云南师范大学附中2021-2022学年高一下学期期中考试 数学(0001)

云南师大附中2021-2022 学年第二学期期中考试 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z 满足 ，则复数z 的模等于（） A. 1 B. C. D. 【1 题答案】 【答案】A 2. 已知 是第三象限角， ，则 的值为() A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】D 3. 某校高一年级18 个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10 个班的比赛得分如 下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的70%分位数为（） A. 91 B. 92 C. 92.5 D. 93 【3 题答案】 【答案】C 4. 函数 的零点所在的区间可以是 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【4 题答案】 【答案】B 5. 在直角三角形ABC 中，已知 ， ， ，以AC 为旋转轴将 旋 转一周，AB、BC 边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三 角形的面积的最大值为() A. B. 4 C. D. 8 【5 题答案】 【答案】D 6. 中， ，∠A 的平分线AD 交边BC 于D，已知 ，且 ， 则AD 的长为（） A. B. 3 C. D. 【6 题答案】 【答案】C 7. 三棱柱 中， 与AC、AB 所成角均为60°， ，且 ，则 与 所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】A 8. 如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含 义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动， 类似今日的足球.2006 年5 月20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级 非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A，B，C，D 满足 cm， cm， cm，则该“鞠”的表面积为（） A. cm2 B. 24 cm2 C. 27 cm2 D. 29 cm2 【8 题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制 定社会、经济、科教等各项发展政策.下图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况.则 下列说法正确的是（） A. 年均增长率逐次减小 B. 第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是 C. 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小 D. 第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大 【9 题答案】 【答案】BD 10. 已知m，n 是互不重合的 直线， ， 是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（） A. 若 ， ， ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 【10 题答案】 【答案】ACD 11. 下列结论正确的是（） A. 若 ， ，则 B. 函数 的最小值为2 C. 若 ，则 的最大值为2 D. 若 ， ，且 ，则 的最小值为4 【11 题答案】 【答案】AC 12. 已知函数 在区间 上单调，且满足 ，下列结论正确的是（） A. B. 若 ，则函数 的最小正周期为 C. 关于x 的方程 在区间 上最多有3 个不相等的实数解 D. 若函数 在区间 上恰有5 个零点，则 的取值范围为 【12 题答案】 【答案】ABCD 第Ⅱ卷（非选择题，共90 分） 三、填空题（本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分） 13. 向量 、的 夹角为60°，且 ， ，则 等于________ 【13 题答案】 【答案】 14. 若命题“ ， 成立.”是真命题，则实数a 的取值范围是________ 【14 题答案】 【答案】 15. 已知函数 ，则 _ _______. 【15 题答案】 【答案】42 16. “牟和方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体， 它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体 （如图），如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC 与BPD 为相互垂直且全 等的半圆面，它们的圆心为O，半径为2．用平行于底面ABCD 的平面 去截“四脚帐篷”，当平 面 经过OP 的中点时，截面图形的面积为________ 【16 题答案】 【答案】6 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 某学校1000 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与18 秒之间，抽取其中50 个样 本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ，…第五组 ，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）请估计学校1000 名学生中，成绩在第二组和第三组的人数； （2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）． 【17 题答案】 【答案】（1）540； （2）平均数15.70；中位数15.74. 19. 如图，四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，E 为PC 中点，平面 平面ABCD， ， ． （1）证明： 平面BDE； （2）求三棱锥D-BCE 的体积．（注：本小题用空间直角坐标系的空间向量方法作答，不给分） 【19 题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2） . 21. 已知函数 （1）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （2）设函数 ，求 的值域． 【21 题答案】 【答案】（1）最小正周期 ，对称轴方程： ， ； （2） . 23. 新冠肺炎疫情爆发以来，全国上下，齐心协力，众志成城，有直线铁路连接相距 千米的 两个城市 和 ，为了充分保障居民物资供应，拟从铁路线 上的某一点 处筑一公路到物 资供应点 ．现测得 千米， （如图）．已知公路运费是铁路运费的 倍，设铁路运费为每千米个单位，从 经 直接到 的总运费为 ．为了求总运费 的最小 值，设 ． （1）试将 表示为 的函数关系式 ； （2）求出总运费 的最小值． 【23 题答案】 【答案】（1） ，其中 ， （2） 25. 如图，在三棱柱 中，已知 ， ， ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． (注：本小题用空间直角坐标系作答，不给分) 【25 题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2） ﹒ 27. 对于定义在D 上的函数 ，如果存在实数 ，使得 ，那么称 是函数 的一个不动点，已知 ， （1）当 时，求函数 的不动点； （2）若 是函数 的不动点，求使得不等式 成立的整 数k 的最大值． 【27 题答案】 【答案】（1）不动点为 和 ； （2）2.