重庆市缙云教育联盟2022-2023学年高二上学期期末联考数学试卷

高二数学试卷 第 1 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 ★秘密·启用前 重庆市2022-2023 学年（上）期末质量检测 高二数学 【命题单位：重庆缙云教育联盟】 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4.全卷共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 如果A(1,5,−1)，B(2,4,1)，C(a,3,b+2)三点共线，那么a−b=¿( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如果双曲线x 2 4 −y 2 12=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是( ) A. 4 B. 12 C. 4或12 D. 不确定 3. 已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3,−6)，C(5,2)，则BC边上中线的长为( ) A. 2❑ √10 B. ❑ √10 C. 11❑ √2 D. 3 ❑ √10 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱 锥P−ABCD是阳马，PA ⊥平面ABCD，且EC ⃗ =2 PE ⃗，若AB ⃗ =a ⃗ , AC ⃗ =b ⃗ , AP ⃗ =c ⃗，则DE ⃗ =¿( ) A. 1 3 a ⃗ −2 3 b ⃗ + 2 3 c ⃗ B. 1 3 a ⃗ + 2 3 b ⃗ + 2 3 c ⃗ C. a ⃗ −2 3 b ⃗ + 2 3 c ⃗ D. a ⃗ + 2 3 b ⃗ −2 3 c ⃗ 5. 抛物线C：y 2=−12 x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点A(−5,2)，则¿ PA∨+¿ PF∨¿的最 小值为( ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 9 高二数学试卷 第 2 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 6. 如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，线段B1 D1上有两个动点E，F，且EF= ❑ √2 2 ，则下列 结论中错误的是( ) 高二数学试卷 第 2 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 A. AC ⊥BE B. EF/¿平面ABCD C. 直线AB与平面BEF所成的角为定值D. 异面直线AE，BF所成的角为定值 7. 设P是双曲线x 2 16 −y 2 4 =1右支上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则 ¿ P F1∨−∨P F2∨¿等于( ) A. 2❑ √3 B. 4 ❑ √3 C. 8 D. 16 8. 直线l：kx −y −2=0与曲线C：❑ √1−( y −1) 2=x −1只有一个公共点，则实数k范围是( ) A. (3,+∞)∪(−∞,−3) B. ¿ C. (2,4¿∪{4 3 } D. (−3,3 ❑ √2¿ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求的。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得2 分。 9. 设P是椭圆x 2 5 + y 2 3 =1上的动点，则( ) A. 点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2❑ √5 B. 点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2❑ √2 C. 点P到左焦点距离的最大值为❑ √5+❑ √2 D. 点P到左焦点距离的最大值为❑ √5+2❑ √2 10. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E、F、G分别为BC、 C C1，B B1的中点、则下列选项正确的是( ) A. 若点M在平面AEF内、则必存在实数x、y使得MA ⃗ =x ME ⃗ + y MF ⃗ B. 直线A1G与EF所成角的余弦值为 ❑ √10 10 C. 点A1到直线EF的距离为 ❑ √34 2 D. 存在实数λ、μ使得A1G ⃗ =λ AF ⃗ +u AE ⃗ 11. 已知圆F1：( x+4) 2+ y 2=m 2(1<m<9)与圆F2：( x −4) 2+ y 2=(10−m) 2的一个交点为M，动点M 高二数学试卷 第 3 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是( ) A. 曲线C的方程是x 2 100 + y 2 36 =1 B. 曲线C的方程是x 2 25 + y 2 9 =1 C. 过点F1且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为18 5 D. 曲线C上的点到直线x+ y −6=0的最短距离为3 ❑ √2−❑ √17 12. 在直角坐标系xOy中，抛物线C：y 2=2 px( p>0)与直线l：x=4交于P，Q两点，且OP⊥OQ .抛 物线C 高二数学试卷 第 3 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 的准线与x轴交于点M，G( x0, y0)是以M为圆心，¿OM∨¿为半径的圆上的一点(非原点)，过点G作抛 物线C的两条切线，切点分别为A，B.则( ) A. p=4 B. 直线AB的方程为2 x−y0 y+2 x0=0 C. −2≤x0<0 D. △ABG面积的最大值是6 ❑ √2 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13. 求过两条直线x−2 y+4=0和x+ y −2=0的交点，且与3 x−4 y+2=0平行的直线方程______． 14. 已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为a，异面直线BD与A1B1的距离为______． 15. 已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x 2+( y+3) 2=1外切，动圆圆心M的轨迹方程是______． 16. 已知F为椭圆C ：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若cos∠MOF=3 7 ，则椭圆C的离心率为______． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 椭圆Γ ：x 2 4 + y 2=1． (1)点C是椭圆Γ上任意一点，求点C与点D(0,2)两点之间距离d的最大值和最小值； (2) A和B分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P为椭圆Γ上第三象限点．直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N .求 (¿ PM∨ ¿ ¿ MA∨¿) 2+(¿ PN∨ ¿ ¿ NB∨¿) 2¿ ¿¿ ¿ ． 18. 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,−2)，且圆心C在直线l：x−y+1=0上． 高二数学试卷 第 4 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知P(2,1)，Q为圆C上的点，求¿ PQ∨¿的最大值和最小值． 高二数学试卷 第 4 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 19. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，AB=1，A A1=❑ √3，E点为棱AB的中 点． (1)求二面角A −EC1−C的余弦值； (2)连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线B B1距离最短时，线 段EP的长度． 20. 如图，在底面半径为1，高为❑ √3的圆锥中，O是底面圆心，P为圆锥顶点，A， B是底面圆周上的两点，∠AOB=2π 3 ，C为母线PB的中点． (1)求该圆锥的表面积； (2)求在该圆锥的侧面上，从A到C的最短路径的长． 21. 已知双曲线x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x 2=2 py( p>0)交于A，B两点． (1)若点A的坐标为(❑ √2,2)，求F的坐标； (2)若¿ AF∨+¿ BF∨¿4∨OF∨¿，求该双曲线的离心率． 22. 已知双曲线C ：x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是x−❑ √2 y=0，焦距为4 ❑ √6． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F(2❑ √6,0)的直线l与双曲线C在y轴右侧相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于 高二数学试卷 第 5 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 点D，试问¿ AB∨ ¿ ¿ FD∨¿¿ ¿是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．