山东省威海市2021-2022学年高二上学期期末考试 数学

高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.直线y＝ x＋2 的一个法向量为 A.(2，3) B.(2，－3) C.(3，2) D.(3，－2) 2.已知向量a＝(x，－2，5)与b＝(1，y，－3)平行，则 A.xy＝2 B.x－2y＝15 C.x＋2y＝15 D.xy＝－2 3.已知椭圆mx2＋5my2＝5 的一个焦点坐标是(－2，0)，则m＝ A.5 B.2 C.1 D. 4.若Sn是等差数列{an}的前n 项和，2a8＝a9＋3，则S13＝ A.13 B.39 C.45 D.21 5.若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则 的最大值为 A. B. C. D. 6.已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，则直线BD1与侧面BCC1B1 所成角的正切值为 A. B. C. D. 7.我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是 将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金 即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率。 自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48 万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款 法，每个月还一次款，20 年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为an元， 则an＝ A.2192 B.3912－8n C.3920－8n D.3928－8n 8.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A，B 两点，过线段AB 的中点M 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点N，若|AB|＝ |MN|，则 l 的斜率为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分。 9.已知复数 ，z2＝1－ai(a∈R)，若z1＋ 为实数，则 A.a＝1 B.z1 ＝ C.z2 6为纯虚数 D. 对应的点位于第二象限 10.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1 所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结 构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4 个碳原子以完全相同的方式连接。 从立体几何的角度来看，可以认为4 个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间 的那个碳原子处于与这4 个碳原子距离都相等的位置，如图2 所示。这就是说，图2 中有 AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD 的棱长为a，则 A. B. C. D. 11.过双曲线E： (a>0，b>0)的右焦点F 作渐近线的垂线交y 轴于点P，垂足为 点M，若 ，则 A.直线FP 与圆x2＋y2＝a2相切 B.E 与 有相同的焦点 C.E 的渐近线方程为y＝ D.E 的离心率为 12.在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为边BC 的中点，Fn(n∈N*)为边 CD 上的一列点，连接BFn，交AC 于Gn，且 ， 其中数列{an}的首项a1＝0，则 A.an＋1＝2an＋1 B.{an－1}为等比数列 C. D. 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.一条直线l 经过P( ，－ )，并且倾斜角是直线y＝ x 的倾斜角的2 倍，则直线l 的方程为 。 14.已知正方形ABCD 的边长为2，E，F 分别是边AB，CD 的中点，沿EF 将四边形AEFD 折起，使二面角A－EF－B 的大小为60°，则A，C 两点间的距离为 。 15.已知数列{an}的各项均为正数，其前n 项和Sn满足2 ＝an＋1，则an＝ 。记[x] 表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3，[－1.5]＝－2，若 ，设{bn}的前n 项 和为Tn，则T22＝ 。(本题第一空2 分，第二空3 分) 16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E 为CD 的中点，P 为面ABCD 内一点。若点 P 到面ADD1A1 的距离与到直线BB1 的距离相等，则三棱锥D1－PAE 体积的最小值为 。 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10 分) 在等比数列{an}中，3 a3是a2与a7的等比中项，3a1与a3的等差中项为6。 (I)求{an}的通项公式； (II)设bn＝an 2＋log3an，求数列{bn}的前n 项和Sn。 18.(本小题满分12 分) 已知圆C 与x 轴相切，圆心在直线y＝3x 上，且到直线y＝2x 的距离为 。 (I)求圆C 的方程； (II)若圆C 的圆心在第一象限，过点(1，0)的直线l 与C 相交于A，B 两点，且|AB|＝3 ，求直线l 的方程。 19.(本小题满分12 分) 如图，在三棱锥S－ABC 中，平面SAC⊥平面ABC，且SA＝AB＝AC＝2，∠SAC＝∠BAC ＝120°。 (I)求证：SB⊥AC； (II)求直线SA 与BC 所成角的余弦值。 20.(本小题满分12 分) 已知数列{an}为等差数列，a1＝2，数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝n·2n＋1，且b2＝ 4。 (I)求{bn}的通项公式； (II)设cn＝ ，记数列{cn}的前n 项和为Tn，求证： ≤Tn<1。 21.(本小题满分12 分) 在三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧面正方形BB1C1C 的中心为点M，A1M⊥平面BB1C1C，且 BB1＝ ，AB＝ ，点E 满足 (0≤λ≤1) (I)若A1B//平面B1CE，求λ 的值； (II)求点E 到平面ABC 的距离； (III)若平面ABC 与平面B1CE 所成角的正弦值为 ，求λ 的值。 22.(本小题满分12 分) 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，直线l 过F2 与C 交于M，N 两点，△F1MN 的周长为8。 (I)求C 的方程； (II)过F1作直线交C 于P，Q 两点，且向量 与 方向相同，求四边形PQNM 面积的取 值范围。