黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一上学期入学摸底考试数学答案

哈三中2022 级摸底考试数学卷参考答案 考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分 一、单选题 1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 一、多选题 9.ACD 10.AD 11.CD 12.BD 二、填空题 13.充分不必要 14.{ } 1 0,1 4 −，， 15.−3 16. ①②③ 三、解答题 17. 【答案】 （1）由于 0 2 ≥ a ，故只能 1 2 − = + a ，……………………………………………………… 1 分 解得 3 − = a 。此时， } 2 , 1 , 9 { − = A 成立. ……………………………………………………… 2 分 （2）因为 B A 的元素个数为2，由题意知 A ∈ −2 . ……………………………………………… 3 分 0 2 ≥ a ，故 2 2 − = + a ，解得 4 − = a . 此时， } 2 , 2 , 16 { − = A 成立.…………………………… 5 分 （3）第一种情况： 4 2 = a ，解得 2 ± = a ，……………………………………………………… 6 分 当 2 = a 时， } 2 , 4 , 4 { = A ，不成立. ……………………………………………………… 7 分 当 2 − = a 时， } 2 , 0 , 4 { = A ，成立. ……………………………………………………… 8 分 第二种情况： 4 2 = + a ，解得 2 = a ， } 2 , 4 , 4 { = A ，故不成立（同第一种情况）. ……………………………………………………… 9 分 综上所述， 2 − = a . ……………………………………………………… 10 分 18.【答案】 （1）因为 φ = N M  ，所以 当 φ = M 时，即 3 + > a a ，不成立. ……………………………………………………… 1 分 当 φ ≠ M 时，有 6 1 3 { − ≥ ≤ + a a ， ……………………………………………………… 2 分 解得： 2 6 − ≤ ≤ − a . ……………………………………………………… 3 分 综上a 的取值范围为 } 2 6 | { − ≤ ≤ − a a . ……………………………………………………… 4 分 （2）由题意知： N M ⊆ ， ……………………………………………………… 6 分 由（1）知 φ ≠ M ， ……………………………………………………… 7 分 所以有 1 > a 或 6 3 − < + a ，……………………………………………………… 8 分 解得： 1 > a 或 9 − < a . ……………………………………………………… 9 分 综上a 的取值范围为 } 1 9 | { > − < a a a 或 . ……………………………………………………… 10 分 19. 【答案】 详解：(1) { } 0,1 A = ， ……………………………………………………… 1 分 A B B =   ， A B   . ……………………………………………………… 2 分 0 B   ，且1 B  即 0 3 0 3 0 a a        ， 3 a   ………………………………………………… 4 分 (2) A C C    ， C A   ……………………………………………………… 5 分 若C ∅  ，即 0 ∆ ，则 2 4 0 2 2 k k    . ……………………………6 分 若C 为单元素集，即 0 ∆ ，则 2 k . 当 2 k  时， {1} C  ，满足A C C   . 当 2 k 时， { 1} C  ，不满足A C C   . ………………………………8 分 若C A  ，则由韦达定理知0 1 0 1 1 k        ，无解. ……………………………………… 9 分 综上k 的取值范围为 2 2 k   . ……………………………………………………10 分 20.【答案】 （Ⅰ）因为� 1 6 − 1 7�= 1 42 < 1 30 所以集合� 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6 ， 1 7�不具有性质P. ……………………………………………………… 2 分 （Ⅱ）不妨设𝑎𝑎1 > 𝑎𝑎2 > ⋯> 𝑎𝑎𝑛𝑛 （i）由集合A 具有性质P，得𝑎𝑎𝑘𝑘−𝑎𝑎𝑘𝑘+1 ≥ 1 30 (k=1,2,…n-1) 所以(𝑎𝑎𝑖𝑖−𝑎𝑎𝑗𝑗)𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑎𝑎1 −𝑎𝑎𝑛𝑛= (𝑎𝑎1 −𝑎𝑎2) + (𝑎𝑎2 −𝑎𝑎3) + (𝑎𝑎3 −𝑎𝑎4) + ⋯+ (𝑎𝑎𝑛𝑛−1 −𝑎𝑎𝑛𝑛) ≥ 𝑛𝑛−1 30 即有(𝑎𝑎𝑖𝑖−𝑎𝑎𝑗𝑗)𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚≥ 𝑛𝑛−1 30 . …………………………………………………………………………… 5 分 (ii)对任意正整数k,1 ≤𝑘𝑘< 𝑛𝑛，与（i）类似可得𝑎𝑎𝑘𝑘−𝑎𝑎𝑛𝑛≥ 𝑛𝑛−𝑘𝑘 30 又显然𝑎𝑎𝑘𝑘≤ 1 𝑘𝑘, 𝑎𝑎𝑛𝑛> 0 所以𝑎𝑎𝑘𝑘−𝑎𝑎𝑛𝑛< 1 𝑘𝑘 故 𝑛𝑛−𝑘𝑘 30 ≤𝑎𝑎𝑘𝑘−𝑎𝑎𝑛𝑛< 1 𝑘𝑘 所以𝑛𝑛< 𝑘𝑘+ 30 𝑘𝑘 又𝑘𝑘+ 30 𝑘𝑘≥2√30 > 10，且k 为正整数，当k=6 或5 时，𝑘𝑘+ 30 𝑘𝑘= 11 所以𝑘𝑘+ 30 𝑘𝑘的最小值为11 所以𝑛𝑛< 11，即𝑛𝑛≤10. 又集合𝐴𝐴= �1， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6 ， 1 8, ， 1 12 ， 1 20 ， 1 60�符合性质P，且A 中含10 个元素，所 以n 的最大值为10. ……………………………………………………………………………………10 分