江西省吉安市第一中学2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题

（北京）股份有限公司 吉安一中2022—2023 学年度上学期期末考试 高一数学试卷 命题人： 审题人： 备课组长： 一、单选题（每题5 分，共40 分） 1．设集合 ， .则 的元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知奇函数 在 上是增函数， .若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域为 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．在算式 大+ 庆+ 精+ 神= 中，“大、庆、精、神”分别代表四不同的数字，且依次从 大到小，则“庆”字所对应的数字为( ) A． B． C． D． 5．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时 ．则当 ， 的最小值是 A． B． C． D． 7．已知 则关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ， ，当 时，方程 根的个数为 （ ）. A． B． C． D． 二、多选题（每题5 分，共20 分） 9．已知 ， 是正数，且 ，下列叙述正确的是（ ） A． 最大值为 B． 的最小值为 C． 最小值为 D． 最小值为 10．定义在R 上的函数 满足 ，当 时， ，则 满足 （ ） A． B． 是偶函数 C． 在 上有最大值 D． 的解集为 11．下列命题正确的是（ ） A． B． ， ，使得ax＞2 C．ab=0 是 的充要条件 D．a≥b＞－1，则 12．已知函数 则下列说法正确的是（ ） A．函数 为周期函数． B．函数 为偶函数． C．当 时，函数有且仅有 2 个零点． D．若点 是函数 图象上一点，则 的最小值与 无关． 三、填空题（共20 分） 13．集合 的真子集个数是__________.   2 2 3 0 A x x x       Z 2 2 B x x     A B  ( ) f x R ( ) ( ) g x xf x  0.5 2 (log 0.2), (2 ), (4) a g b g c g    , , a b c c b a   b a c   b<c<a a b c   ( ) 1 f x x k   [ , ] a b ( ) f x [ , ] a b [ 1, 1] a b   k ( 1, )   ( 1,0]  1 , 4         1 ,0 4        2 2 2 2 29 4 3 2 1 ( ) f x ( 1) ( ) f x f x   (0,1] x ( ) ( 1) f x x x   ( 2, 1] x  ( ) f x 1 2  1 16  1 8  1 4   2 2 , 0, 4, 0. x x f x x       a     2 2 3 f a f a     0,3   1,3    3,1    0,1  1 f x x a x    2 6 5 g x x x    17 4 a   0 f g x      4 3 2 1 x y 2 1 x y   2xy 1 4 2 2 4x y  1 2 2x y  2 1 1 x y  3 2 2  ( ) f x ( ) ( ) ( ) f x y f x f y    0 x  ( ) 0 f x  ( ) f x (0) 0 f  ( ) y f x  ( ) f x [ , ] m n ( ) f n ( 1) 0 f x   ( ,1)  2 , , 2 ( 1) 0 a b R a b       a R x R 2 2 0 a b   1 1 a b a b    2 1 , 2 ( ) ( R), 4 cos( ) , 2 x x f x a x a x             ( ) f x ( ) f x 0 a  ( , ) P x y ( ) f x   2 2 3   x y a   2 | 7, Z x x x   1 （北京）股份有限公司 14．已知向量|⃗ a|=1，向量⃗ b满足|⃗ a−⃗ b|+|⃗ a+⃗ b|=4，则 的最小值为______. 15．若函数 ，则 __________. 16．设函数 ，若对 ，不等式 成立，则实数 的取值范 围是____________. 四、解答题（共70 分） 17．已知集合A={x| 2≤ ﹣ x≤5}，B={x|4＜x＜6}，C={x|x＜a}． （1）求∁U（A∩B）； （2）若A∪B⊆C，求a 的取值范围． 18．在平面直角坐标系xOy 中，角 以Ox 为始边，点 位于角 的终边上． (1)求 和 的值； (2)若 ，求函数 的定义域和单调递增区间． 19．已知 ，命题p： ，不等式 恒成立；命题q： ， 使得 成立. (1)若p 为真命题，求实数m 的取值范围； (2)若q 和p 一真一假，求实数m 的取值范围. 20．已知函数y＝f（x）的图象与g（x）＝1ogax（a＞0，且a≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x）的图象过点（4，2）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（3x 1 ﹣）＞f（﹣x+5）成立，求x 的取值范围． 21．如图，港口 在港口 的正东120 海里处，小岛 在港口 的北偏东 的方向，且在港口 北偏西 的方向上，一艘科学考察船从港口 出发，沿北偏东 的 方向以20 海里/小 时的速度驶离港口 .一艘给养快艇从港口 以60 海里/小时的速度驶向小岛 ，在 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发，补给装船时间为1 小时. （1）求给养快艇从港口 到小岛 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口 后，最少经过多少小时能和科考船相遇？ 22．已知函数 的图象过点 ， . (1)求函数 的解析式； (2)设 ，若对于任意 ，都有 ，求m 的取值范围. b   2 3 1, 1 1 1 , 1 2 2 x x x x f x x              ( (2)) f f   2 1 2 2 2 1 x x f x x      x R     2 4 f mx f x  ≥ m    3, 1 P   sin cos 4            ,      ( ) tan f x x    mR 1 1 x   2 3 1 3 x m m    1 1 x   m x  A O B O 60 A 30 O 30 OD O A B B A B A    ln f x x a     aR   1,0 2 ( ) ( ) 2e f x g x x   ( ) g x 0 m  1 , x m m       ( ) ln( 1) g x m   2 （北京）股份有限公司 1．C 【分析】首先求解二次不等式的解集得到集合A，再根据集合的交集得到结果即可. 【详解】解：∵ ， ∴ . 2．B 【分析】根据奇函数 ,可知 为偶函数.根据偶函数图像关于 轴对称,可判断 的大小. 【详解】因为奇函数 在 上是增函数, 所以由函数的性质可知 为R 上的偶函数,且 在 上单调递减,在 上单调递增 因为 而 ,所以 ,即 因为 所以 而 , , 所以 故选:B 【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数大小比较,判断两个函数乘积的奇偶性 是解决此类问题的关键,属于中档题. 3．D 【分析】根据函数的单调性可知， ，即得 ，故可知 是方程 的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出． 【详解】根据函数的单调性可知， ， 即可得到 ， 即可知 是方程 的两个不同非负实根， 所以 ， 解得 ． 故选：D． 【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键. 4．B 【分析】由 可得答案. 【详解】由 可得“庆”字所对应的数字为3. 故选B. 【点睛】本题考查指数幂的计算，属基础题. 5．B 【分析】由扇形的周长和面积，利用基本不等式可求出面积的最大值，进而求出圆心角的大小. 【详解】扇形周长 ，扇形面积 由 ，可得 ，当且仅当 时，面积有最大值 ， 扇形的圆心角 故选：B 【点睛】本题考查了扇形的周长和面积公式、基本不等式求最值等基本知识，考查了运算求解 能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 6．D 【分析】先求出函数 在区间 上的解析式，利用二次函数的性质可求出函数 在区间 上的最小值．    2 2 3 0 1 3 A x x x x x            Z 2 2 2, 1,0,1,2 B x x         1,0,1,2 A B   ( ) f x ( ) ( ) g x xf x  y , , a b c ( ) f x R ( ) ( ) g x xf x  (0) 0 g  ( ) ( ) g x xf x    ,0     0,   2 2 2 1 log 0.2 log log 5 5   2 2 log 5 3   2 3 log 5 2    2 3 log 0.2 2    0.5 1 2 2   0.5 2 2 log 5 4         2 2 2 log 0.2 log 5 log 5 a g g g     0.5 (2 ) b g  (4) c g  b a c     1 1 f a a f b b        1 1 0 1 1 0 a a k b b k           1, 1 a b   2 0 x x k      1 1 f a a f b b        1 1 0 1 1 0 a a k b b k           1, 1 a b   2 0 x x k    1 4 0 1 1 0 k a b k           1 0 4 k    4 3 2 0 29 16 8 4 1 2 2 2 2       4 3 2 0 29 16 8 4 1 2 2 2 2       2 20   C R l 1 2 S lR  20 2 2 2   R l Rl 50  Rl 2 10  R l 25 10 2 5    l R  y f x    2, 1    y f x    2, 1   3 （北京）股份有限公司 【详解】由题意可知，函数 是以为周期的周期函数， 设 ，则 ，则 ， 即当 时， ， 可知函数 在 处取得最小值，且最小值为 ， 故选D. 【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的最值，解决本题的关键就是根据周期性求出函数的 解析式，并结合二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题． 7．A 【分析】先画出函数的图象，再解不等式组 即得解. 【详解】解：函数的图象如图所示， ， 故选：A. 8．C 【分析】利用换元法令 ，则方程 根的情况转化成研究方程 根的情 况，由一元二次函数的对称轴、判别式、区间端点函数值可得方程 的两根的范围，进而 得到方程 根的个数. 【详解】令 ， 所以 ，即 ①， 因为 ，所以方程①有两个不相等的实根 ，不妨设 . 因为 且 所以方程①的两根， （舍去） 所以 ， 由于函数 与函数 图象有两个交点， 所以方程 根的个数为2 个. 故选C. 【点睛】本题考查与二次函数复合的复杂函数的零点问题，考查转化与化归思想的应用，求解 时要注意换元法的灵活运用，及新元取值范围的确定，才会使问题进行等价转化，同时注意一 元二次函数零点分布的充要条件的应用. 9．ABD 【分析】题可知 ，且 ，利用基本不等式可判断A,D；构造二次函数 型可判断B；对 两边同时平方，利用基本不等式可判断C. 【详解】因为 是正数，且 ， 所以不等式可知 ，即 ，得 ， 当且仅当 ，即 取得等号， 所以 的最大值为 ，所以A 正确； 因为 是正数，且 ， 所以 ，且 ， 所以 ， 当 时 有最小值为 ， 所以B 正确；  y f x  1   2, 1 x    2 0,1 x       2 2 2 1 3 2 f x f x x x x x           2, 1 x   2 2 3 1 3 2 2 4 f x x x x              y f x  3 2 x  min 3 1 2 4 f x f          2 2 3, 2 0 a a a       2 1 3, 2 3, 0 3 0 2 0 a a a a a a                   t x g   0 f g x      ( ) 0 f t  ( ) 0 f t   0 f g x       2 6 5( 4) g x x x t t      ( ) 0 f t  2 1 0 1 0 t a t at t     2 4 0 a    1 2 , t t 1 2 t t  2 ( 4) ( 4) 1 4 17 0, a a       2 0 0 1 0, a  1 4 t  2 , 4 0 t    2 2 2 6 5( 4 0) t x x t       2 y t  2 6 5 y x x     0 f g x      1 0 ,0 1 2 x y     1 2 y x  2x y  , x y 2 1 x y   2 2 2 x y xy   1 2 2xy  1 2 4 xy  1 2 2 x y  1 1 , 4 2 x y   2xy 1 4 , x y 2 1 x y   1 0 ,0 1 2 x y     1 2 y x  2 2 2 2 2 4 4 (1 2 ) 8 4 1 x y x x x x        1 4 x  2 2 4x y  1 1 1 8 4 1 16 4 2    4 （北京）股份有限公司 ， 当且仅当 ，即 取得等号， 因为 ， 是正数，所以 最大值为 ，故C 不正确； 因为 ， 当且仅当 且 即 时取等号， 此时 最小值为 ，所以D 正确． 故选：ABD. 10．AD 【分析】赋值法可以求出 ， ，判断出AB 选项；C 利用赋值法和题干中 的条件可以得出 的单调性，从而得到 在 上有最大值；D 选项利用C 选项中判 断的函数的单调性进行解不等式，得到答案. 【详解】定义在R 上的函数 满足 ，令 得： ， 解得： ，A 正确； 令 得： ，因为 ，所以 ， 故 是奇函数，B 错误； 任取 ， ，且 ，则令 ， ，代入得： ， 因为当 时， ，而 ，所以 ， 故 ，即 ，从而 在R 上单调递减， 在 上有最大值为 ，C 错误； 由A 选项得到 ，而 在R 上单调递减，故 ，解得 ，解集为 ，D 正确. 故选：AD 11．AD 【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断D． 【详解】对A， 时， ，A 正确； 对B， 时，对任意 ， ， 不成立，B 错； 对C， 时满足 ，但此时 ，C 错； 对D， ，则 ， ，则 ，D 正确． 故选：AD． 12．BD 【分析】由 的性质和图象可判断A；利用奇偶性定义可判断B；令 解得 可判断 C；由函数 由函数 的图象和性质可判断D. 【详解】由 得 ， 此时函数 的图象为焦点在x 轴对称轴为坐标轴的椭圆的上半部分， ， 由 知， 此时函数的图象为三角函数 在 的部分， 可知函数 不是周期函数，故A 错误；   2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 x y x y x y xy xy               1 2 2 x y  1 1 , 4 2 x y   x y 2x y  2 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 2 2 x y x y y x y x x y x y x y x y           2 y x x y  2 1 x y   2 1 , 2 1 2 x y    1 1 x y  3 2 2  (0) 0 f  ( ) ( ) 0 f x f x    ( ) y f x  ( ) f x [ , ] m n ( ) f x ( ) ( ) ( ) f x y f x f y    0 x y  (0) (0) (0) f f f   (0) 0 f  y x  (0) ( ) ( ) f f x f x    (0) 0 f  ( ) ( ) 0 f x f x    ( ) y f x  1 x 2 x R  1 2 x x  1 x x  2 y x  1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x f x f x f x f x       0 x  ( ) 0 f x  1 2 0 x x   1 2) ( 0 f x x   1 2 ( ) ) 0 ( f x f x