河北省沧州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

沧州市2021—2022 学年第一学期期末教学质量监测 高二数学 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 直线 的倾斜角是（） A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  【1 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果. 【详解】设直线 3 3 0 x y   的倾斜角为，则   0,    ， 由 3 3 0 x y   得： 3 1 3 y x  ，则斜率 3 tan 3 k    ， 6     . 故选：A. 2. 如图，在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，AB a  � ，AD b  � ， 1 AA c  � ，若E 为 1 DD 的中点， F 在BD 上，且 2 BF FD  ，则EF � 等于（） A. 1 1 1 2 2 2 a b c    B. 1 1 1 3 3 2 a b c    C. 1 1 1 3 3 2 a b c     D. 1 1 1 2 3 3 a b c    【2 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可. 【详解】   1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 3 3 2 EF DF DE DB DD AB AD AA a b c           � . 故选：B. 3. 已知等差数列  n a 的前n 项和为 n S ，若 4 4 S  ， 5 0 S ，则 1 a （） A. 8  B. 4  C. 4 D. 8 【3 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据 5 3 5 S a  和 5 5 4 a S S   可求得 3 5 , a a ，结合等差数列通项公式可求得 1 a . 【详解】设等差数列  n a 公差为d ， 由   1 5 5 3 5 5 0 2 a a S a    得： 3 0 a ；又 5 5 4 4 a S S   ， 5 3 2 4 d a a    ， 1 3 2 0 4 4 a a d      . 故选：B. 4. 已知抛物线 2 : 4 C y x  ，则抛物线C 的焦点到其准线的距离为（） A. 2 B. 4 C. 1 4 D. 1 8 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定p 的值即可. 【详解】由 2 4 y x  可得抛物线C 标准方程为： 2 1 4 x y  ， 1 8 p   ， 抛物线C 的焦点到其准线的距离为 1 8 . 故选：D. 5. 在数列  n a 中， 1 50 a  ， 1 n n a a n   ，则 46 a （） A. 985 B. 1035 C. 2020 D. 2070 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据累加法得 2 100 2 n n n a    ， * n N  ，进而得 46 985 a  . 【详解】解：因为 1 n n a a n   所以，当 2 n 时， 1 1 n n n a a   ， 1 2 2 n n a a n     ，……， 2 1 1 a a  ， 所以，将以上式子相加得     1 1 1 2 3 1 2 n n n a a n         ， 所以 2 100 2 n n n a    ， 2 n ， * n N  . 当 1 n 时， 2 1 1 1 100 50 2 a     ，满足； 所以 2 100 2 n n n a    ， * n N  . 所以 2 46 46 46 100 985 2 a     . 故选：A 6. 在空间直角坐标系中，点  1,2,3 A 关于y 轴的对称点为点B ，则点  3,0,1 C 到直线AB 的距 离为（） A. 2 3 B. 2 10 5 C. 2 65 5 D. 6 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】按照空间中点到直线的距离公式   2 2 d a a u     直接求解. 【 详 解 】 由 题 意 ，   1,2, 3 B   ，   2,0, 6 AB   � ， AB �的 方 向 向 量 2 6 1 3 ,0, ,0, 4 36 4 36 10 10 u                     ， (2, 2, 2) AC    � ，则点C 到直线AB 的距 离为   2 2 2 1 3 2 65 4 4 4 2 2 5 10 10 d AC AC u                  � . 故选：C. 7. 已知点A 为直线2 10 0 x y    上任意一点，O 为坐标原点．则以OA 为直径的圆除过定点   0,0 外还过定点（） A.   10,0 B.   0,10 C.   2,4 D.   4,2 【7 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】设OB 垂直于直线2 10 0 x y    ，可知圆恒过垂足B ；两条直线方程联立可求得B 点坐标. 【详解】设OB 垂直于直线2 10 0 x y   ，垂足为B ，则直线OB 方程为： 1 2 y x  ， 由圆的性质可知：以OA 为直径的圆恒过点B ， 由 2 10 0 1 2 x y y x          得： 4 2 x y      ，  以 OA 为直径的圆恒过定点  4,2 . 故选：D. 8. 如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6 米，水面宽 12 3 AB  米，若水面下降6 米， 则水面宽() A. 24 3 米 B. 24 2 米 C. 18 3 米 D. 18 2 米 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y 轴建立直角坐标系，求出双曲线方程， 数形结合即可求解. 【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y 轴建立直角坐标系， 设双曲线标准方程为： 2 2 2 y x a   (a＞0)， 则顶点   0, M a  ，  6 3, 6 A a    ， 将A 点代入双曲线方程得， 2 2 ( 6) 36 3 6 a a a     ， 当水面下降6 米后， 12 18 y a    ， 代入双曲线方程得， 2 2 2 18 6 12 2 x x     ， ∴水面宽：12 2 2 24 2  米. 故选：B. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知椭圆C ： 2 2 1 3 4 x y  ，则下列关于椭圆C 的结论正确的是（） A. 焦点坐标为  1,0  ，  1,0 B. 长轴长为4 C. 离心率为1 2 D. 直线2 3 0 x y   与C 无交点 【9 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】由椭圆方程可求得, , a b c ，依次判断焦点、长轴长和离心率可知ABC 正误；根据直线 与椭圆位置关系的判断方法可知D 错误. 【详解】由椭圆方程知：椭圆焦点在y 轴上， 2 a ， 3 b  ， 2 2 1 c a b   ； 对于A，焦点坐标为  0, 1  ，  0,1 ，A 错误； 对于B，长轴长2 4 a  ，B 正确； 对于C，离心率 1 2 c e a   ，C 正确； 对于D，由 2 2 1 3 4 2 3 0 x y x y           得： 2 16 36 15 0 x x    ，则 2 36 4 16 15 336 0       ， 直线2 3 0 x y    与C 交于两点，D 错误. 故选：BC. 10. 已知圆C ：    2 2 2 2 25 x y     ，直线l ：3 4 0 x y m   ．圆C 上恰有3 个点到直线l 的距离为3 ，则m 的值为（） A. 13  B. 8  C. 12 D. 17 【10 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆C 上恰有3 个点到直线l 的距离为3 可确定圆心到直线距离为2 ，由此构造方程求 得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心   2,2 C ，半径 = 5 r ； 圆C 上恰有3 个点到直线l 的距离为3 ，圆心C 到直线l 的距离 2 2 5 d r   ， 即 2 2 5 m d   ，解得： 12 m  或 8 m  . 故选：BC. 11. 已知点P 为双曲线 2 2 1 9 16 x y  右支上一点，A 、B 分别为圆 1 C ：  2 2 5 4 x y   、 2 C ：   2 2 5 1 x y   上的动点，则PA PB  的值可能为（） A. 2 B. 6 C. 9 D. 12 【11 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把 PA PB  转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出PA PB  的范 围，从而可得答案 【详解】由双曲线的方程可得 2 2 3, 4, 5 a b c a b     ，焦点为 1 2 ( 5,0), (5,0) F F  ， 1 2 2 6 PF PF a    圆 1 C ：  2 2 5 4 x y   的圆心为 1( 5,0) F  ，半径为2， 圆 2 C ：  2 2 5 1 x y   的圆心为 2(5,0) F ，半径为1， 所以 1 1 max min 2, 2 PA PF PA PF     ， 2 2 max min 1, 1 PB PF PB PF     ， 所以    1 2 1 2 max min max 2 1 3 9 PA PB PA PB PF PF PF PF           ,     1 2 1 2 min max min 2 1 3 3 PA PB PA PB PF PF PF PF           ， 所以3 9 PA PB   ， 故选：BC 12. 如图，在正四棱柱 1 1 1 1 ABCD A B C D  中， 2 DC DA  ， 1 4 DD ，点E 在 1 C C 上，且 1 CE ．则下列说法正确的是（） A. 1 A D BE  B. 异面直线 1 A D 与 1 B B 所成角的正切值为2 C. 1 AC 平面DBE D. 直线BE 与平面 1 A DE 所成角的正弦值为 2 105 21 【12 题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面垂直的向量判断方法，线 线角和线面角的向量求法依次判断各个选项即可. 【详解】以D 为坐标原点， 1 , , DA DC DD � 为, , x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则   1 2,0,4 A ，   1 2,2,4 B ，  2,2,0 B ，  0,2,0 C ，   0,0,0 D ，   0,2,1 E ， 对于A，   1 2,0, 4 A D   �  ，   2,0,1 BE  � ， 1 0 A D BE    � ， 1 A D BE   ，A 正确； 对于B，   1 2,0, 4 A D   �  ，   1 0,0,4 BB  � ，设异面直线 1 A D 与 1 B B 所成角为， 1 1 1 1 16 2 5 cos 5 2 5 4 A D BB A D BB         � � ， 1 tan 2    ，B 错误； 对于C，   1 2,2, 4 AC   �  ，   0,2,1 DE  � ，   2,2,0 DB  � ， 1 1 0 0 AC DE AC DB          � � ， 1 1 AC DE AC DB      ，又DE DB D   ， , DE DB 平面DBE ， 1 AC  平面DBE ，C 正确； 对于D，   1 2,0, 4 A D   �  ，   0,2,1 DE  � ，设平面 1 A DE 的法向量   , , n x y z   ， 1 2 4 0 2 0 A D n x z DE n y z          �  �  ，令 1 y ，则 2 z  ， 4 x ，   4,1, 2 n     ， 又   2,0,1 BE  � ， 10 2 105 cos , 21 5 21 BE n BE n BE n         � � � ， 即直线BE 与平面 1 A DE 所成角的正弦值为 2 105 21 ，D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用空间向量法求解直线AB 与平面所成角的基本步骤为： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量； （2）求得平面的法向量n ，设所求角为，则sin AB n AB n     � � . （3）根据 0, 2       可求得线面所成角的大小. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，其中第16 题第一空2 分，第二 空3 分. 13. 已知向量   2,1,0 m   与   2, , n a a b   是平面的两个法向量，则a b  __________． 【13 题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】由n m    且n  为非零向量可直接构造方程求得, a b ，进而得到结果. 【详解】由题意知：   0 n m      ， 2 2 0 a a b           ，解得： 0 0 a b     （舍）或 2 0 a b     ， 2 a b  . 故答案为：2 . 14. 已知直线1 3 3 : 0 l x y   与2 : 2 6 0 l x y m   之间的距离为 10 4 ，则m __________． 【14 题答案】 【答案】1或11##11或1 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式构造方程求解即可. 【详解】1 l 方程可化为：2 6 6 0 x y   ， 由平行直线间距离公式得： 6 10 4 4 36 m    ，解得： 1 m 或 11 m  . 故答案为：1或11. 15. 已知   1 0,0 A ，   2 1,2 A ， 3 A ，…， n A 为抛物线C ： 2 2 y px  上的点，F 为抛物线的焦点． 在等比数列  n a 中， 1 1 a FA  ， 2 2 a FA  ， 3 3 a FA  ，…， n n a FA  ．则 12 A 的横坐标为_ _________． 【15 题答案】 【答案】2047 【解析】 【分析】利用   2 1,2 A 在抛物线上可求得p ，结合等比数列的公比q 可求得 12 2048 FA  ，利 用抛物线的焦半径公式即可求得结果. 【详解】   2 1,2 A  在抛物线上， 2 4 p  ，解得： 2 p ，抛物线 2 : 4 C y x  ； 数列  n a 为等比数列，又 1 1 1 a F A  ， 2 2 1 1 2 a F A  ，公比 2 q = ， 11 11 12 1 2 2048 a a q     ，即 12 12 1 2048 FA x   ，解得： 12 2047 x  ， 即 12 A 的横坐标为2047 . 故答案为：2047 . 16. 已知数列  n a 的通项公式为 13 2 n a n   ，记数列  n a 的前n 项和为 n T ，则 10 T ________ __， n T n 的最小值为__________． 【16 题答案】 【答案】 ①. 52 ②. 5 【解析】 【分析】首先确定 n a 的正负，分别在 6 n 和 7 n 两种情况下求得 n T ，代入 10 n  即可求得 10 T ；由 n T 可求得 n T n ，分别在 6 n 和 7 n 两种情况下结合一次函数和对勾函数单调性得到最 小值，综合可得最终结果. 【详解】令13 2 0 n  ，解得： 13 2 n  ，则当 6 n 时， 0 n a  ；当 7 n 时， 0 n a  ； 当 6 n 时，     1 2 11 13 2 12 2 2 n n n a a n n T n n        ； 当 7 n 时，      1 2 6 7 8 1 2 6 2 n n T a a a a a a a a a                      1 2 6 7 8 n a a a a a a       