三峡名校联盟2022年春季联考2024届数学试卷

高2024 级数学试题 第 1 页 共 4 页 三峡名校联盟2022 年春季联考高2024 届 数 学 试 卷 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 命题人：忠县中学，王 琴 审题人：忠县中学，吴继成 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置. 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷:选择题 一、单选题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求. 1. 若复数z 的共轭复数z 满足:   2 1 1 z i i   ，则z （ ） A. 2 i  B. 3 － C. 3 D. 2 i － 2. 设 , 与 , m n分别是两个不同平面和两条不同直线， 则下列命题正确的是 （ ） A. 若 / / m n ， / / m ，则 / / n  B. 若 / / m n ，m   ，则n   C. 若 / / m ， / / m ，则 / /   D. 若n   ，n   ，则   3. 在ABC  中， 3 cos 5 A  ， 4 2 a  ， 5 b  ，则B 为（ ） A. 4  B. 3  C. 4 或3 4  D. 3 或2 3  4. 若向量a ，b 满足2 3 a b  ，   a a b   ，则向量a ，b 的夹角为（ ） A. 3  B. 6  C. 2 3  D. 5 6  5. 已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1: 3 : 3 ，若侧棱长为5 ， 则该棱台的侧面积为（ ） A. 20 B. 10 C. 13 3 3 D. 30 6. 已知点O 为ABC  所在平面内的一点，且 2 2 2 OA OB OC   ，OA OB   2 OB OC OC OA    ，则ABC  的面积为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 5 3 4 7. 已知如图， 在三棱柱 1 1 1 ABC A BC  中， 底面ABC 是等边三角形， 1 2 AB AA   ， 高2024 级数学试题 第 2 页 共 4 页 1 A 在底面的射影为BC 的中点， 1 D 为 1 1 B C 的中点， 则直线 1 A B 与平面 1 1 BBC C 所成角的正弦值为（ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 6 4 D. 3 3 4 8. 若ABC  中， 2 AB  ， 其重心G 满足条件： 0 BG AG   ， 则  2 2 + CA CB AB BC  取值范围为（ ） A.   80,160  B.   80,40  C.   40,80  D.   160,80  二、 多选题： 本大题共4 个小题， 每小题5 分， 共20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目的要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分。 9. 给出以下四个命题，其中为假命题的是（ ） A. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 B. 若两个平面垂直，过一个平面内任意一点作其交线的垂线，则此垂线必垂 直于另一个平面 C. 若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 若一条直线与平面不平行，则此直线与平面相交 10. 某工厂生产小、中、大三种型号的客车，产品数量之比为2: 5: 3 ，为检验生 产车辆是否合格，现打算抽取一个样本进行调查，若样本中的小型号客车有14 辆，则下列说法正确的是（ ） A. 此样本量为70 B. 此样本中，大型车辆比中型车辆多14 辆 C. 此样本中，大型车辆有30 辆 D. 应采用的抽样方法为分层随机抽样 11. 已知ABC  的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的 是（ ） A. 若cos cos a A b B  ，则ABC  一定是等腰三角形 B. 若cos( )cos( ) 1 A B B C   ,则ABC  一定是等边三角形 C. 若cosC cos a c A c  ，则ABC  一定是等腰三角形 D. 若cos(2 ) cos 0 B C C    ，则ABC  一定是锐角三角形 12. 已知正方形ABCD的边长是2，点M 、N 分别是边BC ，CD的中点，将该 正方形沿对角线BD折起，得到三棱锥A BCD  ,则在折起的过程中，以下结论 正确的是（ ） A. 异面直线AC 与BD所成的角为定值 B. 存在某个位置，使得直线AB 与直线CD垂直 C. 当平面ABD 平面BCD时，三棱锥A BCD  内切球半径是2 2 6  D. 三棱锥M ACN  的体积最大值为 2 6 D1 A1 C1 A C B1 B 高2024 级数学试题 第 3 页 共 4 页 第Ⅱ卷:非选择题 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.设向量a 和b 不平行， 若向量2 8 a b  与a b   反向共线， 则实数= . 14. 欧拉公式： cos sin ix e x i x   （i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明 的， 它将指数函数的定义域扩大到复数， 建立起三角函数和指数函数之间的联系， 被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，求 1 ix e  的最大值为 . 15. 已知样本 1 x ， 2 x ， ， n x 的平均数为x ，样本 1 y ， 2 y ， ， m y 的平均数 为y ， 且x y  ， 若样本 1 x ，2 x ， ，n x ，1 y ，2 y ， ，m y 的平均数   1 z ax a y    ， 当1 1 3 2 a   ，m ，n 的大小关系是 . 16. 在三棱锥P ABC  中， PA 平面ABC , 2 3 PA  ， 1 AB ， 3 AC  ， 2 BC  ， 则四面体PABC 的外接球的表面积为 . 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分. 解答时要求写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 17.（本小题满分10 分）已知向量 1 3 ( , ) 2 2 a  ， 2 b  且a 与b 夹角为2 3 ， （1）求2a b  ； （2）若( ) (2 ) a kb b a    ，求实数k 的值． 18.（本小题满分12 分）在ABC  中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ， 设ABC  的面积为S ，在条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解 下列问题： （1）求sin B 的值； （2）若 15 S  ， 10 a  ，求b 的值. 条件①：5 4 5 cos a c b C   条件②： 2 2 2 16 3( ) 3 S b a c    注：如果选择条件①和条件②分别解答，则按第一个计分 高2024 级数学试题 第 4 页 共 4 页 19.（本小题满分12 分）已知复数 2 10 (1 4 ) 2(3 2 ) ( ) 1 3 m z m i i m R i        ，求解 下列问题： (1) 若复数z 为纯虚数，求m 的值； (2) 当 1 m 时，1 3 z 为实系数方程 2 0 x bx c    的一个根，求c b  的值。 20.（本小题满分12 分）已知如图，在直三棱柱 1 1 1 ABC A B C  中，ABC  是边长 为2 的正三角形，点E ，F 分别是棱 1 CC ， 1 BB 上的点，点M 是AC 上一动点， 4, 2 EC FB   . (1) 若M 为线段AC 的中点， 证明： BM / / 平面AEF ； (2) 若 2 A BCEF A MEB V V    ，求AM 的长度. 21.（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD  中，底面ABCD为平行四边 形，平面ADP 平面APC ，AD 平面PCD， 4 PC PD   ， 6 AD  ， (1) 求证：PC PD  ； (2) 若M 为PA 的中点.求PC 与平面CDM 所成角 的正弦值. 22.（本小题满分12 分）根据某城市的总体规划，计划将图中四边形区域CDEF 建设成生态公园，其中CD，DE ，EF ，FC 为公园道路(不计宽度).已知条件： 90 FCD   ， 120 CDE   ， 1 CD DE km   ， 3 EF km  . (1) 求道路FC 的长度； (2) 如图所示，需建立一个观测站A ，并使得 30 FAC   ，AB DC  ，求A B 、两地的最大距离. D C A B P M M A1 C1 B1 A B C E F F E D C B A