三峡名校联盟2022年春季联考2024届数学试卷

三峡名校联盟2022 年春季联考高2024 届 数 学 试 卷 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 命题人：忠县中学，王 琴 审题人：忠县中学，吴继成 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置. 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷:选择题 一、单选题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求. 1. 若复数 的共轭复数 满足: ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设 与 分别是两个不同平面和两条不同直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 3. 在 中， ， ， ，则 为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 若向量 ， 满足 ， ，则向量 ， 的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为 ，若侧棱长为 ， 则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点 为 所在平面内的一点，且 ， ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知如图，在三棱柱 中，底面 是等边三角形， ， 在底面的射影为 的中点， 为 的中点， 则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若 中， ，其重心 满足条件： ，则 取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目的要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得 0 分。 9. 给出以下四个命题，其中为假命题的是（ ） A. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 B. 若两个平面垂直，过一个平面内任意一点作其交线的垂线，则此垂线必垂 直于另一个平面 C. 若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 若一条直线与平面不平行，则此直线与平面相交 10. 某工厂生产小、中、大三种型号的客车，产品数量之比为 ，为检验 生产车辆是否合格，现打算抽取一个样本进行调查，若样本中的小型号客车有 14 辆，则下列说法正确的是（ ） A. 此样本量为70 B. 此样本中，大型车辆比中型车辆多14 辆 C. 此样本中，大型车辆有30 辆 D. 应采用的抽样方法为分层随机抽样 11. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列说法中正确 的是（ ） D1 A1 C1 A C B1 B A. 若 ，则 一定是等腰三角形 B. 若 ,则 一定是等边三角形 C. 若 ，则 一定是等腰三角形 D. 若 ，则 一定是锐角三角形 12. 已知正方形 的边长是2，点 、 分别是边 ， 的中点，将该 正方形沿对角线 折起，得到三棱锥 ,则在折起的过程中，以下结论 正确的是（ ） A. 异面直线 与 所成的角为定值 B. 存在某个位置，使得直线 与直线 垂直 C. 当平面 平面 时，三棱锥 内切球半径是 D. 三棱锥 的体积最大值为 第Ⅱ卷:非选择题 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.设向量 和 不平行，若向量 与 反向共线，则实数 = . 14. 欧拉公式： （是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发 明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立起三角函数和指数函数之间的 联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，求 的最大值为 . 15. 已知样本 ， ， ， 平均数为 ，样本 ， ， ， 平均数 为 ，且 ，若样本 ， ， ， ， ， ， ， 的平均数 ，当 ， ， 的大小关系是 . 16. 在三棱锥 中， 平面 , ， ， ， ， 则四面体 的外接球的表面积为 . 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分. 解答时要求写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 17.（本小题满分10 分）已知向量 ， 且 与 夹角为 ， （1）求 ； （2）若 ，求实数 的值． 18.（本小题满分12 分）在 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ，， 设 的面积为 ，在条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 解下列问题： （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的值. 条件①： 条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别解答，则按第一个计分 19.（本小题满分12 分）已知复数 ，求解 下列问题： (1) 若复数 为纯虚数，求 的值； (2) 当 时， 为实系数方程 的一个根，求 的值。 20.（本小题满分12 分）已知如图，在直三棱柱 中， 是边长 为2 的正三角形，点 ， 分别是棱 ， 上的点，点 是 上一动点， . (1) 若 为线段 的中点，证明： 平面 ； (2) 若 ，求 的长度. 21.（本小题满分12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边 形，平面 平面 ， 平面 ， ， ， (1) 求证： ； (2) 若 为 的中点.求 与平面 所成角 的正弦值. D C A B P M M A1 C1 B1 A B C E F 22.（本小题满分12 分）根据某城市的总体规划，计划将图中四边形区域 建设成生态公园，其中 ， ， ， 为公园道路(不计宽度).已 知条件： ， ， ， . (1) 求道路 的长度； (2) 如图所示，需建立一个观测站 ，并使得 F E D C B A