陕西省西安市长安区第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题

高二理科数学试题 1 长安一中2022—2023 学年度第一学期期中考试 高二年级 数学（理科）试题 时间：100 分钟 总分：150 分 一、选择题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题“∀x ∈R，���2 > 1”的否定是（ ） A. ∃x ∈R，���2 ≤1 B. ∃x ∈R，���2 < 1 C. ∀x ∈R，���2 ≤1 D. ∀x ∈R，���2 < 1 2. 已知集合A = x|x2 −6x −16 < 0 ，B = y|y −2 ≥0 ，则A ∩B = （ ） A.  B.   2,8 C.   ,2  D.   2,2  3. 已知平面α的法向量为 (2, 2,4), ( 3,1,2) n AB       ，点A 不在α内，则 直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A. AB   B. AB   C. / / AB  D. AB 与α相交不垂直 4. 在ABC  中，内角 , , A B C 所对的边为, , a b c ，若 2 a  ， 1 cos 3 A  ， sin 3sin B C  ，则c （ ） A. 1 2 B. 3 2 2 C. 2 2 D. 2 2 5. 在正项等比数列 n a 中， 3 7 3 a a  ，则数列  3 log n a 的前9 项和为 （ ） A. 9 2 B.11 2 C.13 2 D.15 2 6．已知直线x + ay −1 = 0 是圆���: x2 + y2 −4x −2y + 1 = 0 的对称轴，过 点���( −3, a)作圆���的一条切线，切点为���，则������等于( ) A. 2 B. 5 C. 4 2 D. 2 10 高二理科数学试题 2 7. 从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2 所 示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线， 若坐 标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双 曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 4 7 7 C. 3 5 5 D. 6 2 8. 数列 n a 是等比数列，首项为 1 a ，公比为q，则“���1(���−1) < 0”是“数列  n a 递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西 方， 最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派， 他 们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角 三角形的斜边长等于5, 则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 5 3 5  D. 5 2 5  10．已知实数a>1，命题���：函数y＝ 1 2 log (x2＋2x＋a)的定义域为R，命题���： |x|<1 是x<a 的充分不必要条件，则( ) A．���或���为真命题 B．���且���为假命题 C．(¬���)且���为真命题 D．(¬���)或(¬���)为真命题 11. 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别是 1 2 , F F ，焦距 1 2 2 5 F F  ， 过点(3 5,0) T 的直线与椭圆交于 , P Q 两点， 若 2 TP TQ     ， 且 1 2 PF PF  ，则椭圆C 的方程为（ ） 高二理科数学试题 3 A. 2 2 1 8 3 x y   B. 2 2 1 9 4 x y   C. 2 2 1 7 2 x y   D. 2 2 1 6 x y   12. 在数列 n a 中， 1 1 a  ，     * 1 ( 1) 1 n n n n a a n     N ，则���2022 = （ ） A. 4041 2021 B. 2020 2021 C. 4043 2022 D. 2019 2020 13. 已知M 是抛物线���2 = 2���上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始 边，FM 为终边的角 60 xFM   o ，则FM 等于（ ） A. 2 B. 4 3 3 C. 2 3 D. 4 14. 我们通常称离心率是 5 1 2  的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     ，1 A ，2 A ，1 B ， 2 B 分别为左､右､上､下顶点，1 F ， 2 F 分别为左､右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭 圆”的是（ ） A. 2 1 1 2 2 1 2 | | | | | | A F A F F F   B. 四边形 1 2 2 1 A B A B 的一个内角为60 C. 1 PF x  轴，且 2 1 / / PO A B D. 1 1 2 90 F B A    二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。 15. 若“ x R ， 2 x m  ”是假命题，则实数m 的取值范围是___________. 高二理科数学试题 4 16. 观察下面的数阵，则第16 行从左边起第3 个数是___________. 17. 已知实数x，y 满足约束条件 3 0 2 3 0 x y x y x m           ，若目标函数z y x   的 最大值是5，则实数m 的绝对值为___________. 18. 已知椭圆 2 2 : 1 2 x C y  的左､右焦点分别为 1 F ， 2 F ，上顶点为A，直线 1 AF 与椭圆C 的另一个交点为B，则 2 ABF  的面积为___________. 19. 某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN .现 选择点A 和另一座山顶点C 作为测量观测点，从A 测得点M 的仰角 45 MAN   ，点C 的仰角 30 CAB   ，测得 75 MAC   ， 60 MCA   ，已知另一座山高BC = 200 米，则山高MN _______米. 20. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三 角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似 看作一个正四棱锥， 若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍， 则侧面与底面 的夹角的正切值为___________． 高二理科数学试题 5 三、解答题：本大题共4 小题，共50 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 21．(本小题满分12 分) 已知数列 n a ， 1 1 a  ， 1 ( 1,2,3, ) 1 n n n a a n a     . （1）求 2 a 、 3 a 、 4 a 、 5 a ； （2）猜想数列 n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 22.（本小题满分12 分） 在锐角 ABC △ 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 3 sin 2 a B b  . （1）求角A 的大小； （2）若cos cos 3 b C c B   ，求b c  的取值范围. 23.(本小题满分13 分) 设F 为椭圆 2 2 : 1 2 x C y  的右焦点， 过点(2,0) 的直线与椭圆C 交于 , A B 两 点. （1）若点B 为椭圆C 的上顶点，求直线AF 的方程； （2）设直线 , AF BF 的斜率分别为 1 k ， 2 2 ( 0) k k  ，求证： 1 2 k k 为定值. 高二理科数学试题 6 24.（本小题满分13 分） 已知抛物线 2 : 4 C y x  的焦点为F ，点O 为坐标原点，直线l 过定点   ,0 T t （其中 0 t  ， 1 t ）与抛物线C 相交于 , A B 两点（点A 位于第一 象限) . （1）当 4 t  时，求证：OA OB  ； （2）如图，连接 , AF BF 并延长交抛物线C 于两点 1 A ， 1 B ，设ABF  和 1 1 A B F  的面积分别为 1 S 和 2 S ，求 1 2 S S .