湖北省宜昌市第一中学2021-2022学年高一下学期6月阶段性测试数学试题

宜昌一中2022 年春季学期高一年级六月阶段性测试 数学试题 一、单选题（共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解 到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的 抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样 C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法 2．已知i 为虚数单位，则复数 ＝（ ） A．i B．﹣i C．﹣ i D．﹣ i 3．已知α，β是平面，m，n 是直线．下列命题中不正确的是（ ） A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β 4．已知 6 a   ， 4 b   ，a 与b 的夹角为60，则   2 3 a b a b         （ ） A．72  B．72 C．84 D．84  5． 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC 为鳖臑， PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球 面上，则球O 的表面积为（ ） A．8π B．12π C．20π D．24π 6． 某圆锥母线长为2，底面半径为 3 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A．2 B． 3 C． 2 D．1 7．设 sin35 sin72 sin55 sin18 a     ， cos32 1 4sin172 cos188 b    ， 2 2 1 tan 36 1 tan 36 c     ，则a，b ，c 的大小关系为 （ ） A．a b c   B．a c b   C．c a b   D．c b a   8． 在ABC  中， 90o C   ， 3 AB  ， 2 AC  ，O 为ABC  所在平面内一点， 并且满足 2 3 0 OA OB OC           ， 记 1 I OA OB      ， 2 I OB OC      ， 3 I OC OA      ，则( ) A． 1 2 3 I I I   B． 2 1 3 I I I   C． 1 3 2 I I I   D． 3 1 2 I I I   二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 9．对于非零向量a  ，b  ，下列命题正确的是（ ） A．若 0  b a   ，则 b a  // B．若 b a   ，则 2 ） （ b a b a        C．若 c b c a        ，则 b a   D．若a b a b        ，则 0 a b    10．已知复数 0 1 2 z i  （i 为虚数单位）在复平面内对应的点为 0 P ，复数z 满足| 1| | | z z i    ，下列结 论正确的是（ ） A． 0 P 点的坐标为(1,2) B．复数 0 z 的共轭复数对应的点与点 0 P 关于虚轴对称 C．复数z 对应的点Z 在一条直线上 D．满足 5 | | 0  z z 的复数z 对应的点Z 有2 个 11．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，D、E、F 分别为棱PC、AC、AB 的中点， PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则（ ） A．点P 与点B 到平面DEF 的距离相等 B．直线PB 与直线DF 垂直 C．三棱锥D﹣BEF 的体积为18 D．平面DEF 截三棱锥P﹣ABC 所得的截面面积为12 12．如图，点M 是棱长为1 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中的侧面 1 1 ADD A 上的一个动点（包含边界） ，则 下列结论正确的是（ ） A．存在无数个点M 满足 1 CM AD  B．当点M 在棱 1 DD 上运动时， 1 | | MA MB  的最小值为 3 1  C．在线段 1 AD 上存在点M，使异面直线 1 B M 与CD 所成的角是30° D．满足 2 | |  CM 的点M 的轨迹长度是2  三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．若向量 ， ， 与 共线，则实数k＝___________． 14．已知 5 3 ) cos( , 5 1 ) cos(         ，则  tan tan 的值为___________． 15．如图所示，一块边长为10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下 的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器， 把容器的容积V （单位： 3 cm ） 表示为x （单位： cm） 的函数解析式为__________________________. （第15 题图） （第16 题图） 16．如图，在三棱柱 1 1 1 ABC A B C  中， 1 90 , 2, 4 BAC AB AC AA       ， 1 A 在底面ABC 的射影为BC 的中点N，则直线 1 1 A B 与平面 1 1 BCC B 所成角的正弦值为_____________. 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． （10 分）如图，已知O 为平面直角坐标系的原点， 120 OAB ABC    ，| | | | 2 | | 4 OA BC AB          ， (1)求OB   和OC   的坐标； (2)求向量BC  在向量OA   上的投影向量的坐标. 18．（12 分）如图，△ABC 中，AC＝BC＝ AB，ABED 是边长为1 的正方形，平面ABED⊥平面ABC， 若G、F 分别是EC、BD 的中点． （1）求证：GF∥平面ABC； （2）求证：平面BCD⊥平面ACD； 19． （12 分）函数    sin 0, 2 f x x                的部分图像如图所示，将  y f x  的图象向右平 移3 个单位长度，然后再将纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变） 后得到函数  y g x  的图象. （Ⅰ）求函数  y g x  的解析式； （Ⅱ）若 11 , 3 24 x         时， ( ) g x 的最大值与最小值恰好为锐角 ABC  的两边长，且ABC  的外接圆半径为 4 2 3 ，求ABC  的面积． 20． （12 分）为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关 部门在该市随机调查了200 位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图： （同 一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位） （1）试估计该地区居民的户月均用电量平均值； （2）如果该市计划实施3 阶的阶梯电价，使75% 用户在 第一档（最低一档） ，20% 用户在第二档，5%用户在第三 档（最高一档）.试估计第一档与第二档的临界值，第二 档与第三档的临界值； 21． （12 分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为a，E，F 分别为AB、BC 上的点，且AE＝BF＝x． （1）当x=a 时，求异面直线A1E 与B1F 所成的角的大小； （2）当x 为何值时，三棱锥A1﹣BEF 的体积最大？ （3）求三棱锥A1﹣BEF 的体积最大时，二面角 A1﹣EF﹣D 的正切值； 22． （12 分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3 个功能 区：BNC  区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA  区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC  区域规划为 小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘MNC  周围筑起护栏.已知 40m AC  ， 40 3m BC  ， AC BC  ， 30 MCN   . （1）若 20m AM  时，求护栏的长度（MNC  的周长） ； （2）若鱼塘MNC  的面积是“民宿” CMA  的面积的 6 2 倍， 求 ACM  ； （3）当 ACM  为何值时，鱼塘MNC  的面积最小，最小 面积是多少？