安徽省六安市一中2021-2022学年高二上学期期末数学试题

六安一中2021～2022 学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小圈给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列  n a 中，已知 4 6 3, 7 a a  ，则数列  n a 的前9 项和 9 S 为（ ） A. 11  B. 13 C. 45 D. 117 2. 已知函数 2 ( ) 2 log x f x x   ，则 (1) f  （ ） A. 3 B. 1 2ln2 ln2  C. 2ln 2 1  D. 1 2 ln2  3. 已知函数 2 ( ) ln 2 f x x m x x   的 图象在点 1 1 ( , ( )) 2 2 f 处的切线与直线 2 0 x y  垂直，则 m （ ） A. 5 4 B. 5 4  C. 5 2 D. 5 2  4. 函数  cos x x f x e  的部分图像为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ln 2 1 ln3 , , 2 e 3 a b c    ，则a，b，c 的大小关系为（ ） A. b c a   B. c b a   C. b a c   D. a b c   6. 若存在过点(0, 2) 的 直线与曲线 3 y x  和曲线 2 y x x a    都相切，则实数a 的值是（ ） A. 2  B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知奇函数 ( ) f x 是定义在R 上的可导函数， ( ) f x 的导函数为 ( )  f x ，当 0 x  时，有 2 ( ) ( ) 0 f x xf x    ，则不等式 2 ( 2022) ( 2022) 4 (2) 0 x f x f     的解集为（ ） A. , 2020)  B. ( , 2024)  C. ( 2020, )   D. ( 2024, )   8. 已知 ( ) e ln 2 x f x x x     ，若 0 x 是函数 ( ) f x 的一个零点，则 0 0 ln x x  的值为( ) A. 0 B. 1 1 e  C. 1 D. e 1  二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 公差为d 的等差数列  n a ，其前n 项和为 n S ， 11 12 0, 0 S S   ，下列说法正确的有（ ） A. 0 d  B. 7 0 a  C.   n S 中 6 S 最大 D. 4 9 a a  10. 已知函数  3 2 1 ( ) , 0 2 6 9 1, 0 x x f x x x x x           ，则下列关于函数 ( ) f x 说法正确的是（ ） A. 函数 ( ) f x 有一个极大值点 B. 函数 ( ) f x 有一个极小值点 C. 若当 ( 1, ) x a  时，函数 ( ) f x 的 值域是[1,5] ，则1 4 a   D. 当1 5 m   时，函数 2 ( ) [ ( )] ( 1) ( ) g x f x m f x m     恰有6 个不同的零点 11. 已知等比数列  n a 的前n 项和为 n S ，且 2 1 2 4 , S a a  是 1 1 a 与 3 1 2 a 的等差中项，数列 n b 满足 1 1 n n n n a b S S     ，数列 n b 的前n 项和为 n T ，则下列命题正确的是（ ） A. 数列  n a 的通项公式为 1 3  n n a B. 3 1 n n S   C. 1 1 1 2 3 1     n n T D. n T 的取值范围是 3 1 , 8 2       12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家 鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ( ) f x ，存在一个点 0 x ，使得  0 0 f x x  ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 0 x 为该函数的一个不动点，依据不动点 理论，下列说法正确的是（ ） A. 函数 ( ) sin f x x  有3 个不动点 B. 函数 2 ( ) ( 0) f x ax bx c a     至多有两个不动点 C. 若函数 2 ( ) ( 0) f x ax bx c a     没有不动点，则方程 ( ( )) f f x x  无实根 D. 设函数 ( ) ex f x x a   ( R a ，e 为自然对数的底数)，若曲线 sin y x  上存在点 0 0 ( , ) x y 使 0 0 ( ( )) f f y y  成立，则a 的取值范围是  1,e 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 函数 sin2 x x y e e x     在区间  0,上的最小值为__________. 14. 已知函数 1 ( ) 1 f x x  ，数列  n a 是正项等比数列，且 10 1 a ，则        1 2 3 18 19 f a f a f a f a f a        __________． 15. 设数列  n a 的前n 项和为 n S ，若 1 5 7, 15 a S   ，且 n S n      是等差数列．则 1 2 3 10 a a a a       的值为__________． 16. 中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的 东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺 设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为 27m 的峡谷拐入宽为8m 的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E ，F 的连线恰好经过拐 角内侧顶点O (点E ，O ，F 在同一水平面内)，设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为 ，则 EF 的长为______ m (用 表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______ m . 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17. 已知等差数列  n a 满足 3 6 a ，前7 项和为 7 49. S  （Ⅰ）求  n a 的通项公式 （Ⅱ）设数列 n b 满足 ( 3) 3n n n b a    ，求 n b 的前n 项和 n T . 18. 已知函数  3 2 2 1 3 3 f x x ax a x    . （1）当 1 a 时，求函数  f x 在   4,2 x 时的最大值和最小值； （2）若函数  f x 在区间( ) 1,2 存在极小值，求a 的取值范围. 19. 己知数列  n a 的前n 项和为 n S ，且 1 1 2, 2, N n n a S a n       ． （1）求数列  n a 的通项公式； （2）若    2 1 2 1 log log n n n b a a    ，数列 n b 的前n 项和为 n T ，求 1 2 3 2022 T T T T       的值． 20. 已知函数  2 ln f x x ax x x    ，aR . （1）若  f x 在  1,单调递增，求a 的取值范围； （2）若n  N ，求证： 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3n e                        L . 21. 已知 2 1 ( ) ( 1)e 1, R 2 x f x x ax a      ． （1）讨论函数 ( ) f x 的单调性； （2）若函数( ) ( ) ( 1)e 1 cos sin x g x f x x x x x       在(0, ] 2  上有1 个零点，求实数a 的取 值范围． 22. 已知函数 2 2 ( ) 2 ln 2 ( R) f x x x ax x a a      在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求a 的取值范围； （2）设 ( ) f x 的两个极值点分别为   1 2 1 2 , x x x x  ，证明： 1 2 e x x   ． 1【答案】C 2【答案】B 3【答案】C 4【答案】D 5【答案】A 6【答案】D 7【答案】B 8【答案】A 9【答案】AC 10【答案】ACD 11【答案】BCD 12【答案】BCD 13【答案】0 14【答案】 19 2 （9.5） 15【答案】52 16【答案】 ①. 27 8 sin cos    ②. 13 13 17【答案】(1) 3. n a n  (2) 1 (2 1) 3 3 4 n n n T      . 解析： （Ⅰ）由   1 7 7 4 7 =7 =49 2 a a S a    ，得 4=7 a 因为 3 6 a 所以 1 d  1 4, 3 n a a n   所以 （Ⅱ）   3 3 = 3 n n n n b a n      1 2 3 1 3 2 3 3 3 3 1 n n T n    所以  2 3 4 +1 3 1 3 2 3 3 3 3 2 n n T n       1 2 3 +1 +1 3 3 1 2 2 3 3 3 3 3 = 3 1 3 n n n n n T n n               由 得：   +1 2 1 3 3 4 n n n T     所以 18【答案】（1）最大值为9，最小值为 5 3  ； （2）  2 1 , 3 1 3 ,2        . 【小问1 详解】 由题， 1 a 时，  3 2 1 3 3 f x x x x    ，则     2 3 3 1 f x x x x x        ， 令 ( ) 0 f x ¢ = ，得 3 x  或1，则4 3 x    时， ( ) 0 f x ¢ > ，  f x 单调递增；3 1 x   时， ( ) 0 f x ¢ < ，  f x 单调递减；1 2 x   时， ( ) 0 f x ¢ > ，  f x 单调递增. ∴  f x 在 3 x  时取极大值   3 9 f  ，在 1 x 时取极小值  5 1 3 f  ，又   20 4 3 f   ，  2 2 3 f  ， 综上，  f x 在区间  4,2  上取得的最大值为9，最小值为 5 3  . 【小问2 详解】     2 2 2 3 3 f x x ax a x a x a        ，且   1,2 x ， 当 0 a 时，  f x 单调递增，函数  f x 没有极值； 当 0 a  时， 3 x a  时 ( ) 0 f x ¢ > ，  f x 单调递增；3a x a    时 ( ) 0 f x ¢ < ，  f x 单调 递减；x a  时， ( ) 0 f x ¢ > ，  f x 单调递增. ∴  f x 在 3 x a  取得极大值，在x a 取得极小值，则1 2 a   ； 当 0 a  时，x a  时 ( ) 0 f x   ， ( ) f x 单调递增； 3 a x a   时 ( ) 0 f x   ， ( ) f x 单调递减； 3 x a  时， ( ) 0 f x   ， ( ) f x 单调递增. ∴ ( ) f x 在x a 取得极大值，在 3 x a  取得极小值，由1 3 2 a   得： 2 1 3 3 a    . 综上，函数  f x 在区间( ) 1,2 存在极小值时a 的取值范围是  2 1 , 3 1 3 ,2        . 19【答案】（1） 2n n a  ； （2） 1 2023 . 【小问1 详解】 依题意， N n   ， 1 2 n n S a    ，则当 2 n 时， 1 2 n n S a   ， 于是得： 1 1 n n n n n S S a a a       ，即 1 2 n n a a  ， 而当 1 n 时， 1 2 2 S a   ，即有 2 1 4 2 a a  ，因此， N n   ， 1 2 n n a a  ， 所以数列  n a 是以2 为首项，2 为公比的等比数列， 1 1 2 n n n a a q    ， 所以数列  n a 的通项公式是 2n n a  . 【小问2 详解】 由(1)知，    1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 log log log 2 log 2 ( 1) 1 n n n n n b a a n n n n           ， 从而有 1 2 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 1 1 n n n T b b b n n n n                  ， 所以 1 2 3 2022 1 2 3 2022 1 2 3 4 2023 2023 T T T T        . 20（1）因为函数  y f x  在  1,上单调递增， 所以    2 ln 1 0 f x x a x      在   1,上恒成立， 则有 1 2 ln a x x   在   1,上恒成立，即  min 1 2 ln a x x   . 令函数 2 ln g x x x   ，  1 2 g x x   ， 所以   1, x 时，  0 g x   ， g x 在  1,上单调递增， 所以  min 1 2 g x g  ， 所以有 1 2 a ，即 1 a ，因此   ,1 a . （2）由（1）可知当   ,1 a 时，  2 ln f x x ax x x    为增函数， 不妨取 1 a ，则有  2 ln f x x x x x    在  1,上单调递增， 所以  1 0 f x f  ，即有ln 1  x x 在  1,上恒成立， 令 1 1 3 n n x  ，则有 1 1 ln 1 3 3 n n         ， 所以   2 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 3 3 3 3 3 3 n n n                              N L L ， 所以   2 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 3 3 3 2 3 2 n n n                                    N L ， 因此 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3n e e                         L . 21【小问1 详解】 函数 ( ) f x 的定义域为R，求导得：   ( ) e e x x f x x ax x a      当 0 a 时，当 0 x  时， ( ) 0 f x   ，当 0 x  时， ( ) 0 f x   ，则 ( ) f x 在( ,0)  上单调递减， 在(0, )  上单调递增， 当 0 a  时，令 ( ) 0 f x  ，得 1 2 0, ln( ) x x a    ， 若ln( ) 0 a   ，即 1 a  时， ( ) 0 f x   ，则有 ( ) f x 在R 上单调递增， 若ln( ) 0 a   ，即1 0 a    时，当 ln( ) x a   或 0 x  时， ( ) 0 f x   ，当ln( ) 0 a x    时， ( ) 0 f x   ， 则有 ( ) f x 在( ,ln( )) a   ，(0, )  上都单调递增，在(ln( ),0) a  上单调递减， 若ln( ) 0 a   ，即 1 a  时，当 0 x  或 ln( ) x a   时， ( ) 0 f x   ，当0 ln( ) x a    时， ( ) 0 f x   ， 则有 ( ) f x 在( ,0)  ，(ln( ), ) a   上都单调递增，在(0,ln( )) a  上单调递减， 所以，当 0 a 时， ( ) f x 在( ,0)  上单调递减，在(0, )  上单调递增， 当1 0 a    时， ( ) f x