湖北省荆州中学2021-2022学年高二上学期期末考试 数学

荆州中学2020 级高二年级上学期期末考试 数 学 试 题 一、单选题（共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项） 1.设 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ） A.13 B.35 C.49 D.63 2.双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ） A． B．2 C． D． 3.设m 、n 是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 4.已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在 第一象限上的点，直线PO ， 2 PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若 1 2 | | 3| | PF PF  ， 且 2 60 MF N   ，则双曲线的离心率为( ) A． 5 2 B．3 C．2 D． 7 2 5. 已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线 的焦点为 ，准线为，焦点 在准线上的射影为点 ，过 任作一条直线交抛物线 于 两点，则 为（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角或直角 7.设 ) (x f 为可导函数，且 1 2 ) 1 ( ) 1 ( lim 0      x x f f x ，则曲线 ) (x f y  在点 )) 1 ( , 1 ( f 处的切线的斜率是( ) A.2 B.－1 C. 1 2 D.－2 8. 已知等比数列 } { n a 中 4 1 , 2 5 2   a a ，则 1 4 3 3 2 2 1          n n a a a a a a a a  等于（ ） A. ) 4 1 ( 16 n   B. ) 2 1 ( 16 n  C. ) 4 1 ( 3 32 n   D. ) 2 1 ( 3 32 n   二、多项选择题（共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对得2 分） 9．直线 和圆 的位置关系是( ) A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切 10．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化 中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和， 是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10 项依次是0，2，4，8，12， 18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A．此数列的第20 项是200 B．此数列的第19 项是180 C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前 项和为 11．如图所示，一个底面半径为 的圆柱被与其底面所成的夹角为 的平面所截，截面是一 个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的 离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新 的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1,2 进行构造，第1 次得到 数列1,3,2；第2 次得到数列1,4,3,5,2；…；第 次得到数列1， ， 2；…记 ，数列 的前 项为 ，则 （ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．若函数  4 2 f x ax bx c    满足  ' 1 2 f ,则   1 f   . 14．已知数列 n a 满足 1 1 a ，且 1 1 n n n a a a   ．则数列  n a 的通项公式为 _______. 15. 平行六面体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，底面ABCD 是边长为1 的正方形， 1 2 AA  ， 1 1 120 A AD A AB    ，则对角线 1 BD 的长度为________. 16．若椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     和圆 2 2 2 ( ) 2 b x y c    （c 为椭圆的半焦距）有四个不同的交 点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 四、解答题（共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题10 分） 已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线 相切．过点B(－2，0)的动直线 与圆A 相 交于M，N 两点． （1）求圆A 的方程； （2）当|MN|＝2 时，求直线 的方程． 18.（本题满分12 分） 在公差为d 的等差数列  n a 中，已知 1 10 a  ，且 1 2 3 ,2 2,5 a a a  成等比数列． （1）求 n a ； （2）若 0 d  ，求 1 2 n a a a     ． 19.（本小题12 分） 如图，四棱锥P－ABCD 中，PA平面ABCD，AD∥ BC，∠BAD=120o ，AB ＝AD＝2，点M 在线段PD 上，且DM＝2MP，PB∥ 平面MAC． （1）求证：平面MAC平面PAD； （2）若PA＝6，求平面PAB 和平面MAC 所成锐二面角的余弦值． 20.（本小题12 分） 已知数列 的前项和 . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前项和 . 21．（本小题满分12 分） 已知抛物线 的方程为 ，点 ，过点 的直线交抛物线于 两点． （1）求△OAB 面积的最小值（ 为坐标原点）； （2） 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 22.（本小题满分12 分） 已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆 上一点， 的周长为 . （1）求椭圆 的方程； （2） 为圆 上任意一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为A，B，判断 是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由. 荆州中学高二年级期末考试 数学试题参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D C D D C 二、多项选择题 题号 9 10 11 12 答案 CD ABC ACD ABD 三、填空题 13.-2 14. 15.2 16. 四、解答题 17．解：(1)设圆A 的半径为R. 因为圆A 与直线l1：x＋2y＋7＝0 相切， 所以R＝＝2. 所以圆A 的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x＝－2 符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 由于|MN|＝2，于是＋()2＝20，解得k＝， 此时，直线l 的方程为3x－4y＋6＝0. 所以所求直线l 的方程为x＝－2 或3x－4y＋6＝0. 18.解：由题意知： 即 解得： 或 ①当 时， ② 时， 综上知：当 时， ； 当 时， . （2） ，即 ①当 时， 此时| |= | |+| |+…+| |＝ ②当 时， 此时| |+| |+…+| |+| |+…+| |＝ ＝ 综上知：| |+| |+…+| |= 19（1）连接BD 交AC 于点E ，连接ME ，如图所示： ∵ // PB 平面MAC ，PB 平面PBD ，平面PBD  平面MAC ME  ， ∴ // PB ME ，∴ 2 DE DM AD BE PM BC    ，∴ 1 BC ，∵ 2 AB ， 60 ABC    ∴ 1 4 1 2 2 3 2 AC     ，∴ 2 2 2 4 AC BC AB   ， 0 90 ACB   ，∴ 90 CAD   ， CA AD  ， 又∵PA 平面ABCD ，CA  平面ABCD ，∴PA CA  ， ∵PA AD A   ，∴CA  平面PAD ，∵CA  平面MAC ，∴平面MAC  平面PAD ； （2）如图所示：以A 为原点，AC ，AD ，AP 分别为x ， y ，z 轴建系，则         2 0,0,6 , 0,0,0 , 3, 1,0 , 3,0,0 , 0, ,4 3 P A B C M        ， ∴       2 0,0, 6 , 3, 1,0 , 0, , 4 , 3,0,0 3 PA AB MA AC               � ， 设平面PAB 和平面MAC 的一个法向量分别为     1 1 1 1 2 2 2 2 , , , , , n x y z n x y z   � ， 平面PAB 与平面MAC 所成锐二面角为 ， ∴   1 1 1 1 1 1 6 0 · 0 1, 3,0 · 0 3 0 z n PA n n AB x y                    � � � ， 2 2 2 2 2 2 2 4 0 · 0 1 3 0,3, 2 · 0 3 0 y z n MA n n AC x                          � � � ， ∴ . 20.解：（1）当 1  n 时， 1 1 1  S a ， 当 2  n 时， n n n n n S S a n n n           2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 1 所以 n an  （2）因为 n n n T 2 2 3 2 2 2 1 3 2       ， 1 4 3 2 2 2 1 - 2 3 2 2 2 1 2 1        n n n n n T  两式相减得： 1 1 1 3 2 2 2 1 2 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1                 n n n n n n n n n T  所以 n n n T 2 2 2    21、（1）16 2 ； （2）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为 4 y kx  ， 联立抛物线C 的方程可得 2 8 32 0 x kx   ，设  1 1 , A x y ，   2 2 , B x y ，则 1 2 8 x x k   ， 1 2 32 x x  ， 所以 2 1 1 AM k x   ， 2 2 1 BM k x   ， 所以     2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 k x k x AM BM                2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 64 1 2 1 16 1 32 1 k x x x x k k x x         ． 22.由题可知， 3 ,2 2 4 2 3 2 c e a c a     ，解得 2, 3 a c   ，又 2 2 2 a b c   ，解得 1 b ， 故椭圆的标准方程为： 2 2 1 4 x y  ； 如图所示，当PB 平行于y 轴时，PA 恰好平行于x 轴，     0,1 2,0 , 2,1 A B P ，     2,0 , 0, 1 PA PB    � ， 0 PA PB   � ； 当PB 不平行于y 轴时，设  0 0 , P x y ，设过点P 的直线为   0 0 y k x x y    ， 联立   2 2 0 0 1 4 x y y k x x y           得       2 2 2 0 0 0 0 4 1 8 4 1 0 k x k y kx x y kx            ， 令 0 得      2 2 2 2 0 0 0 0 64 16 4 1 1 0 k y kx k y kx            ，化简得   2 2 2 0 0 0 0 4 2 1 0 x k x y k y     ，设 1 2 , PA PB k k k k   ，则 2 0 1 2 2 0 1 4 y k k x     ，又 2 2 0 0 5 x y  ， 故 2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 1 4 1 4 4 y x k k x x         ，即 0 PA PB   � . 综上所述， 0 PA PB   � .