华中师大一附中2022年高一新生入学考试数学试题参考答案

第1页（共4页） 华中师大一附中2022 级新生入学考试 数学参答 满分：150 分 时限：120 分钟 一、单项选择题： 1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 二、多项选择题： 9．BC 10．ABD 11．ABC 12．BCD 三、填空题： 13．ACE ． 14. 23 2022 15． 1 2  16．1 2 ，3 3 ( 2 ，0) ．（第一空2 分，第二空3 分） 四、解答题 17．解：（1）        2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a                      . （2）      2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a                         2 2 1 . 18．解： { |[ ( 2)][ ( 2)] 0, } { | 2 2} A x x m x m m R x m x m             ， 7 { | 1 } 2 B x x    （1）∵A B B   ，∴A B  ，∴ 2 1 7 2 2 m m          ，∴ 3 1 2 m   ， ∴当A B B   时，m 的取值范围为 3 { |1 } 2 m m   ． （2）∵ 7 { | 0 } 2 A B x x     ，∴ 2 0 7 2 2 m m          ，∴ 2 m  ∴当 7 { | 0 } 2 A B x x     时，m 的取值范围为{2} （3）C   2 2      m x m x x A R 或 ，∵  B C A R ，∴ 7 2 2 m   或 2 1 m  ， ∴ 11 2 m  或 3 m ， ∴  B C A R 时，m 的取值范围为 11 ( , 3] [ , ) 2    ． 19．解：（1）由题意，每件最多涨300 30 10  元，最多降价60 40 20   元，故20 30 x    . 当20 0 x    时， 300 20 300 20 y x x     ， 当0 30 x   时， 300 10 y x   ， 所以y 与x 之间的函数关系式 300 20 , 20 0 300 10 ,0 30 x x y x x           （x）. （2）当0 30 x   时， 2 (60 40)(300 10 ) 10( 5) 6250 w x x x        ， 因为0 30 x   ，10 0   ，所以当 5 x  时，w 取得最大值，最大值为6250； 当20 0 x    时， 2 (60 40)(300 20 ) 20( 2.5) 6125 w x x x        ， 因为20 0 x    ，20 0   ，所以当 2.5 x  时，w 取得最大值，最大值为6125， 综上，当 5 x  时，月利润最大，最大利润为6250 元， 即当销售价格为65 元时，利润最大，最大利润为6250 元； 第2页（共4页） 20．解：（1）因为    2 0 a g x f x x x x      ，定义域为    ,0 0,   关于原点对称， 且   a g x x g x x    ，所以 g x 为奇函数． （2）若对任意    1, , 0 x f x    恒成立，则   2 2 2 2 0 1 1 a x x x x a x x                ， 所以，问题转化为a 大于函数   2 2 x x x    在  1,上的最大值． 且函数 x  在  1,上单调递减，所以 x  最大值为 1 3  ， 故实数a 的取值范围是  3,   21.解：（1）证明：将AEB  沿BE 翻折到BEF  处，四边形ABCD 是正方形， AB BF   ， 90 BFE A    ， 90 BFG C    ， AB BC BF    ，BG BG  ， Rt BFG Rt BCG(HL)     ； （2）解：延长BH ，AD 交于Q ，如图： 设FH HC x   ，在Rt BCH  中， 2 2 2 BC CH BH   ， 2 2 2 8 (6 ) x x     ，解得 7 3 x  ， 11 3 DH DC HC     ， 90 BFG BCH      ， HBC FBG   ， BFG BCH   ∽ ， BF BG FG BC BH HC   ，即6 7 7 8 6 3 3 BG FG    ， 25 4 BG   ， 7 4 FG  ， / / EQ GB  ， / / DQ CB ， EFQ GFB   ∽ ，DHQ CHB   ∽ ， BC CH DQ DH  ，即 7 8 3 7 6 3 DQ   ， 88 7 DQ   ， 设AE EF m   ，则 8 DE m   ， 88 144 8 7 7 EQ DE DQ m m         ， EFQ GFB    ∽ ，EQ EF BG FG  ，即 144 7 25 7 4 4 m m   ，解得 9 2 m  ， AE  的长为9 2 ； （3）解：方法一： （Ⅰ）当 1 2 3 DE DC   时，延长FE 交AD 于Q ，过Q 作QH CD  于H ，如图： 设DQ x  ，QE y  ，则 6 AQ x   ， / / CP DQ  ， CPE QDE   ∽ ， 2 CP CE DQ DE   ， 2 CP x   ， ADE   沿AE 翻折得到 AFE  ， 2 EF DE    ， 6 AF AD   ， QAE FAE   ， AE  是 AQF  的角平分线，AQ QE AF EF  ，即6 6 2 x y   ①， 60 D     ， 1 1 2 2 DH DQ x    ， 1 2 2 HE DE DH x     ， 3 3 2 HQ DH x   ， 在Rt HQE  中， 2 2 2 HE HQ EQ   ， 2 2 2 1 3 (2 ) ( ) 2 2 x x y     ②， 第3页（共4页） 联立①②可解得 3 4 x  ， 3 2 2 CP x    ； （Ⅱ）当 1 2 3 CE DC   时，延长FE 交AD 延长线于Q，过Q作Q H CD   交CD 延长线于H，如图： 设DQ x    ，Q E y    ，则 6 AQ x     ， 同理 Q AE EAF    ， AQ Q E AF EF    ，即6 6 4 x y     ， 由 2 2 2 H Q H E Q E      得： 2 2 2 3 1 ( ) ( 4) 2 2 x x y       ， 可解得 12 5 x ， 1 6 2 5 CP x    ，综上所述，CP 的长为3 2 或6 5 ． 方法二： （Ⅰ） 当 1 2 3 DE DC   时， 连接CF ， 过P 作PK CD  于K ， 如图： 四边形ABCD 是菱形， 60 D   ， ABC  ， ADC  是等边三角形， 60 ACB ACD    ，AD AC  ， 60 PCK   ， 将ADE  沿AE 翻折得到 AFE  ， 60 AFE D ACB     ，AF AD AC   ， 2 EF DE   ， AFC ACF   ， PFC PCF   ， PF PC   ， 设 2 PF PC m   ，在Rt PCK  中，CK m  ， 3 PK m  ， 4 EK EC CK m      ， 在Rt PEK  中， 2 2 2 EK PK PE   ， 2 2 2 (4 ) ( 3 ) (2 2 ) m m m      ，解得 3 4 m  ， 3 2 2 PC m    ； （Ⅱ）当 1 2 3 CE DC   时，连接CF ，过P 作PT CD  交DC 延长线 于T ，如图： 同（Ⅰ）可证AC AD AF   ， 60 ACB D AFE     ， ACF AFC   ， ACF ACB AFC AFE     ，即 PCF PFC   ， PC PF   ， 设 2 PC PF n   ，在Rt PCT  中，CT n  ， 3 PT n  ， 2 ET CE CT n      ， 4 2 EP EF PF DE PF n       ， 在Rt PET  中， 2 2 2 PT ET PE   ， 2 2 2 ( 3 ) (2 ) (4 2 ) n n n      ，解得 3 5 n  ， 6 2 5 PC n    ， 综上所述，CP 的长为3 2 或6 5 ． 22.解：（1）如图1，作DH x  轴于H ， 在Rt DOH  中， 180 180 135 45 DOH BOD       ， 2 sin 45 4 2 4 2 DH OD       ， 2 4 2 cos45 4 2 4 2 OH      ， 点D 在第三象限，点D 的坐标为( 4, 4)   ， 4 ( 4 3) ( 4 4) a    ，  1 2 a  ； （2）由（1）可知， 2 1 1 1 ( 3)( 4) 6 2 2 2 y x x x x       ， 点C 的坐标为(0,6) ， 第4页（共4页） 设点P 的坐标为 2 1 1 ( , 6) 2 2 m m m    ，直线PD 的解析式为y kx b   ，  2 4 4 1 1 6 2 2 k b mk b m m             ， 1 ( 5) 2 2( 3) k m b m        ， 1 ( 5) 2( 3) 2 y m x m      ， (0 E  ，2( 3)) m   ， 6 2( 3) 2 CE m m      ， 又 PF y   轴， PF m   ， 2 CE PF  ； （3）如图2， 在DE 上截取EM EP  ，作PH OB  于H ，作 / / MQ y 轴，作DQ MQ  于Q ， 设点P 的坐标为 2 1 1 ( , 6) 2 2 m m m    ， 由（2）知： (0,6 2 ) E m  ， 2 2 1 1 1 9 2 (6 2 ) ( 6) 6 2 2 2 2 m m m m m          ， 2 1 9 ( , 6) 2 2 M m m m     ， ( 4, 4) D    ， ( 4) 4 DQ m m      ， 2 2 1 9 1 9 6 ( 4) 10 2 2 2 2 MQ m m m m        ， 4 BH m    ， DQ BH   ， DE PE PB    ，DE DM EM   ，EM PE  ， DM BP   ， 点M 的横坐标为m  ， 在Rt BPN  和Rt DMQ  中， 90 PHB MQD    ， DM BP DQ BN      ， Rt BPN Rt DMQ(HL)     ， MQ PH   ，  2 2 1 9 1 1 10 6 2 2 2 2 m m m m      ， 2 5 4 0 m m     ， 1 1 m  ， 2 4 m  （舍去）， 点P 的坐标为(1,6) ．