117 归纳推理

归纳推理 【规律总结】 归纳推理是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围 较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。自然界和社会中的一 般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。一般都存在于具体的对象和现象之中， 因此，只有通过认识个别，才能认识一般。人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的 事物总结、概括出各种各样的带有一般性的原理或原则，然后才可能从这些原理、原则出 发，再得出关于个别事物的结论。这种认识秩序贯穿于人们的解释活动中，不断从个别上 升到一般，即从对个别事物的认识上升到对事物的一般规律性的认识。例如，根据各个地 区、各个历史时期生产力不发展所导致的社会生活面貌落后，可以得出结论说，生产力发 展是社会进步的动力，这正是从对于个别事物的研究得出一般性结论的推理过程，即归纳 推理。显然，归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程。在进 行归纳和概括的时候，解释者不单纯运用归纳推理，同时也运用演绎法。在人们的解释思 维中，归纳和演绎是互相联系、互相补充、不可分割的。 【典例分析】 例1、等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0 和−1，若△ABC 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019 次后，点B 所对应的数是() 2018 B 2019 2018.5 D 2021 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3 次翻转为一个循环组依次循环是解题的 关键．是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发 现的规律解决问题．注意翻折的时候，点B 对应的数字的规律：只要是3n+1和3n+2次翻 折的对应的数字是3n+2．结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是：1， 1，2.5；4，4，5.5；7，7，8.5…即第1 次和第二次对应的都是1，第四次和第五次对应 的都是4，第7 次和第8 次对应的都是7.根据这一规律：因为2019=673×3，所以翻转 2019 次后，点B 所对应的数是2.5+(673−1)×3，求出即可． 【解答】 解：因为2019=673×3， 2.5+(673−1)×3=2018.5， 所以2019 次翻折后B 点对应的数字是2018.5， 故选． 例2、有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚 动90°算一次，则滚动第2017 次后，骰子朝下一面的点数是________． 【答】2. 【解析】 【分析】 观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答。 【解答】 观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵2017÷ 4=504 …1， ∴滚动第2017 次后与第一次相同， ∴朝下的点数为2， 故答为2． 例3、棱长为的小正方体，按照如图所示的方法一直维续摆放，自上而下分别叫第1 层、 第2 层、……第n(n>0)层，第层的小正方体的个数记为S． (1)完成下表： 1 2 3 4 … S 1 3 _____ _____ … (2)通过上表可以发现S 随的变化而变化，且有一定的规律，请你用式子来表示S 与的 关系，并计算当n=10时S 的值． 【答】解：(1)6；10； (2)S随的变化而变化，是自变量，S 是因变量第层时， S=1+2+3+…+n=1 2 n(n+1)， 当n=10时，S=1 2 ×10×11=55． 【解析】 【分析】 本题考查图形规律性的变化；得到第层正方体的个数的规律是解决本题的关键． (1)第1 个图有1 层，共1 个小正方体，第2 个图有2 层，第2 层正方体的个数为1+2，根 据相应规律可得第3 层，第4 层正方体的个数； (2)根据自变量与因变量的意义，可得答； (3)依据(1)得到的规律可得第层正方体的个数，进而得到n=10时S 的值． 【解答】 解：(1)∵第1 个图有1 层，共1 个小正方体， 第2 个图有2 层，第2 层正方体的个数为1+2=3， 第3 个图有3 层，第3 层正方体的个数为1+2+3=6， ∴n=4时，即第4 层正方体的个数为：1+2+3+4=10， 故答为：6，10； (2)S随的变化而变化，是自变量，S 是因变量 第层时，S=1+2+3+…+n=1 2 n(n+1)， 当n=10时，S=1 2 ×10×11=55． 【好题演练】 一、选择题 1. 设S1=1，S2=1+3，S3=1+3+5，…，Sn=1+3+5+…+(2n−1)， S=❑ √S1+❑ √S2+⋯+❑ √Sn，其中为正整数，用含的代数式表示S 为() B n (2n−1) 2 n 2 D n (n+1) 2 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了二次根式的化简求值，求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质 求出每一部分的值，再求出最后结果即可 【解答】 解：∵S1=1，S2=1+3=4=2 2，S3=1+3+5=9=3 2，…， Sn=1+3+5+…+(2n−1)= [1+(2n−1)]n 2 =n 2，为正整数， ∴S=❑ √S1+❑ √S2+⋯+❑ √Sn， ¿ ❑ √1+ ❑ √2 2+ ❑ √3 2+⋯+ ❑ √n 2， ¿1+2+3⋯+n， ¿ n (n+1) 2 ， 故选D． 2. 观察如图，寻找规律，在“？”处应填上的数字是 128 B 136 164 D 188 【答】 【解析】 【分析】 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现 的规律解决问题．主要是能够认真观察发现圆圈中数字之间的规律．观察发现：第个圆圈 里的数正好是前面3 个圆圈中的数字的和． 【解答】 解：27+49+88=164． 故选． 3. 下列图是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图需8 根火柴，第二个图需 15 根火柴，…，按此规律，第个图需几根火柴棒() 2+7n B 8+7n 4+7n D 7n+1 【答】D 【解析】 【分析】 此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结 出规律，再利用规律解决问题．根据第1 个图需8 根火柴，8=7×1+1，第2 个图需15 根 火柴，15=7×2+1，第3 个图需22 根火柴，22=7×3+1，…得出规律第个图需7n+1根 火柴，求出答． 【解答】 解：第1 个图需8 根火柴，8=7×1+1， 第2 个图需15 根火柴，15=7×2+1， 第3 个图需22 根火柴，22=7×3+1，… 得出规律第个图需7n+1根火柴， 故选D． 4. 如图，圆周上均匀分布着5 个分点，将圆周分成5 份，每 份为一个单位．现有两颗棋子，甲棋子从处起跳沿逆时针 方向跳动，每秒跳2 个单位，乙棋子从E 处起跳沿顺时针 方向跳动，每秒跳1 个单位，若甲、乙同时起跳，则经过 2018 秒，它们在分点上相遇() 401 次 B 402 次 403 次 D 404 次 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查归纳推理找出规律，解题时要审题，仔细求解． 根据题意，通过分析可得规律：两颗棋子五秒一个循环，其中一个循环里有一次相遇，即 可求出经过2018 秒，它们在分点上相遇多少次． 【解答】 由题意知， 第1 秒甲跳到处，乙跳到D 处; 第2 秒甲跳到E 处，乙跳到处; 第3 秒甲跳到B 处，乙跳到B 处，相遇; 第4 秒甲跳到D 处，乙跳到处; 第5 秒甲跳到处，乙跳到E 处，回到出发点; 依此类推可得两颗棋子5 秒一个循环，其中一个循环里在第3 秒时有一次相遇， 故经过2018 秒即2018 s=403×5 s+3 s，则它们在分点上相遇了404 次． 故选D． 5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， AC=1，过点作C D1⊥AB于D1，过点D1作 D1 D2⊥BC于D2，过点D2作D2 D3⊥AB于D3， 这样继续作下去，线段Dn Dn+1(n为正整数)等于() ( 1 2 ) n+1 B ( 3 2 ) n+1 ( ❑ √3 2 ) n D ( ❑ √3 2 ) n+1 【答】D 【解析】 【分析】 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪 些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 在本题中，大大小小的三角形全部是30°、60°、90°的特殊三角形． 因为AC=1，在直 角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可解答． 【解答】 解：根据题意得：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，则C D1= ❑ √3 2 ； 进而在△C D1 D2中，有D1 D2= ❑ √3 2 C D1=( ❑ √3 2 ) 2， 进而可得：D2 D3=( ❑ √3 2 ) 3，…； 则线段Dn Dn+1=( ❑ √3 2 ) n+1． 故选D． 6. 一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会相应的变化．若点先从原点开始，第一 次向右移动3 个单位长度，第二次向左移动5 个单位长度，第三次向右移动3 个单位 长度，第四次向左移动5 个单位长度，如此往复，经过2019 次运动后点所对应的实数 为() −2015 B −2017 −2019 D −2021 【答】 【解析】 【分析】 本题考查的知识点是数轴，首先根据题意找出第一次到第六次所对应的数，找到规律，得 到第2018 次到达−2018，那么第2019 次应向右移动3 个单位，即可得到答． 【解答】 解：依题意得，点每两次移动的结果是向左移动两个单位， 而2019 除以2 得1009 余数是1， 则此时点对应的实数为： 1009×(−2)+3=−2015， 故选． 二、填空题 7. 如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1 的规律拼成下列图， 若第个图中有2017 个白色纸片，则的值为_________． 【答】672 【解析】 【分析】 本题考查图形规律问题．解题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系，得出规律 观察图形，发现：白色纸片个数的规律，用字母表示即可；再根据其中的规律，再由第个 图中有2017 个白色纸片，列方程求解即可． 【解答】 解：第1 个图中有白色纸片3×1+1=4=3×1+1(张)， 第2 个图中有白色纸片3×2+1=7=3×2+1(张)， 第3 图中有白色纸片3×3+1=10=3×3+1(张)， 第4 图中有白色纸片3×4+1=13=3×4+1(张)， … 第个图中有白色纸片¿(3n+1)张． ∴3n+1=2017， 解得：n=672． 故答为672． 8. 观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第个“星阵”中的★的个数是______． 【答】n 2+n+2 【解析】 【分析】 本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据， 寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有 2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…， 继而可求出第个图形中★的个数． 【解答】 解：∵第一个图形有2+1×2=4个， 第二个图形有2+2×3=8个， 第三个图形有2+3×4=14个， 第四个图形有2+4×5=22个， … ∴第个图形共有：2+n×(n+1)=n 2+n+2． 故答为：n 2+n+2． 9. 在平面直角坐标系中，直线l: y=x−1与x 轴交于 点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1，⋯、正方形An BnCnCn−1，使得点 A1、A2、A3，⋯在直线l 上，点C1、C2、C3⋯在 y 轴正半轴上，则点Bn的坐标是 ． 【答】(2 n−1,2 n−1) 【解析】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的 变化找出变化规律“ An(2 n−1,2 n−1−1)(n为正整数)”是解题的关键．根据一次函数图象 上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段Cn An+1的 中点，由此即可得出点Bn的坐标． 【解答】 解：当y=0时，x=1，∴A1(1,0)，易知l 与y 轴成45 ∘夹角， ∴B1(1,1)，B2(2,2+1)，B3(2 2,2 2+2+1)，⋯， Bn(2 n−1,2 n−1+2 n−2+⋯+2 1+1)， 设S=1+2 1+2 2+⋯+2 n−2+2 n−1， 则2S=2 1+2 2+⋯+2 n−1+2 n，∴S=2 n−1， ∴Bn=(2 n−1,2 n−1)． 10. 如图(1)，(2)，(3)，(4)，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按 照这种规律，第个“广”字中的棋子个数是_______个． 【答】(5+2n) 【解析】略 11. 如图所示一个质点在第一象限内及x 轴、y 轴上运动， 在第一秒内它由原点移动到(0,1)点，而后接着按图所 示在x 轴，y 轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位 长度，那么质点运动到点(n,n)(n为正整数)的位置时， 用代数式表示所用的时间为________秒． 【答】n(n+1) 【解析】 【分析】 本题考查的是点坐标，归纳推理有关知识，归纳走到(n,n)处时，移动的长度单位及方向． 【解答】 解：质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2； 质点到达(2,2)处，走过的长度单位是6=2+4； 质点到达(3,3)处，走过的长度单位是12=2+4+6； 质点到达(4,4)处，走过的长度单位是20=2+4+6+8； …猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1)． 故答为n(n+1) 12. 将1、❑ √2、❑ √3、❑ √6按下图所示的方式排列，若规定(m,n)表示第m 排从左到右第个 数，则(4,2)与(21,2)表示的两数的积是________． 【答】6 【解析】 【分析】 此题主要考查了数字的变化规律以及二次根式的乘除，对于找规律的题目找准变化规律是 关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1 个数，第二排2 个数．第三排3 个数，第四排4 个数， …第m−1排有(m−1)个数，从第一排到(m−1)排共有：1+2+3+4+…+(m−1)个数， 根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第个数到底是哪个数后 再计算． 【解答】 解：由题意可知，每4 个数一个轮回，(21,2)表示第21 排从左向右第2 个数， 因为第1 排到第20 排的数的总数为1+2+3+……+20=210， 再加上第21 排第2 个数，共有210+2=212个数， 因为212÷ 4=53， 所以(21,2)表示的数是❑ √6， 同理，可求得(4,2)表示的数为❑ √6， 所以表示(4,2)和(21,2)的数的乘积为❑ √6×❑ √6=6． 故答为6． 三、解答题 13. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5 个图形有________颗黑色棋子，第个图形有________颗黑色棋子； (2)是否存在第个图形有2018 颗黑色棋子？若存在，求出的值；若不存在，请说明理 由． 【答】解：(1)18；3n+3； (2)解：不存在第个图形有2018 颗黑色棋子． 理由如下： 假设第个图形有2017 颗黑色棋子， 根据题意，得3(n+1)=2018， 解得n=672 2 3， ∵n的值不是整数， ∴不存在第个图形有2018 颗黑色棋子． 【解析】 【分析】 本题考查了列代数式以及图形规律问题，一元一次方程的应用的有关知识． (1)观察图形不难发现，每个图形中的黑色棋子的个数都是3 的倍数，进而得到第5 个图形 的黑色棋子的个数，再根据找到的规律可得第的图形的黑色棋子的个数为3(n+1)； (2)可令3(n+1)=2017，解这个方程即可． 【解答】 解：(1)第1 个图形需棋子6 颗， 第2 个图形需棋子9 颗， 第3 个图形需棋子12 颗， 第4 个图形需棋子15 颗， 第5 个图形需棋子18 颗. ...... 第个图形需棋子(3n+3)颗． 故答为18；3n+3； (2)见答． 14. 观察如图所示的图形，并阅读相关文字信息后回答下列问题： 2 条直线相交，最多有1 个交点，3 条直线相交，最多有3 个交点，4 条直线相交，最 多有6 个交点． (1)8条直线相交，最多有几个交点？ (2)设有条直线相交，最多有y 个交点，请用含的代数式表示y，并指出这个代数式中 的常量和变量． (3)当最多交点个数为4950 时，此时直线有几条？ 【答】解：(1)2条直线相交有1 个交点； 3 条直线相交有1+2个交点； 4 条直线相交有1+2+3个交点； 5 条直线相交有1+2+3+4个交点； 6 条直线相交有1+2+3+4+5个交点； 7 条直线相交有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8 条直线相交有1+2+3+4+5+6+7=28个交点． (2)根据题意可得y=1 2 n 2−1 2 n，在这个代数式中，常量是1 2，−1 2 ，变量是y 和． (3)当交点为4950 时，则有4950=1 2 n 2−1 2 n， 解得n=100或n=−99(舍去)， ∴此时直线有100 条． 【解析】本题主要考查了规律型的问题与函数、方程的综合，关键是根据所给的直线条数 与交点个数总结出规律． (1)分析数据的交点与直线的关系进行归纳； (2)由(1)进行归纳规律，利用函数中的量进行判断即可； (3)根据(2)中的代数式可得关于的方程，解方程得出满足要求的解即可． 15. 阅读下面一段话： 关于x 的方程x+−1 x =c+−1 c 的解是x=c或x=−1 c ； x+ 1 x =c+ 1 c 的解是x=c或x=1 c ； x+ 2 x =c+ 2 c 的解是x=c或x=2 c ； x+ 3 x =c+ 3 c 的解是x=c或x=3 c ； …… (1)写出方程x+ 1 x =5 2的解为 ． (2)猜想方程x+ m x =c+ m c (m≠0)的解，并将所得的解代入方程中检验． (3)由上述的观察、比较、猜想、验证，请用这个结论解关于x 的方程： x+ 2 x−1=a+ 2 a−1． 【答】解：(1)