河南省顶级中学2021-2022学年高一上学期12月联考数学试题

1 河南省顶级中学2021-2022 学年高一上学期12 月联考 数学试卷 全卷满分150 分，考试用时120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合   3 2 A x x    ，  4 B x x  或  1 x  ，则A B   （ ） A．  4 3 x x    B．  3 1 x x   C．  1 2 x x   D． 3 x x 或  1 x  2．不等式   1 2 0 x x    的解集是（ ） A．  1,2 B．    ,1 2,    C．  2, 1   D．    , 2 1,     3．函数 2 2 3 1 x x y x      的定义域为（ ） A．  1,3  B．    1,0 0,3   C．  1,3  D．    1,0 0,3   4．“ 0 t  ”是“ 2 t  ”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2 5．下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A． 2 y x = 与   4 y x  B． 3 y x   与 2 ( 3) y x   C． x y x  与     1 0 1 0 x y x        D． 2 y x = 与 2 S a  6．已知 , , a b c 都是实数，则下列命题中真命题是（ ） A．若a b  ，则a b c c  B．若a b c c  ，则a b  C．若a b  ，则 2 2 ac bc  ； D．若 2 2 ac bc  ，则a b  7．函数的 2 6 5 y x x     值域为（ ） A．  0, B．  0,2 C．  2, D．  2, 8．直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（ ） A．16 B．18 C．20 D．不能确定 9．已知集合   2 6 8 0 A x x x     ，      1 0 B x x a x a      ，若x A  是x B  的必要 条件，则a 的取值范围是（ ） A．  2,3 B．  2,3 C．    ,2 3,    D．   ,2 3,    10．已知 ( ), ( ) f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 3 2 ( ) ( ) f x g x x x x     ， 则 (1) (1) f g  （ ） A．1 B．3 C．3  D．1  11．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g 黄金，售货 员先将5g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 5g 的砝码放在天平右盘中， 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡； 最后将两次秤 3 得的黄金交给顾客，你认为准确的说法是（ ） A．顾客所得黄金大于10g ，商店亏了 B．顾客所得黄金大于10g ，顾客亏了 C．顾客所得黄金小于10g ，商店亏了 D．顾客所得黄金小于10g ，顾客亏了 12．定义在  0,上的函数  f x 满足：对 1 x 、   2 0, x  ，且 1 2 x x  ，都有     2 1 1 2 1 2 0 x f x x f x x x    成立，且  2 4 f  ，则不等式  2 f x x  的解集为（ ） A．  4, B．  0,4 C．  0,2 D．  2, 四、解答题(本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)设全集U＝R，集合A＝{x|2≤x<8}，B＝{x|(x＋1)(x－6)<0}。 (1)求A∪B，A∩B； (2)若C＝{x|x≤a}，且CCUA，求实数a 的取值范围。 4 18. (12 分)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋3。 (1)求函数f(x)的解析式； (2)设h(x)＝f(x)－2tx，当x∈[1，＋∞)时，求函数h(x)的最小值 t g 的表达式。 19.(12 分)已知ax2＋2ax＋1≥0 对任意 R x  恒成立。 (1)求a 的取值范围： (2)解关于x 的不等式x2－x－a2＋a<0。 20.(12 分)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y＝f(x)满足 ( ) ( ) ( ) x f f x f y y   ，且函 数f(x)在(0，＋∞)上是增函数。 (1)求f(－1)的值； (2)判断函数y＝f(x)的奇偶性并证明； (3)若f(4)＝2，解不等式f(x－5)－f(2)≤1。 21.(12 分)某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配 合国家“家电下乡“政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的 售价每降低50 元，平均每天就能多售出4 台。 (1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的 函数表达式；(不要求写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使消费者得到实惠，每台冰 5 箱应降价多少元？ (3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 22.(12 分)已知函数f(x)＝x＋ 1 1 x  ，g(x)＝ax＋5－2a(a>0)。 (1)判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明； (2)若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)＝f(m)成立，求实数a 的取值范 围。 数学答案 6 17.解：（1）因为        1 6 0 | 1 6 B x x x x x        ， 所以   | 1 8 A B x x     ，-----------3 分   | 2 6 A B x x     ；------------5 分 （2）由已知 | 2 U C A x x   或  8 x  ， 又 U C C A  ，且   C x x a   ， 2 a  -----------------10 分 18 解：（1）设 2 ( ) ( 0) f x ax bx c a     ，∵ (0) 2, ( 1) ( ) 2 3 f f x f x x      ， ∴     2 2 2 1 1 2 3 c a x b x c ax bx c x                   ，------2 分 即 2 2 2 3 c ax a b x         ，所以 2 2 2 3 c a a b         ，--------------4 分 解得 2 1 2 c a b       ，∴ 2 ( ) 2 2 f x x x    . ----------5 分 （2）由题意得 2 ( ) 2(1 ) 2 h x x t x     ，对称轴为直线 1 x t ， ①当 1 1 t 即 2 t  时，函数在[1, ) 单调递增min (1) 5 2 h x h t    ；----8 分 ②当 1 1 t 即 2 t  时，函数在[1, 1] t  单调递减，在[ 1, ) t  单调递增，  2 min ( 1) 2 1 h x h t t t    ， --------11 分 综上： 2 min 5 2 ,( 2) 2 1,( 2) t t h x t t t         -----------------12 分 19[解] (1)因为ax2＋2ax＋1≥0 恒成立． ①当a＝0 时，1≥0 恒成立； ------------2 分 7 ②当a≠0 时，则 a>0， Δ＝4a2－4a≤0， 解得0<a≤1. ---------4 分 综上，a 的取值范围为0≤a≤1. -----------5 分 (2)由x2－x－a2＋a<0 得，(x－a)[x－(1－a)]<0. 因为0≤a≤1， 所以①当1－a>a，即0≤a<1 2时，a<x<1－a；---------7 分 ②当1－a＝a，即a＝1 2时， x－1 2 2 <0，不等式无解；-----9 分 ③当1－a<a，即1 2<a≤1 时，1－a<x<a. ----------11 分 综上所述，当0≤a<1 2时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1－a}； 当a＝1 2时，原不等式的解集为 ； 当1 2<a≤1 时，原不等式的解集为{x|1－a＜x＜a}．-----12 分 (没做综上不扣分) 20 解 (1)令x＝y≠0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.---------------2 分 再令x＝1，y＝－1 可得f(－1)＝f(1)－f(－1) ＝－f(－1)，∴f(－1)＝0. -----------4 分 (2)证明：令y＝－1 可得f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． ----------------8 分 (3)∵f(2)＝f(4)－f(2)，∴f(2)＝1 2f(4)＝1. 解得－1≤x＜5 或5＜x≤9 -----------11 分 所以不等式的解集为{x|－1≤x＜5 或5＜x≤9．--------12 分 21[解] (1)根据题意，得y＝(2400－2000－x) 8＋4× x 50 ， 8 即y＝－2 25x2＋24x＋3 200. -----------4 分 (2)由题意，得－2 25x2＋24x＋3 200＝4 800， 整理得x2－300x＋20 000＝0， 解得x＝100 或x＝200， 又因为要使消费者得到实惠，所以应取x＝200， 所以每台冰箱应降价200 元． ------------8 分 (3)y＝－2 25x2＋24x＋3 200＝－2 25(x－150)2＋5 000， 由函数图像可知，当x＝150 时，ymax＝5 000， 所以每台冰箱降价150 元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5 000 元． ------------12 分 22.[解] (1)函数f(x)在[0，1]上单调递增， 证明如下：设0≤x1＜x2≤1， 则f(x1)－f(x2) ＝x1＋ 1 x1＋1 －x2－ 1 x2＋1 ＝(x1－x2)＋ x2－x1 （x1＋1）（x2＋1） ＝（x1－x2）（x1x2＋x1＋x2） （x1＋1）（x2＋1） . -------------------3 分 因为x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1x2＋x1＋x2＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在[0，1]上单调递增．------------------------------5 分 (2)由(1)知，当m∈[0，1]时，f(m)∈ 1，3 2 . ----7 分 因为a＞0，g(x)＝ax＋5－2a 在[0，1]上单调递增， 所以m0∈[0，1]时，g(m0)∈[5－2a，5－a]. ----------9 分 依题意，只需 1，3 2 ⊆[5－2a，5－a] 9 所以 5－2a≤1， 5－a≥3 2，解得2≤a≤7 2， 即实数a 的取值范围为 2，7 2 . -------------------12 分