浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高一下学期期中数学

绝密★考试结束前 2021-2022 学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 命题：萧山中学 吴文杰､赵飞 审校：余杭高级中 学林威 审核：永嘉中学 吴云浪 考生须知： 1.本卷满分150 分，考试时间120 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 ，则 （ ） A. 或 B. C. D. 2.若复数 满足 . （为虚数单位），则 的虚部为（ ） A.1 B. C. D. 3.在 中，角 所对的边分别是 ，则 （ ） A. B. C. D. 4.若函数 的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5.已知不共线平面向量 在非零向量 上的投影向量互为相反向量，则（ ） A. B. C. D. 6.古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八 角窗.在正八边形 中，若 ，则 （ ） A. B. C. D.3 7.2022 年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最 年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在 大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图， 为测量大跳台最高处 点的高度，小王在场馆内的 两点测得 的仰角分别为 （单位： ），且 ，则大跳台最高高度 （ ） A. B. C. D. 8.已知实数 满足 ，则“ ”是“ ”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.下列说法正确的是（ ） A.棱柱的侧面一定是矩形 B.三个平面至多将空间分为7 个部分 C.圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成 D.任意五棱锥都可以分成3 个三棱锥 10.已知函数 .（ ） A.任意 B.任意 C.任意 D.存在 11.下列说法正确的是（ ） A.若平面向量 ，则 B.若平面向量 ，则 C.若复数 ，则 D.若复数 ，则 12.如图，已知边长为1 的正方形 是线段 上的动点（包括端点）， 分别是 上动点， 且 分别是 中点，下列说法正确的是（ ） A. B.若 ，则 的最小值为 C.若 ，则 的最小值为 D.若 ，则 的最大值为 非选择题部分 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知平面向量 ，若 ，则 __________. 14.已知 利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2 的等腰直角三角形，则 的面积是_______ ___. 15.欧立公式 （为虚数单位， 为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函 数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中 取作 就得到了欧拉恒等式 ，它将两个超越数——自然底数 ，圆周率 ，两个单位一虚数单位，自然 数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0 联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知， 若复数 ，则 __________. 16.已知函数 ，若对于 ，不等式 恒成立，则正整数 的最小值为__________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写岕文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10 分）已知复数 是方程 的解. （1）求 的值； （2）若复平面内表示 的点在第四象限，且 为纯虚数，其中 ，求 的值. 18.（本题满分12 分）现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴 截面是边长为2（单位： ）的正三角形. （1）求该几何体的体积（单位： ）； （2）求该几何体的表面积（单位： ）. 19.（本题满分12 分） 中，角 所对的边分别是 . （1）求角 ； （2）若 边的中线 ，求 面积. 20.（本题满分12 分）已知平面向量 满足 . （1）若 ，求向量 与 的夹角； （2）若 ，求函数 的最小值. 21.（本题满分12 分）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为 ， 经过一段时间后的温度为 ，则 ，其中 为环境温度， 为参数.某日室温为 ， 上午8 点小王使用某品牌电热养生壶烧1 升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温 一致），8 分钟后水温达到 点18 分时，壶中热水自然冷却到 . （1）求8 点起壶中水温 （单位： ）关于时间（单位：分钟）的函数 ； （2）若当日小王在1 升水沸腾 时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生 显会自动检测壸内水温，当壶内水温高于临界值 时，设备不工作；当壸内水温不高于临界值 时，开始 加热至 后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34 分钟后回来发现养生壶处于末工作状态，同 时发现水温恰为 .（参考数据： ） （1）求这34 分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数.（不需要写出理由） （2）求该养生壶保温的临界值 . 22.（本题满分12 分）已知函数 ，其中 . （1）求函数 在 的最小佪； （1）求函数 在 上的最小值； （2）若函数 恰好存在三个零点 ，且 ，求 的取值范围. 2021~2022 学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科参考答案 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7.C 8.A 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.CD 10.ACD 11.ABD 12.ABD 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.0 14. 15. 16.3034 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.解 （1）法一：由韦达定理可知， ， 故 . 法二：由求根公式可知 ， 则 . （2）由 表示的点在第四象限，可知 . 又 ， 为纯虚数，则 ， 故可得 . 18.解： （1）球半径为 ，圆锥底面半径 ，母线长 ，故圆锥高 ， ， 则 . （2） 则 . 19.解： （1）由题意 与正弦定理可得 ， 由 ，可得 . 则 . 故 ，可得 . （2）由余弦定理 ，可得 ①. 又中线长公式 ，可得 .② 由①②式可得 ，故 . 则 . 20.解： （1）设向量 与 的夹角为 ， 由题意 ，可得 ， 则 ，故 . （2）由题意 ，则 ， 即 ，其中 . 21.解： （1）当 时， ，代入 ，则 . 由题意 ，代入 ，得 ， 由题意 . （2）（i）1 次. 理由如下：若从 降温至 ，由题意 ， 代入 ，则需要 分钟，由于小王出门34 分钟， 故至少加热一次；从 加热至 需要3 分钟，从 降温至 ，计算得需10 分钟， 若加热两次以上，则至少需要 分钟，故只加热过一次. （ii）从 降温至 ，由题意 ，代入 ， ，解得 . 故在 时，水温正好被加热到 . 设在 时保温加热，则当 时， ，且 . 在24 分钟时加热至 ，当 ，则 显然等式左侧关于 单调递减，故 ，则 . 22.解： （1） 在 上单调递增，在 上单调递减， 则当 时， ； 当 时， . （2） ，不妨设 ， ①当 时 由图象可知 是方程 的两根， 是方程 的较大根， 则由丰达定理与求根公式可知 ， 可得 ， 令 ，而 ， 则 ； ②当 时， 由图象可知 是方程 的两相异根， 是方程 的较大根， 由 的 可知 ， 则 ， 可得 ， 令 ，而 ， 则 . 综上所述， ， 又满足 ，故 ，即 .