三峡名校联盟2022年春季联考2023届数学试题

第1 页（共4 页） 三峡名校联盟2022 年春季联考 高2023 届数学试题 命题人：忠县中学校，刘杰 审题人：忠县中学校，李华伟 考试时间：120 分钟 满分150 分 第I 卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8 道小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合要求的） 1.函数𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥−3的导函数是（ ） A． 𝑙𝑛𝑥−2 B. 𝑙𝑛𝑥+ 1 C. 𝑙𝑛𝑥+ 2 D. 𝑙𝑛𝑥−4 2.4 名同学在3 道数学题中选择一道来解答，不同选择方法的种数是（ ） A．34 B. 43 C.C4 3 D. A4 3 3.若函数𝑓(𝑥)在𝑥0处可导，且lim Δ𝑥→0 𝑓(𝑥0+2∆𝑥)−𝑓(𝑥0) 2∆𝑥 = 1，则𝑓′(𝑥0) =（ ） A．1 B.−1 C. 2 D. 1 2 4.已知(𝑥+ 1 𝑥)𝑛展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5 项是（ ） A．6 B.15 C. 6 𝑥4 D. 15 𝑥2 5.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥在区间(1,2)上单调递增，则𝑎的取值范围是（ ） A．(−∞, 1] B. (−∞, 1 2] C. (−∞, 1 2) D. (−∞, 1) 6. 班长小杨要安排一场班级晚会的6 个节目的演出顺序，在“节目A 不是第一个节目且节目 B 不是最后一个节目”条件下，节目C 第一个出场的概率是（ ） A． 1 21 B. 2 21 C. 1 7 D. 4 21 7.已知函数𝑦= 𝑓(𝑥)的图像如右图所示， 则函数𝑓(𝑥)的解析式可 能是（ ） A. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥 B. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥 C. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 D. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 8.春天到了，4 个大人和3 个小孩在一个景区春游，景区有划船游玩项目，现有3 艘不同造型 的船只可供租用，出于安全与划船考虑，每艘船上必须要有至少要有一个大人，并且每艘 船最多可以乘坐4 人，则不同的租船乘坐方式有（ ） A．204 B.936 C.1140 D.1392 二、多项选择题（本题共4 题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9.对于定义在𝑅上的可导函数𝑓(𝑥)，𝑓′(𝑥)为其导函数，下列说法不 ． 正确 ．． 的是（ ） A．使𝑓′(𝑥) = 0的𝑥一定是函数的极值点 第2 页（共4 页） B．𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增是𝑓′(𝑥)>0 在𝑅上恒成立的充要条件 C．若函数𝑓(𝑥)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D．若𝑓(𝑥)在𝑅上存在极值，则它在𝑅一定不单调 10.从4 名男生和4 名女生中选出4 人组成一支队伍去参加一项辩论赛，下列说法正确的是 （ ） A．如果参赛队中男生女生各两名，那么一共有36 种选法 B．如果男生甲和女生乙必须入选，那么一共有30 种选法 C．如果至少有一名女生入选，那么一共有140 种选法 D．如果4 人中必须既有男生又有女生，那么一共有68 种选法 11.已知𝑀= C30 1 + C30 2 + C30 3 + ⋯+ C30 30，若𝑀+ 𝑎能被5 整除，则𝑎的取值可以是（ ） A．6 B.7 C.11 D.12 12.定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓′(𝑥) −2𝑓(𝑥) −6 < 0， 且𝑓(1) = 𝑒2 −3， 则满足不等式𝑓(𝑥) > 𝑒2𝑥−3的𝑥的取值有（ ） A．−1 B.0 C.1 D.2 第II 卷（非选择题） 三、填空题（本题共4 道小题，每小题5 分，共20 分） 13.某物体的运动方程为𝑆= 2𝑡2 + 𝑡−1，其中𝑆表示位移，单位是𝑚，𝑡表示时间，单位是𝑠， 则该物体在第2𝑠时的瞬时速度为 𝑚/𝑠. 14.正十边形有 条对角线. 15.已知关于𝑥、𝑦、𝑧的三元一次方程𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 𝑛(𝑛∈𝑁, 且𝑛≥3)， 则该方程有 组正 整数解. 16.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑒𝑥−𝑎) + 𝑒𝑥−1(𝑎> 0)， 若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥) < 0有且仅有两个整数 解，则实数𝑎的取值范围是 . 四、解答题（本题共6 大题，70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步 骤。 ） 17． （满分10 分）由数字1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数. （1）一共可以组成多少个五位偶数? （2）在组成的所有五位数中，比32145 大的五位数有几个? 18.（满分12 分）若函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥，当𝑥= −2时函数𝑓(𝑥)有极值 16 3 . （1）求函数𝑓(𝑥)的解析式； （2）求曲线𝑦= 𝑓(𝑥)过点𝑃（3, −3）的切线方程. 第3 页（共4 页） 19． （满分12 分）已知𝑓(𝑥) = (3𝑥−1)𝑛, 𝑛∈𝑁∗ （1）若𝑓(𝑥)的二项展开式中只有第7 项的二项式系数最大，求展开式中𝑥2的系数； （2）若𝑛= 2023，且𝑓(𝑥) = (3𝑥−1)2023 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎2023𝑥2023，求|𝑎0| + |𝑎1| + ⋯+ |𝑎2023|. 20.（满分12 分）石宝寨位于重庆市忠县境内长江北岸边，被称为“江上明珠”，国家AAAA 级旅游景区，全国重点文物保护单位，长江三峡最佳旅游景观之一，美国探索频道中国七 大奇观之一，世界八大奇异建筑之一。近期石宝寨景区为提高经济效益，拟投入资金对景 区经行改造升级， 经过市场调查可知， 景区门票增收𝑦（单位： 万元） 与投入资金𝑥(5 ≤𝑥≤ 40)（单位：万元）之间的关系式为：𝑦= 𝑓(𝑥) = − 𝑥2 40 + 7 4 𝑥+ 𝑎𝑙𝑛𝑥+ 𝑏，其中𝑎，𝑏为常数， 当投入资金𝑥为10 万元时，门票增收𝑦为16.5 万元；当投入资金𝑥为30 万元时，门票增收𝑦 为37 万元. （参考数据：𝒍𝒏𝟐= 𝟎. 𝟕, 𝒍𝒏𝟑= 𝟏. 𝟏, 𝒍𝒏𝟓= 𝟏. 𝟔） （1）求𝑓(𝑥)的解析式； （2） 石宝寨景区投入资金为多少时， 改造升级后的旅游利润𝜔(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑥最大， 最大值为 多少? 第4 页（共4 页） 21.（满分12 分）某商场正在进行“消费抽奖”活动，道具是甲乙两个箱子，里面装有形状大小 材质数量均相同的小球若干，已知每个箱子里装有红球1 个，黄球2 个，蓝球若干个，若 从一个箱子里任取两个小球，这两个小球均是蓝球的概率为0.1. （1） 从甲箱里任取两个球， 在已知一个小球是黄球的条件下， 求另一个小球也是黄球的概率; （2）若活动规定取到一个红球积分为0 分，取到一个黄球积分为1 分，取到一个蓝球积分为 2 分，参加活动的人需要在甲乙两个箱子中各随机抽取一个球，用𝑋表示一个人参加活动 的总积分，求𝑋的分布列. 22.（满分12 分）已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑎𝑙𝑛𝑥+ 𝑏，𝑥∈(0, 𝜋 2). （1）求证：2𝑥< 𝑠𝑖𝑛𝑥+ 𝑡𝑎𝑛𝑥，𝑥∈(0, 𝜋 2); （2）若存在𝑥1, 𝑥2 ∈(0, 𝜋 2)，且当𝑥1 ≠𝑥2时，使得𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)成立，求证： 𝑥1𝑥2 𝑎2 < 1.