安徽省蚌埠市2021-2022学年高一下学期期末考试 数学

蚌埠市2021—2022 学年度第二学期期末学业水平监测 高一数学 本试卷满分150 分，考试时间120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 一、选择题：本题共８小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 2. （） A. B. C. D. 【答案】D 3. 已知向量 ， ，若 ，则 （） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 4. 已知 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列结论正确的是（） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D 5. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个斜边长为2 的等腰直角三角形，且斜边成横向，那么原 平面图形中最长边的长度是（） A. B. C. D. 【答案】C 6. 已知圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥侧面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 7. 为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】D 8. 已知直三棱柱 的 个顶点都在球 的表面上，若 ， ， ，则球 的体积为（） A. B. C. D. 【答案】A 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知复数 ，则下列说法正确的是（） A. 虚部是 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的概念进行判断. 【详解】 ，虚部为2，所以A 错误； ，所以B 正确； 虚数不比较大小，所以C 错误； ，所以D 正确. 故选：BD. 10. 中，下列说法正确的是（） A. 与 共线的单位向量为 B. C. 若 ，则 为钝角三角形 D. 若 是等边三角形，则 ， 的夹角为60° 【答案】AC 11. 如图，正方体 中，点 为 的中点，点 为 的中点，则下列结论正确的是 （） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线 与平面 所成的角为30° 【答案】AB 12. 关于函数 ，以下说法正确的是（） A. 函数 是偶函数 B. 函数的 最小正周期是 C. 是函数 图象的一条对称轴 D. 函数 在区间 上单调递增 【答案】BCD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，16 题第一空2 分，第二空3 分. 13. 已知是虚数单位，计算： ____________. 【答案】 14. 如图，点 ， 在无法到达的河对岸，为测量出 ， 两点间的距离，在河岸边选取 ， 两个观 测点，测得 ， ， ， ，则 ， 两点之间 的距离为____________（结果用m 表示）. 【答案】 15. 计算： ____________ 【答案】 16. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学 的对称美.如图，将一个棱长为2 正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱 锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体的表面积为___________； 其外接球的表面积为___________. 【答案】 ①. ## ②. 四、解答题：本题共6 个小题，共70 分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤. 17. 已知 ， . （1）求 ； （2）求 . 【答案】（1） （2）-2 18. 已知向量 与 ，其中 ， ，且 与 的夹角 . （1）求 ； （2）求向量 在 方向上的投影数量. 【答案】（1） （2） 19. 若函数 . （1）求函数 的最大值及最小正周期； （2）求使 成立的 的取值集合. 【答案】（1）最大值为 ，最小正周期为 （2） 20. 底面是菱形的直四棱柱 中， ，且 ， . （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）若 为线段 的中点，求三棱锥 的体积. 【答案】（1） （2） 21. 在① ，② ，③ 三个条件中任选一 个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，_____________. （1）求角 ； （2）若 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） （2） 22. 如图所示的几何体 中， ， 平面 ， ， ， 是 的中点. （1）求证： ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，请求出 的值；若不存在，请 说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点 当 时，满足条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，由三角形中位线定理可得 ，再由 ，得 ，则 与 共面，由已知线面垂直和等腰三角形的性质，结合线面垂直的 判定可得 平面 ，从而可证得 ， （2）当 时，满足条件，连接 交 于 ，连接 ，则 ，从而得 ， 再由线面平行的判定定理可证得结论 【小问1 详解】 取 的中点 ，连接 ， ， 又 是 的中点，所以 ， ∵ ，∴ ， ∴ 与 共面， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∵ ， 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ . 【小问2 详解】 存在点 ，当 时，满足条件，证明如下， 连接 交 于 ，连接 ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平面 ， 不在平面 内， ∴ 平面 .