福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题(1)

1 （北京）股份有限公司 龙岩一中2022-2023 学年第一学期高二第二次月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线 的倾斜角为 A． B． C． D． 2．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 A．24 B．36 C．48 D．72 3．直线 与直线 互相垂直，则它们的交点坐标为 A． B． C． D． 4．数列1， ， ， ， 的前n 项和为 A． B． C． D． 5．直线 分别与x 轴，y 轴交于 两点，点 在圆 ，则 面积的取值范围是 A． B． C． D． 6．数列 A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项 2 （北京）股份有限公司 7 “ ．几何学史上有一个著名的米勒问题：设点M，N 是锐角 的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P，使得 最 ” 大．如图，其结论是：点P 为过M，N 两点且和射线QB 相切的圆 与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P 在x 轴上移动，当 取最大值时， 点P 的横坐标是 A．1 B．-7 C．1 或-1 D．2 或-7 2 （北京）股份有限公司 8．已知数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过x 的最大整 数（例如 ， ）.则 A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9．若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d 可能等于 A．14 B．5 C．12 D．13 10．等差数列 中， ，公差 ， 为其前n 项和，对任意正整数n，若点 在以下4 条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是 A． B． C． D． 11．下列说法正确的是 A．过点 且在 、 轴截距相等的直线方程为 B．过点 且垂直于直线 的直线方程为 C．圆的一般方程为 2 2 0 x y Dx Ey F      D．直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围 5 3 , 12 4       3 （北京）股份有限公司 12 3 （北京）股份有限公司 ．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020 年底全县的绿地占全县 总面积的70%.从2021 年起，市政府决定加大植树造林､开辟绿地的力度，预计每年能将前 一年沙漠的18%变成绿地，同时，前一年绿地的2%又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的 是 A．2021 年底，该县的绿地面积占全县总面积的74% B．2023 年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的80% C．在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过90% D．在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到100%全覆盖 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．数列 中， 则 _____________． 14．设 n a 是公差为d 的等差数列， n b 是公比为q 的等比数列．已知数列  n n a b  的前 n 项和 2 * 2 1( ) n n S n n n N      ，则d q  的值是_______． 15．在直角坐标系 中，已知直线 ，当 变化时，动直线始终 没有经过点 ，定点 的坐标 ，则 的取值范围为 ． 16．已知动点 在圆 上，则 的取值范围是____________，若点 ，点  1,1 B ，则 的最小值为____________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17．（10 分） 已知等比数列 的首项 1 81 a  ，公比 1 9 q  ，数列 3 log n n b a  ． (1)证明：数列 为等差数列； 4 （北京）股份有限公司 (2)设数列 前 项和为 ，求使 的所有正整数 的值的和． 18. （12 分） 已知圆 的方程为： . （1）试求 的值，使圆 的周长最小； （2）求与满足（1）中条件的圆 相切，且过点 的直线方程． 19．（12 分） 4 （北京）股份有限公司 记 n S 为数列 n a 的前n 项和，已知 1 1, n n S a a      是公差为1 3 的等差数列． (1)求 n a 的通项公式； (2)记 ，试判断 n T 与2 的大小并证明． 20. （12 分） 已知圆 ，直线 . (1)求证：对 ，直线与圆 总有两个不同的交点； (2)若直线与圆 交于 两点，当 时，求直线的倾斜角． 21．（12 分） 已知数列 满足 ， ． （1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2）记数列 的前 项中最大值为 ，最小值为 ，令 ，称数列 是数列 “ ” 的中程数数列． （i “ ” ）求中程数数列 的前 项和 ； （ii）若 （ 且 ），求所有满足条件的实数对 ． 22．（12 分） 平面直角坐标系中，圆M 经过点 ， ， ． (1)求圆M 的标准方程； (2)设 ，过点D 作直线，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上． 1 2 1 1 1 n n T a a a      5 （北京）股份有限公司 （i）过点D 作与直线垂直的直线 ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为 S，求S 的最大值； （ii）设直线OP，BQ 相交于点N，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线 方程；若不是，说明理由． 5 （北京）股份有限公司 龙岩一中2022-2023 学年第一学期高二第二次月考 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B C A A D BCD ABC BD AC 13． 14．4 15． 16． 17.(1)证明：因为等比数列 的首项 ，公比 ， 所以 ，...................2 分 所以 ，............................3 分 所以 ， ， 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列；.................5 分 (2) 解：由（1）可得 ，所以 ，....................6 分 令 ，解得 ，........................8 分 又 ，所以 、 、、 、5、6、7、8，.........................9 分 ∴1+2+3+4+5+6+7+8=36 ∴所有正整数 的值的和为36..............................10 分 18.（1） ， 6 （北京）股份有限公司 配方得： ，................2 分 当 时，圆 的半径有最小值2，此时圆的周长最小...................4 分 （2）由（1）得， ，圆的方程为： . 当直线与 轴垂直时， ，此时直线与圆相切，符合条件；..............6 分 当直线与 轴不垂直时，设为 ，............7 分 6 （北京）股份有限公司 由直线与圆相切得： ，解得 ，..............10 分 所以切线方程为 ，即 ..................................11 分 综上，直线方程为 或 ......................12 分 19.(1)∵a1=1，∴S1=a1=1,∴S1 a1 =1, 又∵{ Sn an}是公差为1 3的等差数列， ∴Sn an =1+ 1 3 (n−1)=n+2 3 ,∴Sn= (n+2)an 3 ,...............3 分 ∴当n≥2时，Sn−1= (n+1)an−1 3 ，........................4 分 ∴an=Sn−Sn−1= (n+2)an 3 − (n+1)an−1 3 ,......................5 分 整理得：(n−1)an=(n+1)an−1, 即an an−1 = n+1 n−1,..........................6 分 ∴an=a1× a2 a1 × a3 a2 ×…× an−1 an−2 × an an−1 3 4 5 1 ( 1) 1 1 2 3 2 1 2 n n n n n n            ， 显然对于n=1也成立， ∴{an}的通项公式an=n (n+1) 2 ；...........................8 分 (2) 7 （北京）股份有限公司 1 an = 2 n (n+1)=2( 1 n − 1 n+1), ....................10 分 ∴1 a1 + 1 a2 +⋯+ 1 an ¿2[(1−1 2)+( 1 2 −1 3)+⋯( 1 n − 1 n+1)]=2(1− 1 n+1)<2 ∴ 2 n T  ...................12 分 20.（1）证明：直线 l 的方程可化为   1 1 y m x    ， 令 ，解得 ． ∴直线恒过定点 ．..............3 分 ∵ ， 7 （北京）股份有限公司 ∴点 在圆 内， ∴直线与圆 总有两个不同的交点. ...............6 分 （2）由 消去 整理得 ， 显然 ．....................8 分 设 ， 是一元二次方程的两个实根， ∴ ，....................9 分 ∵ ，....................10 分 ∴ ， 解得 ∴ ，即直线的斜率为 ....................12 分 ∴直线的倾斜角为 或 ....................12 分 21.解：（1）证明：依题意， ，即 ， 故 ，故数列 是等比数列，首项为 ，公比为 的等比数列， 8 （北京）股份有限公司 故 ，即 ；....................4 分 （2）因为 ，即 ， 故 时 ，即 ， 时， ，即 ， 故 ，故 ， ， 8 （北京）股份有限公司 所以 .......................6 分 ①设数列 的前n 项和为 ，则 ， ， 两式作差得， ， 即 ， 故 ；....................8 分 ②因为 ， ， ， 所以 ，即 ， 又因为 ， ， ，且 ， 可知 且 ，即 ，由 知， 时， ，故 ，即 ，但 ，故 符合题意； 时， ，故 ，即 ，但 ，故无解； 时， ，故 ，即 ，又 ，故 符合题意； 综上，所有满足条件的实数对 有 ．...................12 分 9 （北京）股份有限公司 22.(1) 解：设圆M 的方程为 ， 9 （北京）股份有限公司 则 ，解得 ， 所以圆M 的标准方程为 ；....................4 分 (2) 解：设直线的方程为 ，即 ， 则圆心 到直线的距离 ， 所以 ， （i）若 ，则直线 斜率不存在， 则 ， ， 则 ， 若 ，则直线 得方程为 ，即 ， 则圆心 到直线的距离 ， 所以 ， 则 ， 10 （北京）股份有限公司 当且仅当 ，即 时，取等号， 综上所述，因为 ， 所以S 的最大值为7；.................8 分 （ii）设 ， 10 （北京）股份有限公司 联立 ，消 得 ， 则 ， 直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 联立 ，解得 ， 则 ， 所以 ， 所以点N 在定直线 上...................12 分