山东省威海市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学第1页（共4 页） 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1.直线 2 2 3 y x   的一个法向量为 A. (2 3) ， B. (2 3)  ， C. (3 2) ， D. (3 2)  ， 2.已知向量 ( 2 5) x   ， ， a 与 (1 3) y   ，， b 平行，则 A. 2 xy  B. 2 15 x y   C. 2 15 x y   D. 2 xy  3.已知椭圆 2 2 5 5 mx my   的一个焦点坐标是( 2 0) ，，则m  A. 5 B. 2 C.1 D. 3 2 4.若 n S 是等差数列{ } n a 的前n 项和， 8 9 2 3 a a   ，则 13 S  A.13 B.39 C. 45 D. 21 5.若复数( 3) ( ) x yi x y   R ， 的模为2 ，则y x 的最大值为 A. 2 5 5 B. 5 2 C. 5 3 D. 2 3 6.已知直四棱柱 1 1 1 1 ABCD A B C D  的棱长均为2 ， O 60 BAD   ， 则直线 1 BD 与侧面 1 1 BCC B 所 成角的正切值为 A. 6 4 B. 10 2 C. 15 3 D. 15 5 7. 我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是 将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本 金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以 利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48 万元，张华跟银行约定，按照等额本 金还款法，每个月还一次款，20 年还清，贷款月利率为 % 4 . 0 ，设张华第n 个月的还款金 额为 n a 元，则 n a  A. 2192 B.3912 8n  C.3920 8n  D.3928 8n  8. 已知抛物线C ： 2 2 y px  ( 0 p  )的焦点为F ，过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于 A ，B 两点，过线段AB 的中点M 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点N ，若 高二数学第2页（共4 页） | | 3 | | AB MN  ，则l 的斜率为 A. 1 2 B. 3 2 C. 3 D. 3 3 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分. 9.已知复数 2 1 6 ( 2)i 2 z a a     ， 2 1 i z a  （aR ），若 1 2 z z  为实数，则 A. 1 a  B. 1 1 5 z z  C. 6 2 z 为纯虚数 D. 1 2 z z 对应的点位于第二象限 10.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结 构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4 个碳原子以完全相同的方式连接. 从立体几何的角度来看，可以认为4 个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中 间的那个碳原子处于与这4 个碳原子距离都相等的位置，如图2 所示.这就是说，图2 中 有AE BE CE DE    ，若正四面体ABCD 的棱长为a ，则 A. 2 6 9 a AE    B. EA EB EC ED    0         C. 0 AE CD      D. 2 2 a AE AC      11.过双曲线E ： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0 a  ， 0 b  ）的右焦点F 作渐近线的垂线交y 轴于点P ， 垂足为点M ，若 2 MF PM      ，则 A.直线FP 与圆 2 2 2 x y a   相切 B. E 与 2 2 2 2 1 2 x y b a  有相同的焦点 C. E 的渐近线方程为 2 2 y x  D. E 的离心率为 3 12.在四棱锥P ABCD  中， 底面ABCD 为平行四边形，E 为边BC 的中点， n F ( N n   )为边CD 上 的一列点， 连接 n BF ， 交AC 于 n G ， 且 1 2(2 1) n n n n n PA PG a G B a G E               ， 其中数列{ } n a 的首项 1 0 a  ，则 A. 1 2 1 n n a a   B.{ 1} n a  为等比数列 C. 2n n n G A G C      D. 2 2 2 F D CF      高二数学第3页（共4 页） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13.一条直线l 经过 ( 3 3) P  , ，并且倾斜角是直线 3 y x  的倾斜角的2 倍，则直线l 的方程 为 ． 14.已知正方形ABCD 的边长为2 ，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点， 沿EF 将四边形AEFD 折起，使二面角A EF B   的大小为 O 60 ，则A ，C 两点间的距离为________． 15.已知数列{ } n a 的各项均为正数， 其前n 项和 n S 满足2 1 n n S a  ， 则 n a _______． 记[ ] x 表示不超过x 的最大整数，例如[ ] 3  ，[ 1.5] 2  ，若 [ ] 1 10 n n a b  ，设{ } n b 的前n 项和 为 n T ，则 22 T  ．(本题第一空2 分，第二空3 分) 16.已知正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的棱长为2 ，E 为CD 的中点，P 为面ABCD 内一点.若点P 到面 1 1 ADD A 的距离与到直线 1 BB 的距离相等，则三棱锥 1 D PAE  体积的最小值为 ________. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10 分） 在等比数列{ } n a 中， 3 3 3a 是 2 a 与 7 a 的等比中项， 1 3a 与 3 a 的等差中项为6 . （Ⅰ）求{ } n a 的通项公式； （Ⅱ）设 2 3 log n n n b a a   ，求数列{ } n b 的前n 项和 n S . 18.（本小题满分12 分） 已知圆C 与x 轴相切，圆心在直线 3 y x  上，且到直线 2 y x  的距离为 5 5 . （Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）若圆C 的圆心在第一象限，过点(1 0) , 的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 且| | 3 2 AB  ，求直线l 的方程. 19.（本小题满分12 分） 如图，在三棱锥S ABC  中，平面SAC 平面ABC ，且 2 SA AB AC    ， O 120 SAC BAC    . （Ⅰ）求证：SB AC  ； （Ⅱ）求直线SA与BC 所成角的余弦值. C B A S 高二数学第4页（共4 页） 20.（本小题满分12 分） 已知数列{ } n a 为等差数列， 1 2 a  ，数列{ } n b 满足 1 1 1 2 2 3 3 2n n n a b a b a b a b n         ， 且2 4 b  . （Ⅰ）求{ } n b 的通项公式； （Ⅱ）设 1 ( 1)( 1) n n n n b c b b     ，记数列{ } n c 的前n 项和为 n T ，求证：2 1 3 n T  ≤ . 21.（本小题满分12 分） 在三棱柱 1 1 1 ABC A B C  中，侧面正方形 1 1 BB C C 的中心为点M ， 1 A M 平面 1 1 BB C C ， 且 1 2 BB  ， 3 AB  ，点E 满足 1 1 1(0 1) A E AC        ≤ ≤ . （Ⅰ）若 1 A B 平面 1 B CE ，求的值； （Ⅱ）求点E 到平面ABC 的距离； （III）若平面ABC 与平面 1 B CE 所成角的正弦值为2 5 5 ， 求的值. 22.（本小题满分12 分） 已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的左、 右焦点分别为 1 F ， 2 F ， 且 1 2 2 F F  ， 直线l 过 2 F 与C 交于M ，N 两点， 1 F MN  的周长为8. （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）过 1 F 作直线交C 于P ，Q 两点，且向量PQ   与MN   方向相同，求四边形PQNM 面 积的取值范围. E M C C1 B1 B A A1