黑龙江省哈师大附中2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题(1)

哈师大附中2020 级高二上学期期末考试 数学试题 总分150 分 时间120 分钟 一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1. 抛物线 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线 ： 和 : ，若 ∥ ，则 （ ） A．3 B．1 C．-1 D．3 或-1 3. 展开式中 项的系数为（ ） A．28 B． C．112 D． 4. 已知点 是椭圆 上的动点， 于点 ，若 ，则点 的轨迹方程 为（ ） A． B． C． D． 5. 圆 和圆 的公共弦 的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 6. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿 者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有 A．60 种 B．120 种 C．240 种 D．480 种 7. 过双曲线 的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线相 交于点，若 ，则此双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 8. 已知是抛物线 的焦点，抛物线上动点 满足 ，若 在准线上的 射影分别为 且 的面积为5，则 =（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分） 9. 下列命题中说法正确的是（ ） A．已知随机变量 ，若 ， ，则 B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 D．某人在10 次射击中，击中目标的次数为 ， ，则当 时概率最大 10. 已知双曲线 的右焦点为，直线经过 与双曲线交于 两点.则下列说法正确的 是（ ） A．虚轴长为2 B. 的最小值为2 C．存在以 为中点的弦 D. 以 为直径的圆与直线 相交 11. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 为圆心的圆形轨 道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 点处变轨进以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q 点处 变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 ，圆形轨道Ⅲ的半径为 ， 则下列结论中正确的序号为（ ） 1 l 2 l 1 l 2 l   8 1 2 x  x 28  112  A.轨道Ⅱ的焦距为 B. 轨道Ⅱ的长轴长为 C.若 不变， 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小 D.若 不变， 越大，轨道Ⅱ的离心率越大 12. 已知 的焦点，为抛物线的准线， 、 为抛物线上任意两点， ， 为坐标原点，则下列说法正确的是 A．过 与抛物线 有且只有一个公共点的直线有两条 B． 与 到距离之和的最小值为3 C．若直线 过，则抛物线 在 、 两点处的切线互相垂直 D．若直线 与 的斜率之积为 ，则直线 过点 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 上，则这个等边三角形的 边长为_____________. 14. 甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3 局2 胜”制，若甲同学每局 获胜的概率均为 ，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是____. 15. 已知 ， 是双曲线 的焦点， 是过焦点 的弦，且 的倾斜角为 ，那么 的值为________________________. 16.设椭圆 的左焦点为，点在椭圆上且在第一象限，直线 与圆 相交于 两点，若 是线段 的两个三等分点，则直线 的斜率为_____________________. 四、解答题 17．（本题满分10 分） 已知圆C 的圆心在 上，点 在圆C 上，且圆C 与直线 相切. (1)求圆C 的标准方程； (2)过点A 和点 的直线l 交圆C 于A，E 两点，求弦 的长. 18．（本题满分12 分） 中国制造 是经国务院总理李克强签批，由国务院于 年月印发的部署全面推进实施制造 强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领制造业是国民经济的主体，是产国 之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生 命线某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取 件新生产的产品进行检测某日检测抽取 的 件产品的柱状图如图所示： (1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率若从出厂的所有产品中随 机取出件，求至少有一件产品是一级品的概率； (2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取 件产品，再从这 件中任意抽取件，设取到一 级品的件数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望． 19．（本题满分12 分） 已知椭圆 ： 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的面积为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线： 与椭圆 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使直线 与 的斜率之和 为定值？若存在，求出点 坐标及该定值，若不存在，试说明理由. 20．（本题满分12 分） 已知平面内两个定点 ， ，过动点M 作直线 的垂线，垂足为N，且 . (1)求点M 的轨迹E 的方程； (2)若直线 与曲线E 交于 两点，且 ， ，求实数k 的值. 21．（本题满分12 分） 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成 四边形面积为 ． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点 的直线斜率为 ，交椭圆E 于不同的两点B，C，直线AB，AC 交 于点 M、N，若 ，求k 的取值范围． 22．（本题满分12 分） 已知抛物线 上的点 与 的距离 . （1）求抛物线E 方程； （2）若 ，直线与抛物线交于 两点，P 为抛物线上不同于 的动点，直线 ， 分 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b     (0, 2) A  的 4 5   0, 3 P  l k 3 y  15 PM PN   别交直线 于M，N 两点，且M，N 的纵坐标之积为 ，直线 是否过定点，请求出此定点； 若不过定点，请说明理由. 哈师大附中2020 级高二上学期期末考试 数学答案 一、 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C A C C B D 二、 多选题 题号 9 10 11 12 答案 BCD BD ABD BC 三、 填空题 13. 6 14. 15. 16 16. 四、 解答题 17、（本小题满分10 分） (1) 设圆的标准方程为 ，由题意得 ，解得 ， 所以圆的标准方程为 ； 5 分 (2)直线l 过点 和点 ，直线的斜率为 ， 直线l 为 ，即 . 设圆心到直线的距离为 ， 8 分 ∵ ， ， ∴弦 的长为 . 10 分 18、（本小题满分12 分） (1)解：抽取的 件产品是一级品的频率是 ，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频 率作为相应事件发生的概率，故从出厂的所有产品中任取件，是一级品的概率是 ， 设从出厂所有产品中随机选件，至少有一件是一级品的事件为 ． 则 ． (2)、由题意可知 件产品中一级品件，二级品 件，三级品件，故 的取值范围是 ， ， ， ， 的分布列为： 3 的数学期望为: 19、（本小题满分12 分） （1）由已知可得 解得 ， ，所求椭圆方程为 . 4 分 （2）由 得 ， 则 ，解得 或 . 设 ， ，则 ， ， 6 分 设存在点 ，则 ， ， 所以: . 要使 为定值，只需 与参数 无关， 故 ，解得 ，当 时， . 综上所述，存在点 ，使得 为定值，且定值为0. 20、（本小题满分12 分） (1)设点M 坐标为 ，则 ， ， ， ， ， ， 即： ， 点M 的轨迹方程为 ； 4 分 (2) 将直线方程与曲线方程联立 ， ， 直线与双曲线交于两点，所以 ，所以 且 ， 设 ， ，则 ， ， 6 分 由已知 得： ， 因为 所以 所以 ， 8 分 所以 化简得： 即 10 分 由 且 ，所以 12 分 21、（本小题满分12 分） （1）因为椭圆过 ，故 ， 因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ， 故椭圆的标准方程为： . 4 分 （2）设 ， 因为直线 的斜率存在，故 ， 直线 ，由 可得 ， 故 ，解得 或 .① 又 ，故 ，所以 6 分 直线 ，令 ，则 ，同理 . 8 分 又 故 即 ，② 10 分 综上①②， 或 . 12 分 22、（本小题满分12 分） （1）由 ， 故抛物线方程 或 . 4 分 （2）由 知 设 、 、 ，直线 方程为 ， 代入抛物线方程化简得 ， 则 ， 6 分 由直线 的斜率 则直线 的方程： ， 8 分 又 ，即直线 的方程： ， 令 ，得 ，同理 ， 10 分 ，整理得 . 则 ，即 ， ， 故直线 的方程： ，即直线 过定点 . 12 分