湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

华中师大一附中2021-2022 学年度第二学期期中检测 高一年级数学试题 本试卷分四个大题，满分150 分，考试用时90 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填 写在规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改 液，胶带纸、修正带和其他笔． 一、单项选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．每小题只有一个选项符合题 意） 1. 已知复数 5 i 1 i z   （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z （） A. 2 3i  B. 2 4i  C. 3 3i  D. 2 4i  2. 已知向量a ，b  满足   4, 1,2 2 a b     ，且   2 3 a b a b      ．则向量a 与向量b  的夹角 是（） A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  3. 函数  2 1 sin 1 ex f x x          图象的大致形状为（） A. B. C. D. 4. 已知a R  ，“实系数一元二次方程 2 9 0 4 x ax    的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足 2 z 且 1 z a  ”的（）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 5. 如图，棱长为2 正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  ，O 为底面AC 的中心，点P 在侧面 1 BC 内运动且 1 D O OP  ，则点P 到底面AC 的距离与它到点B 的距离之和最小是() A. 8 5 B. 12 5 C. 5 D. 2 2 6. 已知复数z 满足： 2 7 6i 4 z  （i 为虚数单位），且z 在复平面内对应的点位于第三象限，则 复数z 的虚部为（） A. i  B. 2i C. 3 2 D. 3 7. ABC  中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若 2 2 2 4 ABC a b c S     且 ( ) 0 | | | | AB AC BC AB AC    � � � ，则ABC  的形状是（） A. 有一个角是6  的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘： 给定两个不共线的空间向量a  与b  ，a b    规定：①a b    为同时与a  ，b  垂直的向量；②a  ， b  ，a b    三个向量构成右手系（如图1）；③ sin , a b a b a b     ；④若   1 1 1 , , a x y z   ，   2 2 2 , , b x y z   ，则 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , y z x z x y a b y z x z x y          r r ，其中, , a b ad bc c d   ．如图2， 在长方体中 1 1 1 1 ABCD A B C D  ， 2 AB AD  ， 1 3 AA ，则下列结论正确的是（） A. 1 AB AD AA   � B. AB AD AD AB    � C.   1 1 1 AB AD AA AB AA AD AA       u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r D. 长方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的体积   1 V AB AD C C    u u u r u u u r u u u u r 二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5 分，少选得3 分，共 20 分） 9. 定义：a ，b  两个向量的叉乘 sin , a b a b a b   r r r r r r ，则以下说法正确的是（） A. 若 0 a b    ，则// a b   B.    a b a b      r r r r C. 若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积等于AB AD  � D. 若 3 a b  r r ， 1 a b    ，则a b    的最小值为 6 10. 已知函数  (sin cos ) sin cos f x x x x x    ，下列说法正确的是（） A. ( ) f x 是周期函数 B. 若    1 2 2 f x f x  ，则 1 2 k 2 x x    ( ) k Z C. ( ) f x 在区间 , 2 2        上是增函数 D. 函数( ) ( ) 1 g x f x   在区间[0,2 ]  上有且仅有1 个零点 11. 设复数z 在复平面内对应的点为Z，原点为O，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（） A. 若|z|＝1，则z＝±1 或z＝±i B. 若点Z 的坐标为（－1，l），则z＋1 是纯虚数 C. 若 3 2i z   ，则z 的虚部为－2i D. 若1 | | 2 z   ，则点Z 的集合所构成的图形的面积为 12. 已知 ABC  的内角分别为 , , A B C ，满足 sin :sin :sin ln2:ln4:ln ( 0) A B C t t   ，且 2 CA CB mAB  � �  ( ) m R  ，则以下说法中正确的有（） A. 若 ABC  为直角三角形，则 5 2 t  ； B. 若 1 8 m  ，则 ABC  为等腰三角形； C. 若 4 t ，则 ABC  的面积为 2 15 ln 2 4 ； D. 若 2 C   ，则 2 0 9 m    ． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 在ABC  中，点D 满足 3 4 BD BC  ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC     � ， 则   2 2 1 t      的最小值是________． 14. 在ABC  中，内角 , , A B C 的对边分别为, , a b c ，且(2 )cos cos c b A a B   ， 2 a  ，则 ABC  外接圆的面积为______. 15. 已知i 是虚数单位，则 2022 2022 2 1 i 1 i 1 i                    ________. 16. 半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多 面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八 个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为____ _______；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为______ _____. 四解答题：（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．） 17. 已知复数 2 2 ( 1)i( ) z m m m m      R ，其中i 为虚数单位． （1）若z 是纯虚数，求实数m 的值； （2）若m＝2，设 i i( , ) i z a b a b z    R ，试求a＋b 的值． 19. 设ABC  的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， tan b a B  ，且A 为钝角． （1）证明： 2 A B    ； （2）求sin sin B C  的取值范围． 21. 已知函数 2 si 1 ( ) cos2 (1 2sin ) 2 2 n x x f x x    ，其中xR ． （1）求使得 1 ( ) 2 f x  的取值范围； （2）ABC  为锐角三角形，O 为其外心， 6 2, ( ) 2 8 4 A BC f     ，令t C AO B   � � ，求实数 t 的取值范围． 23. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两 条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知 π 6 AOB   ，弓形花园的弦长 2 3 AB  ，记弓形花园的顶点为M ， π 6 MAB MBA    ， 设 OBA    . （1）将OA 、OB 用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才 使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？ 24. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面 都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD  中，侧棱PD 底面ABCD ， 且PD CD  ，过棱PC 的中点E ，作EF PB  交PB 于点F ，连接 , , , . DE DF BD BE （1）证明： PB DEF 平面 ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角 （只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）记阳马P ABCD  的 体积为 1 V ，四面体EBCD 的体积为 2 V ，求 1 2 V V 的值； （3）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的 大小为 π 3 ，求 DC BC 的值． 26. 设O 为坐标原点，定义非零向量   , a M b O  � 的“相伴函数”为  sin cos f x a x b x       , , x R OM a b   � 称为函数  sin cos f x a x b x   的“相伴向量" （1）设函数 2sin cos 3 6 g x x x                  ，求函数 g x 的 相伴向量OM � （2）记   0,2 OM  � 的“相伴函数"为  f x ，若方程  1 2 3 sin f x k x  在区间[0，2] 上有且仅有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围； （3）已知点   , M a b 满足 2 2 4 3 1 a ab b   ，向量OM � 的“相伴函数”  f x 在 0 x x  处取得最 大值，当点M 运动时，求 0 tan 2x 的取值范围. 【1 题答案】 【答案】A 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】A 【4 题答案】 【答案】D 【5 题答案】 【答案】A 【6 题答案】 【答案】C 【7 题答案】 【答案】D 【8 题答案】 【答案】C 【9 题答案】 【答案】ACD 【10 题答案】 【答案】AB 【11 题答案】 【答案】BD 【12 题答案】 【答案】BD 【13 题答案】 【答案】 9 10 ##0.9 【14 题答案】 【答案】 4 3  【15 题答案】 【答案】 2 【16 题答案】 【答案】 ①. 4 ②. 8 3 【17 题答案】 【答案】（1）2  （2） 7 5 【小问1 详解】 由题意可得： 2 2 0 m m   ，且 1 0 m  ， 2 m   ； 【小问2 详解】 若m＝2，则 4 i z ， 所以 2 i 4 2i 2 i (2 i) 3 4i i i 4 2i 2 i (2 i)(2 i) 5 z a b z                ， 3 5 a   ， 4 5 b  ， 7 5 a b   . （2）由（1）求出角B 的范围，并将sin sin B C  表示成B 的函数，求出函数值域作答. 19【小问1 详解】 在ABC  中，由 tan b a B  及正弦定理得： sin sin sin cos B B A B   ，而0 B    ，sin 0 B  ， 于是得sin cos A B  ，即有sin sin( ) 2 A B    ，又A 为钝角，有B 为锐角，即 ( , ) 2 2 B     ， 则 2 A B    ， 所以 2 A B    ． 【小问2 详解】 由（1）知， ( ) 2 0 2 C A B B         ，即 (0, ) 4 B   ， 于是 2 sin sin sin sin( 2 ) sin cos2 2sin sin 1 2 B C B B B B B B           2 1 9 2(sin ) 4 8 B    ， 由0 4 B    得： 2 0 sin 2 B   ，因此 2 2 1 9 9 2(sin ) 2 4 8 8 B     ， 所以sin sin B C  的取值范围是 2 9 ( , ] 2 8 . 【21 题答案】 【答案】（1） , , 4 k k k           Z （2） ( 2,2) t  【小问1 详解】 由题意得： 2 1 1 1 1 ( ) cos2 (1 2sin )sin cos2 cos sin sin 2 cos2 2 2 2 2 2 x f x x x x x x x x        2 sin(2 ) 2 4 x    . 令 2 1 sin(2 ) 2 4 2 x    ，得 2 sin(2 ) 4 2 x    即 3 2 2 2 4 4 4 k x k           ， 故x 的取值范围为 , , 4 k k k           Z ． 【小问2 详解】 6 ( ) 2 8 4 A f    ，则 3 sin 2 A  ，又0 2 A    ，则 3 A   ， 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 t AO BC AO AC AB AC AB b c          � 由正弦定理，可知 4 2 sin 3 a R A   ，则 4 4 sin , sin 3 3 b B c C   ∴ 2 2 2 2 8 8 (sin sin ) sin sin ( ) 3 3 3 t B C B B             4 3sin(2 ) 3 3 B    又ABC  为锐角三角形，则6 2 B     . 2 4 2 3 3 3 B        则 3 3 sin(2 ) 2 3 2 B      ， ∴ ( 2,2) t  【23 题答案】 【答案】（1） 4 3sin OA   ， 4 3sin 6 OB          ； （2）当 6 3 2 OA OB    时，OM 取最大值4 2 3  . 【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOB      ， π 6 AOB   ， 2 3 AB  ， 所以 5 6 OAB      ， 4 3sin OA   ， 5 4 3sin 4 3sin 6 6 OB                    . （2）因为 2 3 AB  ， π 6 MAB MBA    ，所以 2 AM BM  ， 在 OMB △ 中，由余弦定理易知 2 2 2 2 cos 6 OM OB BM OB BM               ， 即 2 2 48sin 4 16 3sin cos 6 6 6 OM                              2 48sin 24 28 8 3sin 2 24cos 2 8 3sin 2 28 6 3 3 3                                            3 1 2 16 3 cos 2 sin 2 28 16 3sin 2 28 2 3 2 3 3                                       ， 因为 5 0, 6         ，所以 2 2 7 2 , 3 3 3            ， 2 3 sin 2 1, 3 2                  ， 当 2 sin 2 1 3           ，即 5 12   时， 2 OM 取最大值28 16 3  ，OM 取最大值4 2 3  ， 此时 5 4 3sin 4 3sin 6 3 2 12 6 4 OA               ， 5 4 3sin 4 3sin 6 3 2 12 6 4 3 OB                       ， 故当 6 3