湖北省孝感市2022-2023学年高二1月期末考试数学试卷

第1页，共1页 （北京）股份有限公司 湖北省孝感市2022-2023 年高二上学期1 月期末考试 数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷 上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题） 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知空间向量a ⃗ =(−1,2,−1)，b ⃗ =( x ,−1, y ).若⃗ a/​/⃗ b，则( ) A. x−y=1 B. x+ y=1 C. x+ y=0 D. x+ y=−2 2. 设不同的直线l1:2 x−my −1=0，l2:(m−1)x−y+1=0.则“m=2”是“l1/​/l2”的 ( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 将字母a，b，c分别填入标号为a，b，c的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格 的标号与所填的字母均不相同的概率是( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 4. 过点A(1,−1)，B(−1,1)，且圆心在直线x+ y −2=0上的圆的方程是( ) A. ( x −3) 2+( y+1) 2=4 B. ( x+3) 2+( y −1) 2=4 C. ( x −1) 2+( y −1) 2=4 D. ( x+1) 2+( y+1) 2=4 第2页，共1页 （北京）股份有限公司 5. 已知直三棱柱ABC −A1B1C1中，∠ABC=2π 3 ，AB=2，BC=C C1=1，则异面直线 A B1与BC1所成角的余弦值为( ) A. ❑ √10 5 B. ❑ √15 5 C. − ❑ √10 5 D. − ❑ √15 5 6. 已知双曲线的渐近线方程为y=±2 x，则双曲线的离心率为( ) A. ❑ √5 2 B. ❑ √5 C. ❑ √5 5 或❑ √5 D. ❑ √5 2 或❑ √5 第2页，共1页 （北京）股份有限公司 7. 在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a1>0，S8=S10，则Sn中最大的是( ) A. S7 B. S8 C. S9 D. S10 8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔⋅蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法 几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹 是以椭圆的中心为圆心、以❑ √a 2+b 2为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆 C : x 2 4 + y 2 m =1 (0<m<4 )的蒙日圆为E：x 2+ y 2=7，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线， 分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是( ) A. 椭圆C的离心率为1 2 B. M到C的右焦点的距离的最大值为❑ √7+1 C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，则k1k2=−3 4 D. △MPQ面积的最大值为7 2 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知等差数列{an}为递减数列，且a3=1，a2a4= 3 4 ，则下列结论中正确的有( ) A. 数列{an}的公差为−1 2 B. an=−1 2 n+ 5 2 C. 数列{a1an}是公差为−1的等差数列 D. a1a7+a4=−1 10. 已知圆C :( x−1) 2+( y −2) 2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1) y −7m−4=0.则下列命 题中正确的有( ) A. 直线l恒过定点(3,1) B. 圆C被y轴截得的弦长为4 C. 直线l与圆C恒相离 D. 直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2 x−y −5=0 第3页，共1页 （北京）股份有限公司 11. 抛物线C : y 2=4 x的焦点为F，直线l过点F，斜率为k(k>0)，且交抛物线C于A、B两 点(点A在x轴的下方)，抛物线的准线为m，A A1⊥m交m于A1，B B1⊥m交m于B1，点 E(1,3)，P为抛物线C上任一点，则下列结论中正确的有( ) A. 若BF ⃗ =3 FA ⃗，则k=❑ √3 B. ¿ PE∨−∨PF∨¿的最小值为−2 C. 若k=1，则¿ AB∨¿12 D. ∠A1 F B1=90° 第3页，共1页 （北京）股份有限公司 12. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点P在线段BC1上运动，有下列判断，其中 正确的是( ) A. 平面P B1 D⊥平面AC D1 B. A1 P/​/¿平面AC D1 C. 异面直线A1 P与A D1所成角的取值范围是(0, π 3 ¿ D. 三棱锥D1−APC的体积不变 第II 卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 已知直线l的斜率为1 6，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 ． 14. 圆x 2−4 x+ y 2=0与圆x 2+ y 2+4 x+3=0的公切线共有 条. 15. 设数列{an}的前n项和为Sn，点(n, Sn n )(n∈N ∗)均在函数y=3 x−2的图象上，则数 列{an}的通项公式为 ． 16. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1、F2，M是它们的一个交点，且cos∠F1 M F2= 1 4 ， 记椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则1 e1e2 的最大值为 ． 四、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题10.0分) 已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为2 5 , 3 4 , 1 3，且 三人是否通过测试互不影响.求： (1)3人都通过体能测试的概率; 第4页，共1页 （北京）股份有限公司 (2)只有2人通过体能测试的概率． 18. (本小题12.0分) 第4页，共1页 （北京）股份有限公司 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22． (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若数列{bn}是等差数列，且bn= Sn n+c ，求非零常数c． 19. (本小题12.0分) 已知AB为过抛物线C : y 2=2 px( p>0)的焦点F的弦，M为AB的中点，l为抛物线的准线， MN垂直于l于N，点N (−2,−3)． (1)求抛物线C的方程; (2)求ΔAOB的面积(O为坐标原点). 20. (本小题12.0分) 已知三棱柱ABC −A1B1C1中，AC=A A1=4，BC=2，∠ACB=90 ∘，A1B⊥A C1． (1)求证：平面A1 AC C1⊥平面ABC ; (2)若∠A1 AC=60 ∘，在线段AC上是否存在一点P使平面B A1 P和平面A1 AC C1所成角 的余弦值为 ❑ √3 4 ?若存在，确定点P的位置;若不存在，说明理由． 21. (本小题12.0分) 已知圆心在x轴上的圆C与直线l:4 x+3 y −6=0切于点M ( 3 5 , 6 5 ). (1)求圆C的标准方程; 第5页，共1页 （北京）股份有限公司 (2)已知N (2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P( x1, y1)，Q( x2, y2).求 ¿ PN ¿ 2+¿QN ¿ 2的最大值． 第5页，共1页 （北京）股份有限公司 22. (本小题12.0分) 已知点F1(−1,0)，圆F2:( x−1) 2+ y 2=8，点Q在圆F2上运动，Q F1的垂直平分线交Q F2 于点P． (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)动点P的轨迹C与x轴交于A，B两点( A在B点左侧)，直线l交轨迹C于M，N两点 ( M , N不在x轴上)，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1=2k2，求证：直线l过定点． 第6页，共1页 （北京）股份有限公司 答案和解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题． 【解答】 解：根据题意，由⃗ a/​/⃗ b，设b ⃗ =t a ⃗，即( x ,−1, y)=t(−1,2,−1)=(−t ,2t ,−t )解可得： t=−1 2，则有x= y=1 2，由此得x+ y=1． 2.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了两直线平行的判定，属于基础题． 【解答】 解：当m=2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1/​/l2时，显然m≠0， 从而有2 m=m−1，即m 2−m−2=0，解得m=2或m=−1，但当m=−1时，两直线重合，不符 合要求，故必要性成立． 3.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查古典概率的求解，排列问题，属基础题． 【解答】 第7页，共1页 （北京）股份有限公司 解：将字母a，b，c填入标号为a，b，c的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能 性是相等的.而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法.故所求概率P=2 6=1 3． 4.【答案】C 第7页，共1页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】 本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题． 【解答】 解：法一设点C为圆心．∵点C在直线x+ y −2=0上，∴可设点C的坐标为(a,2−a)． 又∵该圆经过A，B两点，∴∨CA∨¿∨CB∨¿． ∴ ❑ √(a−1) 2+(2−a+1) 2= ❑ √(a+1) 2+(2−a−1) 2，解得a=1． ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r=¿CA∨¿2.故所求圆的标准方程为( x−1) 2+( y −1) 2=4． 法二排除法.根据圆心在直线x+ y −2=0上，排除B，D .根据点B(−1,1)在圆上，排除A． 5.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题． 【解答】 解：解法一：如图所示，设M、N、P分别为AB，B B1和B1C1的中点， 则A B1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角(因异面直线所成角为(0, π 2 ¿, 可知MN=1 2 A B1= ❑ √5 2 ，NP=1 2 BC1= ❑ √2 2 ;作BC中点Q，则ΔPQM为直角三角形; 第8页，共1页 （北京）股份有限公司 ∵PQ=1，MQ=1 2 AC，△ABC中，由余弦定理得 第8页，共1页 （北京）股份有限公司 A C 2=A B 2+BC 2−2 AB⋅BC ⋅cos∠ABC=4+1−2×2×1×(−1 2 )=7，∴AC=❑ √7， ∴MQ= ❑ √7 2 ; 在△MQP中，MP= ❑ √M Q 2+PQ 2= ❑ √11 2 ; 在ΔPMN中，由余弦定理得 cos∠MNP= M N 2+N P 2−P M 2 2 MN ⋅NP = ( ❑ √5 2 ) 2+( ❑ √2 2 ) 2−( ❑ √11 2 ) 2 2× ❑ √5 2 × ❑ √2 2 =− ❑ √10 5 ; 又异面直线所成角的范围是(0, π 2 ¿，∴A B1与BC1所成角的余弦值为 ❑ √10 5 ． 解法二：如图所示， 补成四棱柱ABCD−A1B1C1 D1，求∠BC1 D即可; BC1=❑ √2，BD=❑ √2 2+1 2−2×2×1×cos π 3 =❑ √3，C1 D=❑ √5，∴BC1 2+B D 2=C1 D 2， ∴∠DBC1= π 2 ， ∴cos∠BC1 D= ❑ √2 ❑ √5= ❑ √10 5 ． 6.【答案】D 【解析】 第9页，共1页 （北京）股份有限公司 【分析】 本题考查双曲线的离心率，属基础题． 【解答】 解：当双曲线的焦点在x轴上时，离心率e=❑ √1+( b a ) 2= ❑ √1+(2) 2=❑ √5; 当焦点在y轴上时e=❑ √1+( 1 2 ) 2= ❑ √5 2 ． 7.【答案】C 【解析】 第9页，共1页 （北京）股份有限公司 【分析】 本题主要考查等差数列前n项和中基本量的运算，及利用二次函数的性质求最值，属于中档题。 【解答】 解：由S8=S10得a1=−17 2 d，由a1>0，得到d<0.所以Sn=na1+ n(n−1) 2 d=d 2 (n 2−18n)， 从而当n=9时Sn有最大值． 8.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题． 【解答】 解：对于A :由题意可得4+m=7，所以m=3，e=1 2，正确; 对于B:记右焦点为F2(1,0)，设M ( x0, y0)，则 ¿ M F2¿ 2=( x0−1) 2+ y0 2=( x0−1) 2+(7−x0 2)=8−2 x0， 而x0∈[−❑ √7,❑ √7]，∴∨M F2¿ 2≤8+2❑ √7，从而¿ M F2∨≤❑ √7+1，B 正确; 对于C :由题意易得PQ为圆E的直径，A，B关于原点对称，从而k1k2=−b 2 a 2=−3 4 ，正确; 对于D:易得S AMPQ≤1 2 ⋅2❑ √7⋅❑ √7=7，D 错误． 9.【答案】ABC 【解析】 【分析】 本题考查等差数列的通项及性质，属中档题． 【解答】 解：由题意知，a2+a4=2a3=2.又a2a4= 3 4 ，数列{an}为递减数列， 第10页，共1页 （北京）股份有限公司 ∴a4=1 2，a2=3 2． ∴公差d=a4−a2 2 =−1 2，故A 正确; 又a1=a2−d=2，∴an=2+(n−1)×(−1 2 )=−1 2 n+ 5 2，故B 正确; 第10页，共1页 （北京）股份有限公司 由上可知a1an=2an，则当n≥2时，2an−2an−1=2(an−an−1)=2×(−1 2 )=−1，当n=1时， a1 2=4， ∴数列{a1an}是首项为4，公差为−1的等差数列，故C 正确; ∵a1an=5−n，∴a1a7+a4=5−7+ 1 2=−3 2，故D 错误． 10.【答案】AD 【解析】 【分析】 本题主要考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题。 【解答】 解：将直线l的方程整理为( x+ y −4)+m(2 x+ y −7)=0， 由{ x+ y −4=0 2 x+ y −7=0解得{ x=3 y=1 则无论m为何值，直线l过定点D(3,1)，故A 正确; 令x=0，则( y −2) 2=24，解得y=2±2❑ √6，故圆C被y轴截得的弦长为4 ❑ √6，故B 不正确; 因为(3−1) 2+(1−2) 2=5<25，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C 不正确; 圆心C(1,2)，半径为5，¿CD∨¿ ❑ √5，当截得的弦长最短时，l⊥CD，kCD=−1 2， 则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y −1=2( x−3)，即2 x−y −5=0.故D 正确． 11.【答案】ABD 【解析】 【分析】 本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题． 【解答】 解：对于A :设¿ BF∨¿3∨FA∨¿3t，过A做AM ⊥B B1于点M，则¿ BM∨¿2t，¿ AB∨¿4t， 易得∠ABM=60 0，从而A 正确; 第11页，共1页 （北京）股份有限公司 对于B:过P、E分别作P P1⊥m、E E1⊥m于点P1、E1，则 ¿∨PE∨−∨PF∨¿=¿∨PE∨−∨P P1∨¿≤∨E E1∨¿2，从而B 正确; 对于C :易得¿ AB∨¿ x A+xB+2=8，C 错误; 第11页，共1页 （北京）股份有限公司 对于D:由{ y 2=4 x y=k( x−1)得y 2−4 k y −4=0，∴y A yB=−4，F A1 ⃗ ⋅F B1 ⃗ =4+ y A yB=0，从而 ∠A1 F B1=90° 12.【答案】ABD 【解析】 【分析】 本题考查空间中线面的位置关系，棱锥体积、异面直线夹角，属较难题． 【解答】 解：对于A :连接DB，因为正方体中，B B1⊥平面ABCD， AC ⊂平面ABCD，所以B B1⊥AC，又因为DB⊥AC， DB，B B1为平面DB B1 D1内的两条相交直线，所以AC ⊥平面DB B1 D1， 因为D B1⊂平面DB B1 D1，所以D B1⊥AC，同理可得D B1⊥A D1， 因为A D1，AC为平面AC D1内两条相交直线，可得D B1⊥平面AC D1，D B1⊂平面P B1 D， 从而平面P B1 D⊥平面AC D1， 故A 正确; 对于B:连接A1B，A1C1，A1C1/​/ AC， 平面AC D1，AC ⊂平面AC D1， 所以A1C1/¿平面AC D1， 同理BC1/​/¿平面AC D1，又A1C1、BC1为平面B A1C1内两条相交直线， 所以平面B A1C1/¿平面AC D1， 因为A1 P⊂平面B A1C1，所以A1 P/​/¿平面AC D1，故B 正确; 对于C :因为A D1/​/BC1，所以A1 P与A D1所成角即为A1 P与BC1所成的角， A1B=BC1=A1C1，则△B A1C1为等边三角形，当P与线段BC1的两端点重合时，A1 P与 A D1所成角取最小值π 3 ;当P与线段BC1的中点重合时，A1 P与A D1所成角取最大值π 2 ，故 A1 P与A D1所成角的范围是[ π 3 , π 2 ]，故C 不正确; 对于D:由选项B 得BC1/​/¿平面A D1C，故BC1上任意一点到平面A D1C的距离均相等， 第12页，共1页 （北京）股份有限公司 所以以P为顶点，平