山西省长治市第二中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷

（北京）股份有限公司 2022—2023 学年第一学期高二第一次月考数学试题 【本试卷满分150 分，考试时间为120 分钟】 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．直线x=tan30°的倾斜角是 A．90° B．30° C．60° D．不存在 2．直线2 x+3 y −1=0的一个方向向量是(1,a)，则a的值为 A．2 3 B．−2 3 C．3 2 D．−3 2 3．直线l:ax+ y −2a+1=0必过定点 A．(2,−1) B．(1,2) C．(2,1) D．(−1,2) 4．直线l: x+ y+1=0被圆C : x 2+( y −1) 2=4截得的弦长为 A．4 B．2❑ √3 C．2❑ √2 D．2 5．若空间四点A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (x ,1,2)共面，则x的值为 A．−2 B．2 C．1 D．−1 6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖 臑ABCD 中（如图），AB⊥平面BCD，BC ⊥CD，且AB=BC=CD， 则直线AB与平面ACD所成的角为 A．30° B．45° C．60° D．135° 7．直线l的一个方向向量为⃗ m=(1,❑ √2,1)，点 P (3,0,−1)为直线l外一点，点O (0,0,0)为直线 l上一点，则点P到直线l的距离为 A．1 B．2 C．3 D．4 8 ．圆C1: x 2+ y 2+2ax+a 2−1=0和圆C2: x 2+ y 2−4 by −1+4 b 2=0有三条公切线，若 （北京）股份有限公司 a∈R ,b∈R ,ab≠0,则4 a 2 + 1 b 2的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. （北京）股份有限公司 9．{⃗ a, ⃗ b, ⃗ c}是空间的一个基底，可以和⃗ a+⃗ b, ⃗ a−⃗ b构成基底的另一个向量可以是 A．⃗ a+⃗ c B．⃗ a−⃗ c C．⃗ b+⃗ c D．⃗ b−⃗ c 10．已知点A (0,❑ √3)，B (2,1),若过点(1,0)的直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角可以是 A．30° B．60° C．90° D．150° 11．一条光线从点(0,1)射出，经x轴反射后与圆x 2+ y 2−4 x+3=0相切，则反射光线所在直 线的方程是 A．4 x−3 y −3=0 B．y=1 C．3 x−4 y −4=0 D．y=−1 12．在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，已知E 为线段B1C的中点，点F 和点P 分 别满足⃗ D1 F=λ⃗ D1C1，⃗ D1 P=μ⃗ D1B，其中λ , μ∈[0,1]，则下列说法正确的是 A．当λ=1 2时，三棱锥P−EFD的体积为定值 B．当μ=1 2时，四棱锥P−ABCD的外接球的表面积是3 π 4 C．PE+PF的最小值为5 ❑ √2 6 D．存在唯一的实数对( λ , μ)，使得EP⊥平面PDF 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答卷的相应位置。 13．已知⃗ a=(2,3,−1)，⃗ b=(−4,2, x)，⃗ a⊥⃗ b，则x的值为 ． 14．直线l过点（2,1），且在y轴上的截距为x轴上的截距的2 倍，则直线l的方程为 ． 15．圆心在直线y=x上，并且经过点A (2,0)，与直线x−y+2=0相切的圆的方程为 ． 16．已知点P (x , y )是圆C : x 2+ y 2−2❑ √3 y+2=0上一点，则|x+❑ √3 y+1|的范围是 ． 四、解答题:本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本题满分10 分) （北京）股份有限公司 已知两条直线l1: (3+m) x+4 y=5−3m；l2:2 x+(5+m) y=8 （1）m为何值时，l1⊥l2； （2）当l1与l2平行时，求直线l1与l2之间的距离. 18．(本题满分12 分) （北京）股份有限公司 如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD是边长为2 的正方形， A A1=3,∠A1 AB=∠A1 AD=60°，设⃗ AB=⃗ a，⃗ AD=⃗ b，⃗ A A1=⃗ c （1）用⃗ a, ⃗ b, ⃗ c表示⃗ A C1，并求|⃗ A C1|； （2）求AC1 与BD 所成角的大小. 19．(本题满分12 分) ∆ABC的三个顶点分别是A(−1,0)，B(2,0)，C(1,2) （1）求边AB上的中线所在直线的方程； （2）求∆ABC的外接圆的方程. 20．(本题满分12 分） 在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2 的正方形，AE⊥面ABCD, DF/¿ AE，且DF=1 2 AE=1，M , N分别为CD ,BE的中点. （1）证明：NF//平面ABCD； （2）求点A到平面MNF的距离. （北京）股份有限公司 21．(本题满分12 分) （北京）股份有限公司 已知三棱锥P−ABC（如图①）的平面展开图（如图②）中，四边形ABCD 为边长为 2❑ √2的正方形，∆ABE和∆BCF均为正三角形. （1）证明：平面PAC⊥平面ABC； （2）棱PA 上是否存在一点M，使平面PBC 与平面BCM 所成角的余弦值为2❑ √2 3 ，若存 在，求出PM PA 的值；若不存在，请说明理由. 22．(本题满分12 分） 长为2❑ √2的线段AB的两个端点A 和B 分别在x轴和y轴上滑动，线段AB 的中点P 的轨 迹为曲线C. （1）求曲线C的方程，并说明其形状； （2）过点M (−1,−1)作两条直线分别与圆C 交于P，Q两点，若直线MP，MQ的斜 率之和为0，求证:直线PQ 的斜率为定值，并求出该定值. （北京）股份有限公司 数学答案 一、单项选择题 1—8 ABAC DBCA 二、多项选择题 9.ABCD 10.BC 11.AD 12.ACD 三、填空题13.−2 14.x−2 y=0或2 x+ y −5=0 15. (x−1) 2+( y −1) 2=2 16. [2，6] 四、解答题 17. 解：（1）由题知当2 (3+m)+4 (5+m)=0时，l1⊥l2，解得m=−13 3 ． （2）由(3+m)(5+m)−8＝0，解得m＝−1或m=−7． 当m＝−1时，l1: x+2 y −8=0，l2: x+2 y −8=0，此时，l1与l2重合，舍去； 当m=−7时，l1:2 x−2 y+13=0，l2:2 x−2 y −8=0，此时，l1//l2，符合 此时，d= |−8−13| ❑ √2 2+(−2) 2=21❑ √2 4 18.解：（1）A C → 1=AB → +BC → +C C → 1=a → +b → +c →， ¿ A C → 1∨¿ ❑ √(a → +b → +c → ) 2= ❑ √a → 2+b → 2+c → 2+2a → ⋅b → +2 a → ⋅c → +2b → ⋅c → ¿ ❑ √4+4+9+0+2×2×3× 1 2 ×2=❑ √29． （2）∵A C → 1⋅BD → =(a → +b → +c →)∙(b → −a →)=⃗ a∙⃗ b−⃗ a 2+⃗ b 2−⃗ a∙⃗ b+⃗ b∙⃗ c−⃗ a∙⃗ c=¿0 ∴A C → 1⊥BD →，因此AC1与BD 所成角的大小为90° 19.解：（1）AB中点为M( 1 2 ,0)，C(1,2)，由 y −2 x−1 = 0−2 1 2 −1 ， 整理得边AB上的中线所在直线的方程为4 x−y −2=0 （2）设∆ABC的外接圆的方程为x 2+ y 2+Dx+Ey+F=0，则 { 1−D+F=0 4+2 D+F=0 5+D+2E+F=0 ，解得{ D=−1 E=−1 F=−2 ∴∆ABC的外接圆的方程为x 2+ y 2−x−y −2=0 （北京）股份有限公司 20.解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则 A（0,0,0），E（0,0,2），N（1,0,1），M（1,2,0），F （0,2,1） ∵AE⊥面ABCD∴AE → =(0,0,2)是平面ABCD 的一个法向量 （北京）股份有限公司 ∵NF → ⋅n → =0∴N F → ⊥n →，又NF⊄平面ABCD，所以NF∥平面ABCD （2）NF → =(−1,2,0)，MF → =(−1,0,1)，设平面MNF 的法向量为m → =¿ （x,y,z），则 { m → ⋅NF → =−x+2 y=0 m → ⋅MF → =−x+z=0 ，取 m → =(2，1，2) ， MA → =(−1，−2，0) 设点A 到平面MNF 的距离为d，则d=¿m → ⋅MA → ∨ ¿ ¿m → ∨¿= 4 3 ¿ ¿，所以点A 到平面MNF 的距离4 3 ． 21.解：（1）设AC 的中点为O，连接BO，PO． 由题意得，PA=PB=PC=2❑ √2，PO＝AO＝BO＝CO＝2． ∵在△PAC 中，PA＝PC，O 为AC 的中点，∴PO⊥AC， ∵在△POB 中，PO＝2，OB＝2，PB=2❑ √2，PO2+OB2＝PB2，∴PO⊥OB ∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC， ∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC （Ⅱ）由PO⊥平面ABC ，OB⊥AC ，∴PO⊥OB ， PO⊥OC， 如图建立空间直角坐标系，则O（0,0,0），C（2,0,0）， B（0,2,0），A（−2,0,0），P（0,0,2）， 设⃗ PM=λ⃗ PA ，λ∈[0,1]，则 ⃗ OM=⃗ λOA+(1−λ)⃗ OP=(0,2 λ ,2−2 λ)，∴M (−2 λ ,0,2−2 λ) ⃗ MC=(2 λ+2,0,2 λ−2),⃗ BC=(2,−2,0),设平面BCM 的法向量为m → =¿ （x,y,z），则 （北京）股份有限公司 { m → ⋅MC → =(2 λ+2) x+(2 λ−2) z=0 m → ⋅BC → =2 x−2 y=0 ，取 m → =(1−λ ,1−λ , λ+1) 同理可得平面PBC 的一个法向量为n → =¿ （1，1，1）．设平面PBC 与平面BCM 所成角为 θ， 则cosθ=|cos〈n → ，m → 〉|= |m → ⋅n →| ¿m → ∨⋅∨n → ∨¿= |λ−3| ❑ √3∙ ❑ √3 λ 2−2 λ+3 =2❑ √2 3 ¿ ，解得λ=1 3 或λ=−3 7 （舍去） ∴存在点M 使平面PBC 与平面BCM 所成角的余弦值为2❑ √2 3 ，且PM PA =1 3. 22.解：（1）设P (x , y )，由题可知，|OP|=❑ √2，即❑ √x 2+ y 2=❑ √2 , 整理可得曲线C的方程为x 2+ y 2=2，其形状为以(0,0)为圆心，以❑ √2为半径的圆 （北京）股份有限公司 （2）设直线PM 的斜率为k，QM 的斜率方程为−k， 设直线PM 的方程为：y+1＝k (x+1)，圆M 的方程为：x 2+ y 2=2， 联立{ y+1＝k (x+1) x 2+ y 2=2 ，整理可得：(1+k 2) x 2+2k (k −1) x+k 2−2k −1=0， 又圆C 过点M (−1,−1)，设点P (x1, y1)，则x1∙(−1)=k 2−2k −1 (1+k 2) ，∴x1=−k 2−2k −1 1+k 2 设点P (x2, y2)，同理可得x2=−k 2+2k −1 1+k 2 所以 k PQ= y1−y2 x1−x2 = k x1+k −1−(k x2+k −1) x1−x2 = k (x1+x2)+2k x1−x2 = k(−k 2−2k −1 1+k 2 −k 2+2k −1 1+k 2 )+2k −k 2−2k −1 1+k 2 + k 2+2k −1 1+k 2 =1 直线PQ 的斜率为定值，定值为1.