黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高二上学期第三次验收考试数学试卷

高二数学 第1页共6 页 哈三中2022—2023 学年度上学期 2021 级高二学年第三次验收考试数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150 分． 考试时间为120 分钟； （2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I 卷（选择题, 共60 分） 一、选择题（共60 分） (一)单项选择题（共8 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1．椭圆 2 2 1 16 9 x y  的焦点坐标为 A．  5,0  和  5,0 B．  0,5 和  0, 5  C．  7,0  和  7,0 D．  0, 7 和  0, 7  2．抛物线 2 4 y x  的准线方程为 A．= 1 x  B． 1 y  C． 1 x  D． 1 y  3．已知直线1 : 3 1 0 l ax y   ，   2 : 2 0 l x a y a     ，则“ 1 2 // l l ”是“ 3 a  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，ABCD EFGH － 是棱长为1 的正方体，若P 在正方体内部且满足 3 1 2 2 3 5 AP AB AD AE            ，则P 到直线AB 的距离为 A．3 4 B．4 5 C．5 6 D．3 5 高二数学 第2页共6 页 5．已知 1 F 、 2 F 为椭圆 2 2 1 25 9 x y  的两个焦点，过 1 F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若 2 2 13 F A F B   ，则 = AB A．6 B．7 C．5 D．8 6．过点 (1 2) P ，作直线l ，使l 与双曲线 2 2 9 1 y x  有且仅有一个公共点，这样的直线l 共 有 A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 7．设点P 是抛物线 1 C : 2 4 x y  上的动点,点M 是圆 2 C : 2 2 ( 5) ( 4) 4 x y     上的动点, d 是点P 到直线= 2 y  的距离,则 | | d PM  的最小值是 A．5 2 2  B．5 2 C．5 2 1  D．5 2 1  8．已知椭圆 1 C ：   2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 x y a b a b     与双曲线 2 C ：   2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 x y a b a b     有相同的焦 点 1 F 、 2 F ，椭圆 1 C 的离心率为 1 e ，双曲线 2 C 的离心率为 2 e ，点P 为椭圆 1 C 与双曲线 2 C 的交点，且 1 2 3 F PF    ，则 1 2 2 3 e e  的最大值为 A． 7 B． 4 4 3 C．4 3 D．2 7 (二)多项选择题（共4 小题，每小题5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9．经过点   4, 2 P  的抛物线的标准方程为 A． 2 y x  B． 2 8 y x  C． 2 8 y x  D． 2 8 x y  10．已知曲线C 的方程为   2 2 1 R 9 1 x y k k k      ，则 A．当 5 k  时，曲线C 是半径为2 的圆 B．存在实数k ，使得曲线C 是离心率为 2 的双曲线 C．当 0 k  时，曲线C 为双曲线，离心率为 2 2 3 e  D． “ 1 k ”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 高二数学 第3页共6 页 11．如图，正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的棱长为2，E 是 1 DD 的中点，则 A． 1 1 B C BD  B．点E 到直线 1 BC 的距离为3 2 C．直线 1 B E 与平面 1 1 B C C 所成的角的正弦值为2 3 D．点 1 C 到平面 1 B CE 的距离为2 3 12．2022 年4 月16 日9 时56 分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地 球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆” ．如图，在 平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点   0,2 F ，椭 圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O的直线与上半椭 圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则下列说法正确的有 A．椭圆的长轴长为4 2 B．线段AB 长度的取值范围是4,2 2 2      C．ABF  面积的最小值是4 D．AFG  的周长为4 4 2  高二数学 第4页共6 页 第Ⅱ卷（非选择题, 共90 分） 二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．已知焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为 2 y x  ，则该双曲线的离心率为 _________． 14．圆 1 C ： 2 2 6 5 0 x y y    与圆 2 C ： 2 2 8 7 0 x y x     的公切线条数为_________． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 2 4 y x  ，直线l 过抛物线的焦点，直线l 与 抛物线交于A ，B 两点，弦AB 长为6，则直线l 的方程为_________． 16．已知曲线C 的方程为 2 4 4 x y   ，则下列说法正确的是_________． ①曲线C 关于坐标原点对称； ②y 的取值范围是[ 1,1]  ； ③曲线C 是一个椭圆； ④曲线C 围成区域的面积小于椭圆 2 2 : 1 4 x E y  围成区域的面积． 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知双曲线   2 2 2 1 0 3 x y b b    的右焦点与抛物线   2 2 0 y px p   的焦点相同，且过点   6,1 ． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）求抛物线的标准方程． 18．已知圆C 的方程为： 2 2 2 4 1 0 x y x y     ，点   0,4 P ． （1）求过点P 的C 的切线方程； （2）过点P 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2 3 ，求直线l 的方程． 高二数学 第5页共6 页 19．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0     ：x y C a b a b 与 2 2 1 5 2   x y 有相同的焦点，且经过点   2, 2  P ． （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点坐标为  1,2 ，求直线l 的 斜率． 20．如图，正方形ABCD和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE BC  ，BE CF ∥ ， 且 2 AB BE   ， 3 CF  ． （1）证明：AE ∥平面DCF ； （2）求二面角A EF C   的余弦值． 高二数学 第6页共6 页 21．已知动点P 与平面上两定点 ( 2,0) A  ， (2,0) B 连线的斜率的积为定值 1 4  ． （1）求动点P 的轨迹方程C ； （2）设直线: 1 l y kx  与曲线C 交于M ，N 两点，判断是否存在k 使得OMN  面 积取得最大值，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 22．已知A ，B 分别是椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左右顶点．椭圆长轴长为6，离心 率为2 3 ．O为坐标原点， 过点   0 3 P  ， ， 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M 、 N 两个不同的点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）当直线l 的斜率为正时， 设直线AM 、 AN 分别交y 轴于点S 、 T ， 记PS PO       ， PT PO       ，求   的取值范围．