湖北省十堰市部分重点中学2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题

（北京）股份有限公司 十堰市部分重点中学2023 年度3 月联考 高二数学试卷 考试时间：2023 年3 月14 日下午15：00—17：00 试卷满分：150 分 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1.如图所示，若直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 2.已知数列 ， ， ，3， ，…， ，…，则 是这个数列的（ ） A.第12 项 B.第13 项 C.第24 项 D.第25 项 3.函数 的图象上有两点 ， （如图所示）， 是函数 的导函 数，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4.若 ，则 的解集为（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 5.记 为等比数列 的前项和，若 ， ，则 为（ ） A.32 B.28 C.21 D.28 或 6.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485 年间。其中记载着这么一道 “女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5 尺， 30 日共织布390 尺，则该女子织布每日增加（ ）尺． A. B. C. D. 7.已知函数 ，则 （ ） A.12 B.6 C.3 D. 8.法国数学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何 的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆 外的一点作椭圆的两条切线，若两 条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以 为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆． 若椭圆 的蒙日圆为 ，过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线， 分别与圆 交于 ， 两点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，则下列结论不正确的是（ ） A.椭圆 的离心率为 B. 到 的右焦点的距离的最大值为 C.若动点 在 上，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 D. 面积的最大值为 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 （北京）股份有限公司 9.已知数列 是等比数列，公比为 ，前 项和为 ，则（ ） A. 为等比数列 B. 可能为等差数列 C.若 ，则 为递增数列 D.若 ，则 10.下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11.若 是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 ， 共焦点 ， ， ， ， 的离心率分别为 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. ， B. C.若 ，则 D.若 ，则 的最小值为2 12.如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A.异面直线 与 所成角的取值范围是 B.三棱锥 的体积不变 C.平面 平面 （北京）股份有限公司 D.若 ，则 的最小值为 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.设函数 的导函数为 ，若函数 ，则 __________． 14.设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上，则数列 的通项公 式 __________． 15.曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________． 16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第 三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”， 记 为数列 的前 项和，则下列结论正确的是__________． ① ② ③ ④ 四、解答题：（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10 分） 一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次反弹的高度都是原来高度的一半． （1）当它第六次着地时，经过的路程是多少 ？ （2）在乒乓球第几次着地时，它的总路程是 ？ 18.（本题满分12 分） 已知函数 ． （1）求 ； （2）求曲线 过点 的切线的方程． 19.（本题满分12 分） （北京）股份有限公司 已知等差数列 的公差为 ，且关于 的不等式 的解集为 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 前 项和 ． 20.（本题满分12 分） 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， ， ， ， 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值． 21.（本题满分12 分） 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成公差为 的等差数列，在数列 中是否存在不同 的3 项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，说 明理由． 22.（本题满分12 分） 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 的右顶点， ， 是 椭圆 上一点， 、 分别为线段 ， 的中点， 是坐标原点，四边形 的周长为4． （1）求椭圆 的标准方程； （北京）股份有限公司 （2）若不过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 ，判断直线是否过定点，若过定点， 求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 十堰市部分中学2022-2023 学年度3 月联考 高二数学试卷答案 一、单项选择题： 1.A． 2.D． 3.B．切线斜率和割线斜率 4.C．注意函数定义域 5.B．等比数列前 项和的性质 6.C． 7.B．导数定义． 8.D．蒙日圆的简单应用 二、多项选择题： 9.ABD； 10.AB； 11.BC； 12.BCD； 析B. ；C.直线 平面 ；D.当且仅当三点 ， ， 共线时，和取得最小值 三、填空题： 13. ； 14. ； 15. ； 16.②③④ 四、解答题：（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.解：（1）乒乓球第六次着地时，经过的路程为： （北京）股份有限公司 （2）乒乓球第 着地时，经过的路程为： 解得 ，所以 次 答：在乒乓球第9 次着地时，它的总路程是 ． 备注：没有下结论扣1 分；卷面没有求和公式扣2 分；结果用分数或者小数都可以。 18.解：（1） ； （2）设切点为 ，斜率为 ， 故切线方程为 ， 将点 代入整理得： ，解得 ，或3， 故切线方程为 ，或 ． 19.解：（1）关于 的不等式 的解集为 ， 可得 ，1 是方程 的两根，则 ， ， 解得 ， ， 则 ； 即 （2） ， （北京）股份有限公司 数列 前 项和 ， ， 上面两式相减可得 ， 化简可得 ． 20.【解答】证明：（1）取 中点为 ，连接 ， ，如图所示， 因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 且 ， 又因为 且 ， 所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． 解：（2）取 中点为 ，以 为空间直角坐标系原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空 间直角坐标系，如图所示， （北京）股份有限公司 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 因为 ， ， 所以 ，令 ，解得 ，即 ， 设平面 的法向量为 ，因为 ， ， 所以 ，令 ，解得 ，即 ， 所以 ， ， 所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ． 21.（1） ． （2）由（1）可知 ， ． 因为 ，所以 假设在数列 中存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列， 则 即 ， （北京）股份有限公司 化简得 因为 ， ， 成等差数列，所以 ，从而 可以化简为 ． 联立 ，可得 ，这与题设矛盾． 所以数列 中不存在三项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列 22.解：（1） ， 分别为线段 ， 的中点， 是坐标原点， ， ， 四边形 的周长为 ， ， ， ， ， 椭圆 的标准方程为 ． （2）设 ， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， 代入 ，整理得 ， 则 ， ， ． 易知 ， ， （北京）股份有限公司 化简得 ， 或 （代入直线方程，直线过点 ，故舍去）， 时，直线的方程为 ，即 ，直线过定点 ． 当直线的斜率不存在时，设 ，代入 ，解得 ， 由 得 ， ，解得 或 （舍去）， 此时直线过点 ． 综上，直线过定点 （北京）股份有限公司