11 12 答案 BD ABD ACD ABD 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 14.④ 15. 16. [部分解析] 8.解：图象法 设 ，则：① 时， 没有根； （北京）股份有限公司 ② 时， 有11 个根； ③ 时， 有12 根； 12.如图，每截去一个角，就增加了3 条棱，2 个顶点，所以截角四面体的棱数和顶点数分别为 ，A 正确； 截角四面体表面积由4 个等边三角形和4 个正六边形构成，所以表面积为 截角四面体体积由棱长为6 的正四面体体积减去 棱长为2 的4 个正四面体的体积和， 是正六角 形 的中心， ， 小正四面体的高为 ， 所以 ，C 错； 是正三角形 的中心，由正四面体的对称性知截角四面体的外接球 的球心 在原正四面体的高上，设球 的半径为 ，在 中， （北京）股份有限公司 ，在Rt 中， ，所以 ， 故 .D 正确. 13.解法一：如图 ，所以 且 为正三角形， . 解法二 . 14.因为直线 不平行平面 ，所以直线 与平面 的位置关系是：直线 在平面 内､直线 与平面 相交， 故④正确. 15. 最大，则 到平面 的距离最长. 16.设 ， （北京）股份有限公司 三点共线， .① 又 ， .②由①②得 或 （舍去）故 ， （或者在 中可以用余弦定理求出 .） 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.解（1） 可设 法二：设 ，做对一样给分. （2） 即 （注：有公式 ， 也给2 分） 18.解（1）化简得： 整理得： （北京）股份有限公司 由正弦定理可推得： 因此 （2） 19.解（1）证明：连结 ， 因为正方体 ，所以 ， 四边形 为平行四边形， 平面 平面 ， 平面 ， 取 中点 连结 ， 是 和 的中点 四边形 为平行四边形， 同理可得： 平面 ， 面 面 面 ， （北京）股份有限公司 （2）因为正方体 ，所以点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等， ， . 20.解（1） 的单调递增区间为 （2） 或 即 或 （舍去） 因此 （北京）股份有限公司 所以 所以 21.解（1）释放的去污剂浓度为 ， 当 时， ，解得 ，综上所述 ； 当 时， ，解得 ，即 ； 故一次投放4 个单位的去污剂，有效去污时间可达7 天. （2）设从第一次喷洒起，经 天，则浓度 ， ，当且仅当 即 . 所以 的最小值为 . 22.解（1）因为方程 有解，所以方程 有解， （北京）股份有限公司 即 的值域与方程 的值域相同. 所以 ，即 ，故 ； （2）因为 是偶函数，所以 ， 有 ，解得 ，经检验 满足题意. 函数 的零点情况等价于 的解的情况， 即 ，讨论 的解的情况， 令 ，则 当 时， ，此时方程 无解， 当 时，函数 开口向上，且恒过定点 ， 则只有一解，此时方程 只有1 解， 当 时，函数 开口向下，且恒过定点 ，且函数的对称轴 ，则方程（*）无解， （北京）股份有限公司 综上所述：当 时函数无零点，当 时函数有一个零点. （北京）股份有限公司