三峡名校联盟2022年春季联考2023届数学试题

三峡名校联盟2022 年春季联考 高2023 届数学试题 命题人：忠县中学校，刘杰 审题人：忠县中学校，李华伟 考试时间：120 分钟 满分150 分 第I 卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8 道小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合要求的） 1.函数f (x )=xlnx−3的导函数是（ ） A．lnx −2 B.lnx+1 C.lnx+2 D.lnx −4 2.4 名同学在3 道数学题中选择一道来解答，不同选择方法的种数是（ ） A．3 4 B. 4 3 C.C4 3 D.A4 3 3.若函数f (x )在x0处可导，且lim Δ x→0 f (x0+2∆x)−f ( x0) 2∆x =1，则f ' (x0)=¿（ ） A．1 B.−1 C.2 D.1 2 4.已知( x+ 1 x ) n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5 项是（ ） A．6 B.15 C. 6 x 4 D.15 x 2 5.已知函数f (x )=lnx −ax在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围是（ ） A．(−∞,1¿ B.(−∞, 1 2 ¿ C.(−∞, 1 2 ) D.(−∞,1) 6. 班长小杨要安排一场班级晚会的6 个节目的演出顺序，在“节目A 不是第一个节目且节目 B 不是最后一个节目”条件下，节目C 第一个出场的概率是（ ） A．1 21 B. 2 21 C.1 7 D. 4 21 7.已知函数y=f ( x)的图像如右图所示，则函数f ( x)的解析式 可能是（ ） A.f (x )=xcosx −sinx B.f (x )=xsinx −cosx C.f (x )=xcosx D.f (x )=xsinx 8.春天到了，4 个大人和3 个小孩在一个景区春游，景区有划船游玩项目，现有3 艘不同造 型的船只可供租用，出于安全与划船考虑，每艘船上必须要有至少要有一个大人，并且每 艘船最多可以乘坐4 人，则不同的租船乘坐方式有（ ） A．204 B.936 C.1140 D.1392 二、多项选择题（本题共4 题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9.对于定义在R上的可导函数f ( x)，f ' (x )为其导函数，下列说法不正确的是（ ） A．使f ' (x )=0的x一定是函数的极值点 B．f ( x)在R上单调递增是f ' (x )>0 在R上恒成立的充要条件 C．若函数f ( x)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D．若f ( x)在R上存在极值，则它在R一定不单调 10.从4 名男生和4 名女生中选出4 人组成一支队伍去参加一项辩论赛，下列说法正确的是（ ） A．如果参赛队中男生女生各两名，那么一共有36 种选法 B．如果男生甲和女生乙必须入选，那么一共有30 种选法 C．如果至少有一名女生入选，那么一共有140 种选法 D．如果4 人中必须既有男生又有女生，那么一共有68 种选法 11.已知M=C30 1 +C30 2 +C30 3 +⋯+C30 30，若M +a能被5 整除，则a的取值可以是（ ） A．6 B.7 C.11 D.12 12.定义在R上的函数f ( x)满足f ' (x )−2f (x )−6<0，且f (1)=e 2−3，则满足不等式f (x )>e 2 x−3的 x的取值有（ ） A．−1 B.0 C.1 D.2 第II 卷（非选择题） 三、填空题（本题共4 道小题，每小题5 分，共20 分） 13.某物体的运动方程为S=2t 2+t −1，其中S表示位移，单位是m，t表示时间，单位是s，则 该物体在第2s时的瞬时速度为 m/s. 14.正十边形有 条对角线. 15.已知关于x 、y 、z的三元一次方程x+ y+z=n(n∈N , 且n≥3)，则该方程有 组正整数 解. 16.已知函数f (x )=x (e x−a)+e x−1(a>0)，若关于x的不等式f (x )<0有且仅有两个整数解，则实 数a的取值范围是 . 四、解答题（本题共6 大题，70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步 骤。） 17．（满分10 分）由数字1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数. （1）一共可以组成多少个五位偶数? （2）在组成的所有五位数中，比32145 大的五位数有几个? 18.（满分12 分）若函数f (x )=a x 3+bx，当x=−2时函数f (x )有极值16 3 . （1）求函数f (x )的解析式； （2）求曲线y=f ( x)过点P（3,−3）的切线方程. 19．（满分12 分）已知f (x )=(3 x−1) n,n∈N ∗ （1）若f (x )的二项展开式中只有第7 项的二项式系数最大，求展开式中x 2的系数； （2）若n=2023，且f (x )=(3 x −1) 2023=a0+a1 x+a2 x 2+⋯+a2023 x 2023，求|a0|+|a1|+⋯+|a2023|. 20.（满分12 分）石宝寨位于重庆市忠县境内长江北岸边，被称为“江上明珠”，国家 AAAA 级旅游景区，全国重点文物保护单位，长江三峡最佳旅游景观之一，美国探索频道 中国七大奇观之一，世界八大奇异建筑之一。近期石宝寨景区为提高经济效益，拟投入资 金对景区经行改造升级，经过市场调查可知，景区门票增收y（单位：万元）与投入资金 x(5≤x ≤40)（单位：万元）之间的关系式为：y=f (x )=−x 2 40 + 7 4 x+alnx+b，其中a，b为常 数， 当投入资金x 为10 万元时，门票增收y为16.5 万元；当投入资金x 为30 万元时， 门票增收y为37 万元. （参考数据：ln 2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6） （1）求f ( x)的解析式； （2）石宝寨景区投入资金为多少时，改造升级后的旅游利润ω（x ）=f (x )−x最大，最大 值为多少? 21.（满分12 分）某商场正在进行“消费抽奖”活动，道具是甲乙两个箱子，里面装有形状 大小材质数量均相同的小球若干，已知每个箱子里装有红球1 个，黄球2 个，蓝球若干个， 若从一个箱子里任取两个小球，这两个小球均是蓝球的概率为0.1. （1）从甲箱里任取两个球，在已知一个小球是黄球的条件下，求另一个小球也是黄球的概 率; （2）若活动规定取到一个红球积分为0 分，取到一个黄球积分为1 分，取到一个蓝球积分 为2 分，参加活动的人需要在甲乙两个箱子中各随机抽取一个球，用X表示一个人参加 活动的总积分，求X的分布列. 22.（满分12 分）已知函数f (x )=x−sinx−tanx+alnx+b，x∈(0, π 2 ). （1）求证：2 x<sinx+tanx，x∈(0, π 2 ); （2）若存在x1, x2∈(0, π 2 )，且当x1≠x2时，使得f (x1)=f ( x2)成立，求证：x1 x2 a 2 <1.