福建省福州市八县（市）一中2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022～2023 学年第一学期高二八县（市）半期考联考 高中二年数学科试卷 命题学校：长乐一中 命题教师：高二集备组 审核教师：高二集备组 考试日期： 月 日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 第I卷 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．（在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．） 1、向量⃗ a ＝(1,－2,－3)，⃗ b ＝(2,－4,－6)，⃗ c ＝(12,0,4)，下列结论正确的是( ) A．⃗ a ∥⃗ b ，⃗ a ∥⃗ c B．⃗ a ∥⃗ b ，⃗ a ⊥⃗ c C．⃗ a ∥⃗ c ，⃗ a ⊥⃗ b D．以上都不对 2、已知倾斜角为θ 的直线l 与直线x+√3 y−3=0垂直，则tan 2θ 的值为（ ） A. −√3 3 B. √3 3 C. −√3 D. √3 3、已知直线l 方程：kx−y+2k−2=0 (k ∈R)，若l 不经过第四象限，则k 的取值范围为 （ ） A. k≤1 B. k≥1 C. k≤0 D. k≥0 4、已知圆C:(x-1)2+y2=1，点P 为直线x-y+1=0 上的任意一点，PA 为圆C 的切线（A 为切 点），则|PA|的最小值为( ) A.1 B.❑ √2 C.2 D.2❑ √2 5、已知圆 ，圆 ，动圆M 与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6、如图，直径为4 的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切 点F 为一个焦点的椭圆，已知是 椭圆的长轴， 垂直于地面且与球相切， ，则椭 圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7、如图，已知正三棱柱 的所有棱长均为1，则线段 上的动点P 到直线 的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 8、如图，把椭圆 绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a 称 为扁椭球长半径，b 称为扁椭球短半径， 称为扁椭球的“扁率”。假设一扁椭球的短半 径为 ,且一棱长为1 的正方体内接于扁椭球（即正方体的8 个顶点都在扁椭球球面上），则此 扁椭球的扁率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．（在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．） 9、下列结论不正确的有（ ） A.如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0 不经过第三象限； B.过点（-2,2）且在x 轴上的截距是y 轴上截距的2 倍的直线方程为：x+2 y−2=0 ； C.直线l ：x+2 y−1=0 在x 轴的截距为-1； D. 直线l ：3x+√3 y−3=0 的倾斜角为 π 6 ； 10、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论中正确 高二数学第1 页共5 页 （北京）股份有限公司 的是（ ） A．D1D⊥AF B．A1G//平面AEF C．异面直线A1G 与EF 所成角的余弦值为 D．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2 倍 高二数学第2 页共5 页 （北京）股份有限公司 11、已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 的直线l 交椭圆于A，B 两点，若 的最大值为5，则下列说法正确的是（） A．椭圆的短轴长为 B．当 最大时， C．椭圆离心率为 D．Δ ABF2面积最大值为 12、如图，已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，E 为 的中点，P 为对角线上 的一个动点，过P 作与平面ACE 平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ） A.截面不可能是五边形 B.截面可以是正六边形 C．P 从D 点向 运动时，截面面积先增大后减小 D.截面面积的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分． 13、设m∈R，过定点A 的动直线2x+my+6=0 和过定点B 的动直线mx−2 y−m+6=0 交于 点P( x , y)，则|PA|2+|PB|2 的值是____________. 14、已知直线l1:3 x−2 y−1=0 和直线l2:3 x−2 y−13=0 ，直线l 与l1,l2的距离分别为 d1,d2 ，若d1:d2=1:2，则直线方程l 的方程为____________________________. 15、若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的最小值为___________ 16、如图，已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，M 为A1 D1的中点，一光线从M 点出发，经平面ACB1反射后 恰好经过点C1，则光线从点M 到点C1所经过的路程为_______. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6 大题，10 分+12 分+12 分 +12 分+12 分+12 分，共70 分） 17、在Δ ABC 中，A(5,−2)，B(7,4)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴 上. （1）求AB 边上的高CH 所在直线方程； （2）设过点C 的直线为l ，且点A 与点B 到直线l 距离相等，求l 的方程. 18、如图，菱形ABCD 中，AB=2, ，P 为平面ABCD 外一点，且平面PAD 平 面ABCD，O 为AD 的中点，M 为PC 的中点。 （1）求证：OM//平面PAB； （2）若Δ PAD 为等边三角形，求点M 到平面PAB 的距离. 19、已知圆 的圆心在直线 上，且截x 高二数学第3 页共5 页 （北京）股份有限公司 轴的弦长为2,截y 轴的弦长为 。 （1）求圆C 的方程； （2）若一光线从点 出发，经直线 反射后恰好与圆C 相切，求反射光 线所在的直线方程. （北京）股份有限公司 20、已知直三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧面AA1B1B 为正方形，AB＝BC＝2，E，F 分别为AC 和 CC1的中点，D 为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. （1）证明：BF⊥DE； （2）当B1D 为何值时，直线AB 与平面DFE 所成角的正弦值最大. 21、某沿海城市A 市气象观测站测定，在A 市正南方向 公里的海面上生成台风B，并且台 风中心正以20 公里/小时的速度向北偏东30 度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为 圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400 公里。 （1）经过多少小时A 市受到台风影响？影响时间多长？ （2）若此台风经20 小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5 公里/小时的速度缩小，则 台风B 影响A 市的持续时间为多少小时？ 22 、已知椭圆 且四个点 、 、 、 中恰好有三个点在椭圆C 上，O 为坐标原点。 （1）求椭圆C 的方程； （2 ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且 ，证明：直线l 与定圆 相切，并求出 的值。 2022～2023 学年第一学期高二八县（市）半期考联考 高二数学试卷参考答案 命题学校：长乐一中 命题教师：高二集备组 审核教师：高二集备组 考试日期： 月 日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 第I卷 选择题（单选8 题，每小题5 分；多项选择4 题，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分， 有选错的得0 分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B A D A C B BC D BD BC AC D 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分． 13、25 14、3 x−2 y+11=0 或3 x−2 y−5=0 15、2 16、 √13 2 四、解答题： 17、解析：（1）设C(x0, y0)，则{ x0+5=0 y0+4=0 ⇒{ x0=−5 y0=−4 ，∴C(−5,−4) ……………………2 分 k AB= 4+2 7−5=3, ∴kCH=−1 3 ∴lCH ：y+4=−1 3 (x+5) x 即+3 y+17=0 ……………………5 分 （2） 当斜率不存在时，l x ：=−5 ，不满足题意；……………………6 分 高二数学第4 页共5 页 （北京）股份有限公司 当斜率存在时， l 设：y+4=k(x+5) 即kx−y+5k−4=0 依题意得：|5k+2+5k−4| √1+k2 =|7k−4+5k−4−4| √1+k2 ⇒10k−2=12k−8 或10k−2=8−12k （北京）股份有限公司 ⇒k=3 或k= 5 11 综上所述，直线l的方程为: y+4=3(x+5) 或 y+4= 5 11 (x+5) ……………………9 分 即：3x−y+11=0 或5x−11 y−19=0 ……………………10 分 （如果用几何法，酌情给相应分数） 18、解：(1)取PB 的中点，连结MN,AN， ∵M 、N 为PC 、PB中点∴MN // 1 2 BC ；………………1 分 又∵菱形ABCD，O 为AD中点，∴OA // 1 2 BC ∴MN // 1 2 OA ∴四边形OANM 为平行四边形 ； ∴MN //OA ∴四边形OANM 为平行四边形；……………3 分 ∴OM // AN 又OM ⊄平面PAB, AN ⊂平面PAB ∴OM // 平面PAB ……………………5 分 （如果用坐标法证明酌情给分） (2)连结PO、OC，又∵菱形ABCD，∠ABC=600，∴CO⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CO⊂平面PAD ∴CO⊥平面PAD ∵ΔPAD为正三角形∴PO⊥AD 且PO=√3 ……………………6 分 以O 为原点，OA、OC、OP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则P（0,0，√3 ），A(1,0,0) B（2,√3 ,0）,M(0, √3 2 , √3 2 ) ……………………8 分 设平面PAB 的法向量为⃗ n=(x , y , z) ⃗ AP=(−1,0,√3) ⃗ AB=(1,√3,0) ， 则{ ⃗ n⋅⃗ AP=−x+√3 z=0 ⃗ n⋅⃗ AB=x+√3 z=0 ⇒取⃗ n =（√3，−1,1）⃗ AM=(−1, √3 2 , √3 2 ) ……………………10 分 ∴M 到平面PAB的距离d=⃗ AM⋅⃗ n |⃗ n| = |−√3−√3 2 +√3 2 | √5 =√15 5 即点M 到平面PAB 的距离为 √15 5 ……………………12 分 19、解：（1）依题意得：{ √3a+b=0 12+b2=r2 (√3)2+b2=r2 ⇒{ a=1 b=−√3 r=2 或{ a=−1 b=√3 r=2 （舍去） ……………………3 分 ∴ C 圆的方程为：（x−1） 2+（y+√3） 2=4 ……………………5 分 （2） M 设 关于直线x+ y−4=0的对称点为M' ( x0, y0) （北京）股份有限公司 { y0−1 x0+√3⋅ (−1)=−1 x0−√3 2 + y0+1 2 −4=0 ⇒{ x0=3 y0=4+√3 ∴M ' (3, 4+√3) ……………………7 分 设过M' 与圆C 相切的直线为l 当斜率不存在时，l x ：=3，d=3−1=r 符合；……………………8 分 当斜率存在时， l 设：y−4−√3=k(x−3) 即kx−y−3k+4+√3=0 （北京）股份有限公司 依题意得：d= |k+√3−3k+4+√3| √1+k2 =2⇒k=√3 ……………………10 分 则直线l的方程为: y−4−√3=√3(x−3) ，即：√3 x−y+4−2√3=0 ……………………11 分 所以反射光线所在直线为：x=3 或√3 x−y+4−2√3=0 ……………………12 分 20、证明：(1) ∵正方形AA1B1B ∴AB⊥BB1 A1B1// AB A1B1⊥BF ⇒AB⊥BF ，BF∩BB1=B ∴AB⊥平面BCC1B1，BC ⊂平面BCC1B1, ∴AB⊥BC 又∵直三棱柱，∴AB⊥BB1，BB1⊥BC ……………………3 分 以B 为原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则B（0,0，0）， F(0,2,1) E（1,1,0）,设D（a ,0,2）(0≤a≤2)……………………4 分 ⃗ BF=(0,2,1) ⃗ DE=(1−a, 1, −2) ∴⃗ BF⋅⃗ DE=0+2−2=0 ∴⃗ BF ⊥⃗ DE 即BF ⊥DE ……………………6 分 （如果用几何法证明酌情给分） (2)设平面DEF 的法向量为⃗ n=(x , y ,z) ⃗ DE=(1−a,1,−2) ⃗ EF=(−1,1,1) ， 则{ ⃗ n⋅⃗ DE=(1−a)x+ y−2z=0 ⃗ n⋅⃗ EF=−x+ y+z=0 ⇒取⃗ n =（1，1+a 3 , 2−a 3 ）⃗ BA=(2,0,0) …………………… 9 分 ∴AB到平面DEF 所成角为θ ，sinθ=¿¿ ∴ a 当=1 2 时，（sinθ）max=√6 3 , 即当BD1=1 2 时，直线AB 与平面DEF 所成角的正弦值最大. … 12 分 21、（1）如图：以B 点为原点建立坐标系，则台风B 沿直线l : y=√3 x 移动，设经过t 小时台 风到达P 点，则P(10t ,10√3t ),(t≥0 ) A（0，400√3）……………………2 分 依题意得：|AP|≤400 即√（10t) 2+(10√3t−400√3) 2≤400 …………3 分 t2−60t+800≤0 ⇒20≤t≤40 ……………………5 分 Δt=40−20=20 小时 ∴经过20 小时A 市受到台风影响，影响时间为20 小时. …………6 分 （3）依题意得：√（10t)2+(10√3t−400√3)2≤400−（t−20)⋅5⇒15t2−76t+9200≤0 …… …9 分 (3t−92)(5t−100)≤0 ⇒20≤t≤92 3 ……………………11 分 （北京）股份有限公司 Δt=92 3 −20=32 3 小时 , ∴台风B 影响A 市的时间为 32 3 小时. ……………………12 分 22、（1）由对称性可知A(2,√3), C(−2,√3)必在椭圆上，则 B( 3 2 ,−√3) 不在椭圆上， ∴D（3，√7 2 ） 也必在椭圆上. ……………………2 分 ∴{ 4 a2 + 4 b2=1 9 a2 + 7 4 b2=1 ⇒{ a=4 b=2 ∴椭圆C 的方程为 x2 16 + y2 4 =1 ……………………5 分 (2)当斜率不存在时， l x ：=m， A 则(m,√4−m2 4 ) ,B(m,−√4−m2 4 ) ∵∠AOB=900 ∴|m|=√4−m2 4 ⇒m=±4 5 √5 ∴r=4 5 √5 ……………………7 分 （北京）股份有限公司 当斜率存在时， l 设：y=kx+m A 设( x1 , y1 ) ,B( x1 , y1 ) 由{ x2 16 + y2 4 =1 y=kx+m ⇒x2+4(kx+m)2=16⇒(1+4 k2)x2+8kmx+4 m2−16=0 { Δ=64 k2m2−4(1+4 k2)(4 m2−16)>0 x1+x2=−8km 1+4 k2 x1⋅x2= 4 m2−8km 1+4 k2 16 ……………………9 分 ∵∠AOB=900 ∴x1 x2+ y1 y2=0 x 即1 x2+（kx1+m)（kx2+m)=0 ⇒(1+k2)x1 x2+km(x1+x2)+m2=0 ⇒(1+k2)(4m2−16) 1+4 k2 +−8k2m2 1+4 k2 +m2=0 ⇒m2=16 5 (1+k2) 符合Δ>0 …………………11 分 圆心O 到直线l的距离d= |m| √1+k2 =√ m2 1+k2 =√ 16 5 = 4 5 √5 ∴直线l 与圆相切，且r=4 5 √5 . ……………………12 分 高二数学第5 页共5 页