江苏省南京市六校2022-2023学年高二上学期期初联合调研考试数学试卷

（北京）股份有限公司 2022－2023 学年第一学期期初六校联合调研考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点A（2，3）且与直线l：2x－4y＋7＝0 平行的直线方程是（ ） A．x－2y＋4＝0 B．x－2y－4＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－8＝0 2．已知m，n，l 是不重合的三条直线，α，β，γ 是不重合的三个平面，则（ ） A．若m∥n，mα，则n∥α B．若l⊥β，m α，l⊥m，则α∥β C．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β D．若α⊥β，γ⊥β，α∩γ＝l，则l⊥β 3．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一 个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.7、0.7，则 系统正常工作（ ） A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.9 4． 已知圆锥的 表面积为6π cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( ) A． cm B． cm C． cm D．2 cm 5．点P 为x 轴上的点，A（－1，2），B（0，3），以A，B，P 为顶点的三角形的面积为 ，则点P 的坐标为（ ） A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（－10，0） C．（－4，0）或（10，0） D．（－4，0）或（11，0） 6．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}， 事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中 飞机}，下列关系不正确的是( ) A．A⊆D B．B∩D＝ C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D 7．若直线l：y＝x＋b 与曲线y＝ 有两个交点，则实数b 的取值范围是（ ） A．{b|－2 ＜b＜2 } B．{b|2＜b＜2 } C．{b|2≤b＜2 } D．{b|b＝±2} 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P（－3，0）在圆C：x2＋y2＋2mx－4y＋m2－12＝0 A2 A1 K （北京）股份有限公司 内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数 的 取值范围是（ ） A．（3－2 ，1]∪[5，3＋2 ） B．[1，5] C．（3－2 ，3＋2 ） D．（－∞，3－2 ）∪（3＋2 ，＋∞） （北京）股份有限公司 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每个小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分． 9．某小组有2 名男生和3 名女生，从中任选2 名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件 中，是互斥事件的是（ ） A．恰有1 名女生和恰有2 名女生 B．至少有1 名男生和至少有1 名女生 C．至少有1 名女生和全是女生 D．至少有1 名女生和全是男生 10．下列说法中，正确的有（ ） A．直线y＝ax＋2a＋3（a∈R）必过定点（2，3） B．直线y＝2x－1 在y 轴上的截距为－1 C．直线 x－y＋2＝0 的倾斜角为60° D．点（1，3）到直线y－2＝0 的距离为1 11．已知圆M：（x＋2）2＋y2＝2，直线l：x＋y－2＝0，点P 在直线l 上运动，直线PA， PB 分别于圆M 切于点A，B．则下列说法正确的是（ ） A．四边形 的面积最小值为 B．|PA|最短时，弦AB 长为 C．|PA|最短时，弦AB 直线方程为x＋y－1＝0 D．直线AB 过定点（ ， ） 12．点M 是正方体ABCD－A1B1C1D1中侧面正方形ADD1A1内的一个动点，正方体棱长为 1，则下面结论正确的是（ ） A．满足MC⊥AD1的点M 的轨迹长度为 B．点M 存在无数个位置满足直线B1M∥平面BC1D C．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M 与CD 所成的角是30º D．若E 是棱CC1的中点，平面AD1E 与平面BCC1B1所成锐二面角的正切值为2 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡的 相应位置． 13．同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5 的概率为 ▲ ． 14．四棱锥P－ABCD 的各个顶点都在球心为O 的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD 为矩形，PA＝AB＝2，AD＝3，则球O 的体积为 ▲ ． （北京）股份有限公司 15．在直线l：2x－y＋1＝0 上一点P 到点A（－3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则 点P 的坐标为 ▲ . 16．在平面直角坐标系xOy 中，点A（－2，2），B（－1，1），若直线x＋y－2m＝0 上存 在点P 使得PA＝ PB，则实数m 的取值范围是 ▲ ． （北京）股份有限公司 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 已知△ABC 的三个顶点分别为A（0，4），B（－2，0），C（－2，2）， 求：（1）AB 边中线所在的直线方程； （2）△ABC 的外接圆的方程． 18．（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，点E、F 分别是棱 PC 和PD 的中点． （1）求证：EF∥平面PAB； （2）若AP＝PD＝2，平面PAD⊥平面ABCD，求直线PB 和平面ABCD 所成角的正切值. 19.（本小题满分12 分） 在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4 个小球，小球上 分别写有1，2，3，4 的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中 取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字 将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的 两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字 之积小于4，则奖励饮料一瓶． （1）求每对亲子获得飞机玩具的概率； （2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由． C B A D E F P （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 20．（本小题满分12 分） 已知直线l：kx－y＋2＋k＝0(k∈R)． （1）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围； （2）若直线l 交x 轴负半轴于A，交y 轴正半轴于B，△AOB 的面积为S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值和此时直线l 的方程． 21．（本小题满分12 分） 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，∠ACB＝ ，点D 为BC 中 点． （1）求证：平面A1CB⊥平面AC1D； （2）求点C 到平面AC1D 的距离． 22．（本小题满分12 分） 已知⊙C 的圆心在直线3x－y－3＝0 上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被 直线l：x－y＋3＝0 截得的弦长为2． （1）求⊙C 的方程； （2）设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足 =2 ，(O 为原点)记点T 的轨迹为 ． ①求 的方程； ②过点M（1，0）的直线与 交于A，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N，使得x 轴平分∠ANB?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． A1 B1 C B A D C1 （北京）股份有限公司 2022－2023 学年第一学期期初六校联合调研考试 高二数学答案 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1－8：ADCBBCCA 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每个小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分． 9．AD 10．BCD 11．ABD 12．ABD 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13． ；14 ；15．（1，3）； 16．[－，]． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）AB 中点M（－1，2）， ……2 kCM＝0，所以中线方程为y=2 ……4 （2）解法一：设外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0） 解得∴x2＋y2－2x－2y－8＝0 ……10 解法二：AB 中点M（－1，2），kCM＝2，AB 中垂线方程为：y＝－x＋ ……6 BC 中垂线y＝1，联立方程组得圆心D（1，1）， ……8 半径AD＝ 所以外接圆方程为（x－1）2＋（y－1）2＝10. ……10 18.证：（1）∵点E、F 分别是棱PC 和PD 的中点∴EF∥CD 又∵四边形ABCD 是正方形，∴CD∥AB ∴EF∥AB， ……2 又EF面PAB，AB面PAB∴EF∥面PAB ……4 （2）取AD 中点G，连接PG，BG∵AP＝PD，G 是AD 中点∴PG⊥AD 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG面PAD ∴PG⊥平面ABCD∴∠PBG 为直线PB 和平面ABCD 所成角 ……8 在△PAG 中，PG＝，在△ABG 中，BG＝，∴tan∠PBG＝ 即直线PB 和平面ABCD 所成角的正切值为 ……12 G C B A D E F P （北京）股份有限公司 19.解：样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}共16 个样本点． (1)记“获得飞机玩具”为事件A，事件A 包含的样本点有(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4) 共4 个． 故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝＝. ……4 (2)记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C. 事件B 包含的样本点有 (1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(4，1)，(4，2)共7 个． 所以P(B)＝， ……8 事件C 包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)共5 个， 所以P(C)＝. 所以P(B)＞P(C)，即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率． ……12 20.(1)证：y＝kx＋2＋k，要使直线不经过第四象限，则 ……2 解得k≥0∴k 的取值范围为[0，＋∞) ……4 (2)由题意可得k＞0，kx－y＋2＋k＝0 中取y＝0 得x＝－；取x＝0 得y＝2＋k ……6 S＝|OA||OB|=（2＋k）=（k＋4＋）≥（2＋4）=4 当且仅当k＝时，即k＝2 时取“＝”， ……10 此时Smin＝4，l：y＝2x＋4 ……12 21.证：（1） 四边形 为平行四边形， 平行四边形 为菱形 ……2 三棱柱 为直三棱柱 平面 平面 ， ， ， 平面 平面 平面 ， ， ……4 ， ， 平面 ， 平面 ， （北京）股份有限公司 平面 ， 平面 平面 ……6 （2）法一：(等体积法)设点 到平面 的距离为 平面 ， 平面 ， ， 为三棱锥 高， 在直角 中，CD＝1，AC＝2，∴AD＝， 1 ……8 在直角 中，AC＝CC1＝2，∴AC1＝2 在直角 中，CD＝1，CC1＝2，∴CD1＝ 在等腰 中， ， ……10 ， 点 到平面 的距离为 ……12 方法二：(综合法)作 ，垂足为 ，连接 ，作 ，垂足为 . 平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 即 为点 到平面 的距离， ……10 在直角 中，CG= ；在直角 中， ，CG= A1 B1 C B A D C1 G H A1 B1 C B A D C1 （北京）股份有限公司 点 到平面 的距离为 . ……12 （北京）股份有限公司 22.由题意可设圆 的圆心为 ， 圆 的圆心在直线3x－y－3＝0 上， 3－b－3＝0，解得：b＝0，即圆心为(1，0)， ……2 圆心到直线的距离为d＝2 ，设圆 的半径为r， 弦长=2 =2 r2=9 圆 的标准方程为（x－1）2＋y2＝9. ……4 (2)①设T(x，y)，D(x’，y’)，则 =(x－x’，y－y’)， =(－x，－y)， 由 =2 得： D 在圆 上运动，（3x－1）2＋(3y)2＝9， 整理可得点T 的轨迹方程 为：（x－ ）2＋y2＝1. ……6 (2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ……7 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)A（x1，y1），B（x2，y2） 得（1+k2）x2＋(－－2k2)x＋k2－＝0 x1＋x2＝，x1x2＝ ……9 若x 轴平分∠ANB，则kAN＋kBN＝0 2x1x2－（t＋1）（x1＋x2）＋2t＝0 2－（t＋1）＋2t＝0 解得t＝ 当N（，0）时，能使x 轴平分∠ANB ……12