辽宁省六校2022-2023学年高二上学期期初考试数学试卷

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年度（上）六校高二期初考试 数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．若全集 ，集合 ，则A ∪(∁U B)=（ ） A． B． C． D． 2．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．某校高一年级25 个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10 个班的比 赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为 （ ） A．91 B．92 C．93 D．93.5 4．设 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5. 关于x 的方程 x x−1= k −2 x x 2−x 的解集中只含有一个元素，则k 的值不可能是（ ） A．0 B .-1 C .1 D . 3 6. 化简 （ ） A． B． C．2 D． （北京）股份有限公司 7． ∆ABC的面积为 ，其中 ，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的 中点，若⃗ AM=α⃗ AB+β⃗ AC，则α+2 β的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 是定义在 上的奇函数，若对任意给定的实数 ， ， （北京）股份有限公司 恒立，则不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对得5 分，有选错的得零分，部分选对得2 分。 9．向量⃗ a, ⃗ b, ⃗ c 满足|⃗ a|=|⃗ b|=1,⃗ a∙⃗ b=−1 2 ,⟨⃗ a−⃗ c ,⃗ b−⃗ c ⟩=60 °,则|⃗ c|的值可以是（ ） A．3 B. 3 2 C. 2 D. ❑ √5 10．已知函数 的部分图像如图所示，下列 说法正确的是（ ） A． B． 在 上单调递增 C． 的解集为 （北京）股份有限公司 D．将 的图像向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称 11．某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB 的仰角 ，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方 案有（ ） （北京）股份有限公司 A．从点C 向教学楼前进a 米到达点D，测量出角 ； B．在地面上另选点D，测量出角 ， ， 米； C．在地面上另选点D，测量出角 ， 米； D．从过点C 的直线上（不过点B）另选点D、E，测量出 米， ， ． 12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底 面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四 面体称为“鳖臑”．如图在堑堵 中， ，且 ．下列说法 正确的是（ ） A．四棱锥 为“阳马”、四面体 为“鳖臑” （北京）股份有限公司 B．四棱锥 体积的最大值为 C． 若平面 与平面 的交线为，且 与 的中点分别为M、N，则直线 CM、 、相交于一点 （北京）股份有限公司 D．若F 是线段 上一动点，则AF 与 所成角的最大值为90° 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是 ，丙能解决的概率是 ， 若3 人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___． 14．在 中， ， ， 是 边上的中线，将 沿 折起， 使二面角 等于 ，则四面体 外接球的体积为______. 15．已知函数 在区间 上有且仅有两个零点，则 的 取值范围是___________. 16．已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为______________. 四、解答题：本题共6 题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本题满分10 分）2021 年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已 知固定成本为6 万元，年流动成本 （万元）与年产品产量x（万件）的关系为 ，每个电子零件售价为12 元，若小林加工的零件能全部售 完． (1)求年利润 （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式； (2)求当年产量x 为多少万件时年利润 最大？最大值是多少？ （北京）股份有限公司 18．（本题满分12 分）已知⃗ a=(cosα ,sinα ),⃗ b=(cosβ ,sinβ )， . （1）若|⃗ a−⃗ b|=❑ √2，求证：⃗ a⊥⃗ b； （2）设⃗ c=(0,1)，若⃗ a+⃗ b=⃗ c，求 ， 的值. （北京）股份有限公司 19．（本题满分12 分）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c， ， . (1)求△ABC 的面积； (2)若 ，求△ABC 的周长. 20．（本题满分12 分）如图，在直三棱柱 中，M 为棱 的中点， ， ， . (1)求证： 平面 ； (2)求证： 平面 ； (3)在棱 上是否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的 值；如果不存在，请说明理由. （北京）股份有限公司 21．（本题满分12 分）已知函数 . （北京）股份有限公司 （1）已知 ，求 的值； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 22. （本题满分12 分）已知三棱锥 中， ∆ABC与 均为等腰直角三角形， 且 ， ， 为 上一点，且 平面 . （1）求证： ； （2）过 作一平面分别交 ， ， 于 ， ， ，若四边形 为平行四 边形，求多面体 的表面积. （北京）股份有限公司 答案 1-8 DDDBC DCA 9.BC 10.AC 11.ABD 12.ACD 13. 14. 15. 16. 17. (1) 由题设， ，………2 分 所以 ………4 分 (2)当 时 ， 故 时最大利润为12 万元；………7 分 当 时 ， 当且仅当 时等号成立，此时最大利润为18 万元；…………10 分 综上，当 万件时最大利润为18 万元. 18. （1） 由题意， ，即 ，………2 分 又因为 ，∴ ，即 ，∴ ……….4 分 （2） ，∴ ，……….6 分 （北京）股份有限公司 由此得 ，由 ，得 ，又 ，故 ， ……8 分 代入 得 ，………10 分 而 ，∴ ， ………12 分 19. (1)由余弦定理得： ，又 ，……2 分 （北京）股份有限公司 所以 ，则 ，又 ，则 ，……4 分 所以 ，则 ……6 分 (2)由正弦定理得： ，则 ， 所以 ， ……8 分 由 ，……10 分 整理得 ，解得 . 故△ABC 的周长为 ……12 分 20. (1)连接 与 ，两线交于点 ，连接 ， 在 中 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ……4 分 (2) （北京）股份有限公司 因为 底面 ， 平面 ，所以 . 又 为棱 的中点， ，所以 . 因为 ， ， 平面 ， （北京）股份有限公司 所以 平面 ， 平面 ，所以 ……6 分 因为 ，所以 .又 ， 在 和 中， ， 所以 ，即 ， 所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 .……8 分 (3)当点 为 的中点，即 时，平面 平面 . 证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ， 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 且 ，又 为 的中点， 所以 且 ， 所以四边形 为平行四边形，故 ，……10 分 （北京）股份有限公司 由（2）知： 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 .……12 分 21． （1） （北京）股份有限公司 ，……2 分 ，……4 分 .……6 分 （2）当 时， ，可得 ，……8 分 由 ，不等式 可化为 ，有 .……10 分 令 ， ，则 ， 若不等式 恒成立，则 等价于 ，解 得： . 故实数 的取值范围为 .……12 分 （北京）股份有限公司 22（1）由 ，所以 ， 由 平面 ， 平面 ，可得 ，……2 分 又由 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ,所以 .……4 分 （2）在等腰直角 中， ，所以 ， 又因为 ，可得 平面 ，所以 . 等腰 中，由 ，可得 ， 又 中， ， ，所以 ， （北京）股份有限公司 而 ，可得 ，故 ，……6 分 因为四边形 为平行四边形，所以 ，可得 平面 ， 又 平面 ，且平面 平面 ，所以 ， 由 ，可得 ，且有 ，……8 分 由 平面 ，可得 ， 进而得到 ，所以四边形 为矩形， 同理可得 ，且 ，……10 分 可得 ， ， ， , . 所以所求表面积为 .……12 分