浙江省宁波市2021-2022学年高二下学期期末考试 数学(1)

宁波市2021 学年第二学期期末试题 高二数学试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分． 考试时间120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共60 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 集合 ，则 （） A. B. C. D. 【答案】C 2. 若 （ ，i 为虚数单位），则 （） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】B 3. 甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B 两个场馆进行志愿服务，每个场馆安排两名志愿者， 每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为（） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 4. 在“2022 年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生收看比赛的情况用随机 抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比 从表中可以得出正确的结论为（） A. 表中m 的数值为8 B. 估计观看比赛场数的中位数为3 C. 估计观看比赛场数的众数为2 D. 估计观看比赛不低于4 场的学生约为720 人 【答案】B 5. 已知 ，则 的值为（） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 6. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（） A. B. C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象向右平移 个单位长度后的图象关于原点对称 【答案】D 7. 已知平面向量 满足 ， ， ，则 的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 8. 已知函数 有两个极值点 ，且 ，则下列选项正确的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（） A. 每项系数之和为1 B. 二项式系数之和为729 C. 含有常数项 D. 含有x 的一次幂项 【答案】AC 10. 已知函数 ，若存在实数 ，有 ，则下列选项一定正确的是（） A. B. C. 在 内有两个零点 D. 若 ，则 在区间 内有零点 【答案】BD 11. 甲箱中有3 个白球和3 个黑球，乙箱中有2 个白球和4 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中， 再从乙箱中随机取出一球.以 分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以 分别表示从乙 箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（） A. 事件 与事件 互斥 B. 事件 与事件 相互独立 C. D. 【答案】AD 12. 已知实数 ，且 ，则下列选项正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题共0 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知幂函数 为奇函数，且在 上单调递减，则 _______． 【答案】 14. 已知 ，则 _______． 【答案】 ## 15. 已知函数 的值域为R，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】 16. 如图，D，E，F 分别是边长为4 的正三角形三边 的中点，将 ， ， 分 别沿 向上翻折至与平面 均成直二面角，得到几何体 ．则二面角 的余弦值为_____；几何体 的外接球表面积为_____． 【答案】 ①. ②. ## 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进 行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示： 单价 元 销量 万件 （1）求单价 的平均值 ； （2）根据以上数据计算得 与 具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得 关于 的经验回归方 程为 ，求 的值． 附： 【答案】（1） （2） 18. 在① ；② ．这两个条件中任选一个，补充在下面 的横线上，并解答． 在 中，角 的对边分别为 ， 的面积为 ，______． （1）求角 的大小； （2）若 ，求角 的取值范围． 【答案】（1） （2） 19. 为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20 名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下： 性别/睡眠时间 足8 小时 不足8 小时足7 小时 不足7 小时 男生 3 5 1 女生 1 7 3 （1）记“足8 小时”为睡眠充足，“不足8 小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把 握认为“睡眠充足与否”与性别有关； 睡眠情况 性别 合计 男生 女生 睡眠充足 睡眠不充足 合计 （2）现从抽出的11 位女生中再随机抽取3 人，记X 为睡眠时间“不足8 小时足7 小时”的女生人数，求X 的分布列和均值． 附： ； 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关 （2）分布列见解析， 【小问1 详解】 由题意，填表如下： 睡眠情况 性别 合计 男生 女生 睡眠充足 3 1 4 睡眠不充足 6 10 16 合计 9 11 20 由表得 ． 因为 ，所以没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关 【小问2 详解】 由题意，睡眠时间“不足8 小时足7 小时”的女生人数共7 人，X 可取0，1，2，3，且X 服从超几何分布， ， ， 即 X 0 1 2 3 P ． 20. 如图，在三棱锥 中， 底面 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，直线 与平面 所成角的大小为 ，求 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【小问1 详解】 证明：因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 ． 【小问2 详解】 解：过点A 作 ，垂足为H，连接 ． 由（1）知平面 平面 ， 又 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 就是直线 与平面 所成角， 即 ． 在 中， ，故 ． 在 中， ． 在 中，因为 ，所以 ，即 ， 所以 为等腰直角三角形， 所以 ． 21. 己知函数 ，其中 ． （1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）若 ， ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 22. 已知函数 ． （1）求证： ； （2）若 为函数 的极值点， ①求实数a 的取值范围； ②求证： ． 【答案】（1）证明见解析 （2）① ；②证明见解析 【小问1 详解】 要证 ，只需证 ， 即证 ． 设 ， 因为 ， 所以 ，即 成立． 【 小问2 详解】 ① ， 当 时，令 ，则 ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 只有一个极小值点 ， 符合 题意 当 时，设 ，则 ． ∴ 在 上单调递增． 又因为 ， 对 ，取 满足为 ，则 所以 有唯一实根 ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 只有一个极小值点 ， 符合题意 当 时，令 ，解得 ． 在 上单调递增，在 上单调递减 当 时，∵ ，则 当 时， 所以要使函数 存在极值点，只需 ，即 ，解得 ． 综上所述：当 时，函数 存在极值点． ②由①得 ， 所以，要证 ， 只需证 ． 由 ，则 ． 当 时，因为 ， 所以 ． 当 时，因为 ， 所以，要证 ， 只需证 ， 即证 ， 即证 对 成立． 令 ， 因为 ， 所以 ， 即 时， 成立． 综上所述， 成立．