黑龙江省大庆市实验中学2021-2022学年高二下学期开学考试 数学

2021-2022 学年度下学期开学考试高二 数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．下列导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．双曲线 的离心率为 ，则 （ ） A． B． C． D．2 3．函数 在 上的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 4．等差数列 的前11 项和 ，则 （ ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知点 在圆 内部，则直线 与圆 的公共点有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或2 个 6．等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 7．若圆 上总存在两个点到坐标原点的距离为1，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若 ，则 等于（ ） A．－3 B．3 C．－6 D．6 9．已知数列 满足 ，则数列 的前10 项和是（ ） A． B． C． D． 10．设函数 的导函数是 ，且 恒成立，则（ ） A． B． C． D. 11．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Mn表示它的前n 项之积，即Mn＝a1·a2·a3…an，则 数列{Mn}中的最大项是( ) A．M9 B．M10 C．M11 D．M8 12．已知函数 , 为 的导函数,有下述四个结论: ①对于任意的 ,恒有 ②方程 有两实根 ,则 ③若方程 有两实根 ,若 ,则 ④若方程 有两实根 ,则 其中,正确的结论有( )个 A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 若数列 满足 ， 且 ，则 ． 14．已知 是函数 的极值点， P6 O P28 x P21 P15 P10 P3 P1 y 则实数 的值为_______． 15．已知抛物线 ,过焦点 的弦 ,过 分别作抛物线的切线,两切线交点 的横坐标 为,则直线 的斜率为 ． 16．已知一质点从原点出发，每秒运动一个单位，第一秒沿x 轴正向动，运动到P1后再向上运动两 秒到P3，再向左运动3 秒到P6，再向下运动4 秒到P10， ，依次进行下去.设第 秒末质点运动到 ．则点 的坐标为 ． 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 ，求数列{bn}的前n 项和Sn. 18．已知函数 ，其导函数为 ，且 . （1）求曲线 在点 处的切线方程. （2）求函数 在 上的最大值和最小值. 19．已知数列{an}满足a1＝1，an－2an－1－2n－1＝0(n∈N*，n≥2)． (1)求证：数列{}是等差数列； (2)若数列{an}的前n 项和为Sn，求Sn. 20．已知函数 ． （1）若 在 处的切线过点 ，求 的值； （2）若 恰有两个极值点 ， ，求 的取值范围． 21．已知点 ，直线 ， 为平面上的动点，过 作直线 的垂线，垂足为点 ，且 ． （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； (Ⅱ)设直线 与轨迹C 交于两点 ，在轨迹C 上是否存在一点C，使得直线AC 与直线 BC 的斜率之和与 无关，若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，说明理由. 22.已知函数 , (1)函数 的单调区间; (2) 求 的最小值; (3)若 恒成立,求实数 的取值范围. 参考答案: 1．C 【解析】 ， 错误， 为常数， ， 错误， ， 正确， ， 错误， 故选： ． 2.【解析】因为双曲线 ，所以 因为 的离心率为 ，所以 ， 故选：C 3.B【解析】因为 ， 当 时， ，即函数 在 上单调递减， 故当 时，函数有最小值为 .故选：B. 4．D【解析】：由 是等差数列，得 ，解得 ， 所以 ． 故选： ． 5．A【解析】 因为点 在圆 内部，所以 ， 圆 的圆心到直线 的距离 ， 所以圆与直线相离，没有公共点. 故选:A. 6．A【解析】设等比数列的公比为q，当 时， ，不合题意； 当 时，等比数列前 项和公式 ， 依题意 . 故选：A 7．D【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆 ， 因此圆 上总存在两个点到原点的距离均为 转化为圆 与圆 有两个交点， ∵两圆的圆心和半径分别为 ， ， ， ， ∴ ，∴ ， 解得实数 的取值范围是 . 故选：D 8．D【解析】由 ， 即 ， 9．B【解析】因为 ， 所以 时， ， 两式相减得 ， ， 又 ，满足此式，所以 ， ， 所以数列 的前10 项和为 ． 故选：B． 10．C【解析】 设 ，则 恒成立，所以 单调递增，故 ，即 ，解得： ，即 . 故选：C 11.A[解析] 由题设an＝512·(－)n－1.∴Mn＝a1·a2·a3…an＝[512×(－)0]×[512×(－)1]×[512×(－)2]×… ×[512×(－)n－1] ＝512n×(－)1＋2＋3＋…＋(n－1) [点评] 此题若直接用列举法可很简明求解： a1＝512，a2＝－256，a3＝128，a4＝－64，a5＝32，a6＝－16，a7＝8，a8＝－4，a9＝2，a10＝－ 1， 当n≥11 时，|an|<1，又M9>0，M10<0，∴M9最大． 12.B 解析: ,①错误 的最小值为 , ,②正确 易知 ,知③正确 由 知④正确 13. 【解析】4 14.【解析】由 ，得 ． 因为 是 的极值点，所以 ，即 ，所以 ． 此时 ，当 时， ；当 时， ． 因此 是函数 的极小值点，即 符合题意． 15.解:设点 , 故直线 ,化为 ,则理直线 两式相减,得 ,直线 的斜率为 16．解（1） ，当质点运动到Mn（ ）后，向下运动 个单位，再 向右运动 个单位，再向上运动 个单位，再向左运动 个单位，到点Mn+1,易知Mn+1( ), 由 此 可 知 ， 当 质 点 运 动 秒后，其坐标为 ， 若Pk的坐标为(20,20)，此时 ，故 =780. (2)因 ，由63= 知2016 秒末质点位于 ,于是 的坐标为 ． 17.解 (1)∵数列{an}是等差数列，由a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12， ∴a2＝4，又a1＝2，∴公差d＝2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)bn＝32n＝9n， ＝＝9， ∴数列{bn}是等比数列，首项为9，公比q＝9. ∴数列{bn}的前n 项和 Sn＝＝(9n－1)． 18.【解析】（1）因为函数 ，所以 ， 由 ，得 ， 所以 ，又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （2）由（1）可知 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 单增，在 单减.所以 ， 又 ， ， ，所以 ， 所以， 在 上的最小值是 ，最大值是 . 19.解析: (1)∵当n≥2 时，an－2an－1－2n－1＝0， ∴－＝， ∴{}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)，得＝＋(n－1)×， ∴an＝n·2n－1， ∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1 ① 则2Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ② ①－②，得 －Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝－n·2n ＝2n－1－n·2n， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1. 20.【解析】（1） 定义域为 ， ， 则 ， ， 在 处的切线方程为 ， 又切线过 ， ，解得： . （2）由（1）知： ， 令 ，则 ， ①当 ，即 时， 恒成立， 在 上恒成立， 此时 在 上单调递增，无极值，不合题意； ②当 ，即 或 时， 令 ，解得： ， ， ⑴若 ，则 ， ， 在 上恒成立， 在 上恒成立， 此时 在 上单调递增，无极值，不合题意； ⑵若 ，则 ， 当 和 时， ；当 时， ； 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 恰有两个极值点 ，符合题意； 综上所述： 的取值范围为 . 21 解.（Ⅰ）设点 ，则 ，由 得： 化简得 （Ⅱ）设点 ，则有 故 设存在点 满足题设要求，则 设 为定值 ，即 故 因 为常量， 为变量，故 从而有 ，代入方程得 ，于是点 为 . 而当 时，直线恰好经过点C，此时点A、B 与C 重合，故此时结论不成立. 综上，当 时，不存在满足要求的点； 时，存在点 . 22.解析: (1) , 时, , 在 单调递减; 时, , 在 单调递增 故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . (2)令 , ,知 令 ,则 时, , 在 单调递减; 时, , 在 单调递增 时, 故 时, , 单调递减;故 时, , 单调递增 故 的最小值为 . (3)由(2)知 ,而 当 时, ,不符合题意 当 时, 由(2)知 ,故 时, 恒成立.