河北省衡水市第二中学2021-2022学年高二下学期期中考试 数学

高二2021-2022 学年下学期期中试题 数学学科 （时间120 分钟，满分150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码 上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.答题时使用0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无 效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知实数 ， ， ，则（） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】A 2. 已知双曲线 ： 的 一个焦点到其渐近线的距离为 ，则双曲线 的实 轴长为（） A. 2 B. C. 4 D. 【2 题答案】 【答案】C 3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦点.则C 的方程为（） A. B. C. D. 【3 题答案】 【答案】B 4. 已知双曲线 ： 的上、下焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点，且 满足 ，则 的面积为（） A. B. C. D. 【4 题答案】 【答案】A 5. 已知 为椭圆 的右焦点， 为椭圆 上两个动点，且满足 ，则 的最小值为（） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】C 6. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，焦距 ，过点 的直线与椭圆交于 两点，若 ，且 ，则椭圆C 的方程为（） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】A 7. 如图①，在 中， ， ，D，E 分别为 ， 的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图②.若F 是 的中点，则四面体 的外接球体积是（） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】B 8. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，设 为椭圆上一点，角 的外角平分线所在直线为，过点 ， 分别做的垂线，垂足分别为 ， ，当点 在椭圆 上运动时，点 ， 的轨迹所围成的图形的面积为：（） A. B. C. D. 【8 题答案】 【答案】C 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.全部选对的得5 分，部分 选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 已知曲线 ： ，则（） A. 若 ，则曲线 是圆，其半径为 B. 若 ，则曲线 是椭圆，其焦点在 轴上 C. 若曲线 过点 ， ，则 是双曲线 D. 若 ，则曲线 不表示任何图形 【9 题答案】 【答案】BC 10. 已知向量 ， ，函数 ，则下列结论正确的 是（） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 是偶函数 【10 题答案】 【答案】AD 11. 已知复数 （为虚数单位）在复平面内对应的点为 ， 的共轭复数在复平面内对 应的点为 ，复数 在复平面内对应的点为 ，且复数 满足 ，下列结论正确的是 （） A. 的坐标为 B. 点 在一条直线上 C. 在点 的轨迹上 D. 的最小值为 【11 题答案】 【答案】BC 12. 如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P 是E 上异于顶点 的一动点，圆I（圆心为I）与 的三边 ， ， 分别切于点A，B，C，延长PI 交x 轴于点D，作 交 于点H，则（）． A. 为定值 B. 为定值 C. 为 定值 D. 为定值 【12 题答案】 【答案】ACD 三、填空题：（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，其中第16 题第一空2 分， 第二空3 分） 13. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， .双曲线 上有一点 ，若 ，则 ______. 【13 题答案】 【答案】1 或13##13 或1 14. 已知双曲线C： 的右顶点为A，右焦点为F，直线x－my＝0 与双曲线 左、右支分别交于M、N 两点，其中 ＋ ＝2 ，M，A，P 三点共线，则双曲线的渐 近线方程为_________. 【14 题答案】 【答案】y＝ 2 x 15. 公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭 圆上任意一点P（不同于A，B）作长轴 的垂线，垂足为Q，则 为常数k．若 ，则该椭圆的离心率为______． 【15 题答案】 【答案】 16. 已知动点 到点 的距离与它到直线： 的距离之比为 .则动点 的轨迹所形 成曲线 的方程为______，过 作圆 ： 的两条切线 、 ，切点 分别为 、 ，则 的最小值为______. 【16 题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤） 17. （1）已知A， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们 的斜率之积是 .求点 的轨迹方程，并判断轨迹的形状： （2）已知过双曲线 上的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A， 两点，求 . 【17 题答案】 【答案】（1）轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线，不含左右顶点； （2） . 18. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，短轴顶 点分别为 、 ，四边形 的面积为32. （1）求椭圆 的标准方程； （2）直线交椭圆 于 ， 两点，若 的中点坐标为 ，求直线的方程. 【18~19 题答案】 【答案】（1） （2） 19. 在① ，② ，③ 这三个 条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足______. （1）求角 ； （2）若 ， ，求 边上的高. 【19~20 题答案】 【答案】（1） （2） 20. 第24 届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022 年北京冬季奥运 会，于2022 年2 月4 日星期五开幕，2 月20 日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7 个大项，15 个 分项，109 个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目； 张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、 乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能 进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分 别为 和 ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p 和 ，其中 ． （1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ，求p 的值； （3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列． 【20~22 题答案】 【答案】（1）甲进入决赛可能性最大 （2） （3）分布列见解析 21. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 是椭圆上一点， 是 和 的等差中项． （1）求椭圆的标准方程； （2）若A 为椭圆的右顶点，直线AP 与y 轴交于点H，过点H 的另一直线与椭圆交于M、N 两点， 且 ，求直线MN 的方程． 【21~22 题答案】 【答案】（1） （2） 22. 已知函数 其中，a 为非零实数. （1）当 时，求 的极值； （2）讨论 的单调性； （3）若 有两个极值点 ， ，且 ，求证： . 【22~24 题答案】 【答案】（1） 的极小值为 ，无极大值； （2）当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调 递减； 当 时， 在 上单调递减，在 单调递增； （3）证明见解析.