湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

2022 年湖北省新高考联考协作体高一春季期中考试 高一数学试卷 命题学校：应城一中命题教师：周燕华江辉江斌审题学校：孝感一中 考试时间：2022 年4 月14 日下午15：00—17；00 试卷满分：150 分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.1 2 1 2 i i    （） A. 4 3 5 5 i   B. 4 3 5 5 i   C. 3 4 5 5 i   D. 3 4 5 5 i   2.命题：“ 0 x  ，e 1 x  ”的否定是（） A. 0 x  ，e 1 x  B. 0 x ，e 1 x  C. 0 x  ，e 1 x  D. 0 x ，e 1 x  3.已知a，b，c 是实数，则“a b  ”是“ 2 2 ac bc  ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知, R x y  ，向量 ( ,1) a x   ， (1, ) b y   ， (2, 1) c    且a c   ，b c   ∥ ，则| | a b     （） A. 10 2 B.10 4 C. 10 D. 10 5. 在 ABC △ 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且 2 CN ND  � ，若 1 3 AN AB AC    � ，则（） A. 1 3 B. 1 3  C. 2 3 D. 2 3  6.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B 两点，从A，B 两点分别测得树尖的仰角为 30，45，且A，B 两点之间的距离为30m，则该树的高度为（） A.(30 3 30)m  B.(30 3 30)m  C.(15 3 15)m  D.(15 3 15)m  7.若tan 2 ，则sin (1 sin 2 ) sin cos        （） A. 2 5 B. 2 5  C. 6 5 D. 6 5  8.已知函数 2 1 , 2, ( ) 3 , 2, 1 x x f x x x         若方程 ( ) f x k 有且仅有三个不等实根，则实数k 的取值范 围是（） A. 0 k  B. 0 1 k   C. 0 3 k   D.1 3 k   二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.任何一个复数z a bi  （其中, a b R  ，i 为虚数单位）都可以表示成： (cos isin ) z r     的形式，通常称之为复数z 的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现： * [ (cos isin )] (cos isin )( ) n n n z r r n n n N          ，我们称这个结论为棣莫弗定理。根据 以上信息，下列说法正确的是（） A. 2 2 | | z z  B.当 2 r ， 6   时， 1 3i z  C.当 1 r ， 3   时， 3 1 z  D.当 1 r ， 4   时，若n 为偶数，则复数 n z 为 纯虚数 10.对于 ABC △ ，有如下判断，其中正确的判断是（） A.若sin 2 sin 2 A B  ，则 ABC △ 为等腰三角形. B.若sin sin A B  ，则A B  C.若 • 0 AC CB  � ，则 ABC △ 是钝角三角形. D.若( ) :( ) :( ) 4:5:6 b c c a a b     ，则 ABC △ 一定是一个钝角三角形. 11. 已知定义域为 A 的函数 ( ) f x ，若对任意的 1 2 , x x A  且 1 2 x x  ，有    1 2 1 2 2 2 f x f x x x f         ，则称函数 ( ) f x 为“定义域上的凹函数”，以下函数是“定义域 上的凹函数”的有（ ） A. 2 ( ) 2 f x x x   B. ( ) x f x e  C. 3 ( ) log f x x  D. ( ) sin f x x  ， , 2 2 x         12.已知函数 ( ) sin( ) f x A x     （其中 0 A  ， 0  ，| |    ）的部分图像如图所示，则 下列结论正确的是（） A.函数 ( ) f x 的图象关于点 ,0 12         对称 B. ( ) 3 f x f x          C.函数 ( ) f x 在区间0, 3        上单调递增 D. 1 y 与 23 ( ) 12 12 y f x x           „ „ 图像的所有交点的横坐标之和为8 3  三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知函数 2 , 2 ( ) ( 1), 2 x x f x f x x       ，则 2 (log 6) f . 14.已知 4 sin( ) 3 5     ， 5 6 6      ，则cos. 15.已知函数 ( ) a f x x x   在区间(0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围为. 16.如图，在 ABC △ 中，已知 2 AB ， 6 AC ， 60 BAC   ， 2 BC BM  ， 3 AC AN  ， 线段AM，BN 相交于点P，则 MPN  的余弦值为. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10 分）已知m R  ，i 为虚数单位，复数   2 2 6 ilg 2 2 z m m m m       . （1）若z R  ，求m 的值 （2）若复数z 对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 18. （本题满分12 分）在 ABC △ 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 2 2 2 2sin sin sin b c a B A bc C     . （1）求角C 的值： （2）若边 2 c ，求 ABC △ 面积的最大值. 19. （本题满分12 分）已知函数 2 ( ) 3sin( ) 2cos 1 2 x f x x                ，（ 0  ， 0     ）是偶函数，且 ( ) f x 图像的相邻两条对称轴间的距离为 2 . （1）求函数 ( ) f x 的解析式： （2）将函数 ( ) f x 的图像向右平移 6 单位长度，再把横坐标缩小为原来的1 2 ，纵坐标保持不变， 得到函数 ( ) y g x  的图像，当 , 12 6 x          时，求函数( ) g x 的值域. 20.（本题满分12 分）已知半圆圆心为O 点，直径 8 AB ，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点， 若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示. （1）求点A、B、C 的坐标； （2）若 3 1 4 4 PA CA CB   � ，求 PA � 与CB � 夹角的大小； （3）试求点P 的坐标，使 • PA PO � 取得最小值，并求此最小值. 21. （本题满分12 分）如图，在 ABC △ 中，已知点D 在边BC 上，且 90 DAC   ， 2 2 cos 3 DAB   ， 6 AB . （1）若 3 sin 3 C  ，求线段BC 的长； （2）若点E 是BC 的中点， 2 3 AE  ，求线段AC 的长. 22.（本题满分12 分）已知函数 ( ) 2 ( ) 2 x x a f x a R    ， 2 ( ) 2 g x x x m    . （1）若函数 ( ) f x 为奇函数，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，设函数 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 x x F x f x      ，若 1 [1,2] x   ， 2 [1,2] x   ，使 得 1 2 ( ) ( ) g x F x  ，求实数m 的取值范围. 2021 学年湖北省新高考联考协作体高一下学期期中考试 高一数学试卷答案 一、单选题二、多择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A A D C B AC BD ABC ABD 1、解析： 2 1 2 (1 2 ) 3 4 3 4 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 5 i i i i i i i            ，故选D. 2、解析：结合全称量词命题的否定形式知命题“ 0 x  ， 1 x e ”的否定是“ 0 x  ， 1 x e  ”，故选C. 3 、解析：当 0 c 时， 2 2 a b ac bc    ，又 2 2 ac bc a b    ，所以“ a b  ” 是“ 2 2 ac bc  ”的必要不充分条件，故选B. 4、解析：由a c   有： ( ,1) (2, 1) 2 1 0 a c x x        ，即 1 2 x  ，由b c   ∥ 有：2 1 y  ， 即 1 2 y  ，所以 1 ( ,1) 2 a   ， 1 (1, ) 2 b    ， 3 1 ( , ) 2 2 a b     ， 10 | | 2 a b     ，故选A. 5、解析：由 2 CN ND  � 有： 2( ) AN AC AD AN    � ，即3 2 AN AD AC AB AC     � ， 所以 1 1 3 3 AN AB AC   � ，即 1 3  .故选A. 6.解析：设树高为h，则 ( 3 1) tan30 tan 45 h h AB h       ， 所以 30 15 3 15 3 1 h     ，故选D 7.解析： 2 sin (1 sin 2 ) sin (sin cos ) sin (sin cos ) sin cos sin cos                    2 2 2 2 2 sin sin cos tan tan 6 sin cos tan 1 5                故选C. 8.解析：依据基本初等函数的图形变换，可画出 2 1 , 2, ( ) 3 , 2, 1 x x f x x x         图像如图，方程 ( ) f x k 有且仅有三个不等实根，即函数 ( ) y f x  与y k 图像有三个交点，易得0 1 k  ， 故选B. 三、填空题 13.3 14. 4 3 3 10  15.( , 1] [1, )    16. 13 13 13.解析： 2 2 log 6 3    ， 2 1 log 6 1 2    ，即 2 1 log 3 2   ，       2 log 3 2 2 2 log 6 log 6 1 log 3 2 3 f f f      . 14.解析： 5 6 6       ， 7 2 3 6         ， 4 sin( ) 3 5      ， 3 cos( ) 3 5      ， 4 3 3 cos cos ( ) cos( )cos sin( )sin 3 3 3 3 3 10                           15.解析：当 0 a 时， ( ) | | f x x  在区间(0,1]上单调递增，不合题意； 当 0 a  时， ( ) a f x x x   在区间(0, ] a 上单调递增，在区间[ , ) a 上单调递减，若 ( ) f x 在区间(0,1]上单调递减，则 1 a ， 1 a  ； 当 0 a  时， ( ) a f x x x   在区间(0, ] a  上单调递增，在区间[ , ) a  上单调递减，若 ( ) f x 在区间(0,1]上单调递减，则 1 a  ， 1 a   ； 综上， ( ,1] [1, ) a   16.解析：由已知， 2 AB ， 2 AN ， 60 BAC   ，得 2 BN ，又 1 ( ) 2 AM AB AC   � 得 2 2 1 | | | | 2 | || | cos60 | | 13 2 AM AB AB AC AC     � ，因为 1 3 BN AC AB   � ， 所以 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) | | | | | || | cos60 2 3 2 6 2 3 BN AM AC AB AB AC AC AB AB AC          �  所以 13 cos cos , 13 | || | BN AM MPN BN AM BN AM       � � � 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（1）由z R  知： 2 ( 2 2) 0 lg m m   ，即 2 2 2 1 m m   ，解得 3 m  或 1 m . （2）由题意知： 2 2 6 0 lg( 2 2) 0 m m m m          即 2 2 6 0 2 2 1 m m m m          ， 解得： 3 2 3 1 m m m         或 即1 2 m   ，故m 的取值范围是（1，2） 18.解：（1）由条件和正弦定理可得 2 2 2 2 b c a b a b     整理得 2 2 2 b a c ab    从而由余弦定理得 1 cos 2 C  ． 又∵C 是三角形的内角， 3 C    ． （2）由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 cos c a b ab C a b ab       ， 2 c   ， 2 2 4 2 a b ab ab ab ab        ， 4 ab   故 1 3 sin 3 2 4 ABC S ab C ab    △ ． 19 解：（1）由题意，函数 2 ( ) 3sin( ) 2cos 1 2 x f x x                3sin( ) cos( ) x x         2sin 6 x             因为函数 ( ) f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 2 ，所以，T   ，可得 2 . 又由函数 ( ) f x 为偶函数，所以 6 2 k        ，k Z  ， 因为0     ，所以 3   所以函数 ( ) 2sin 2 2 f x x          ，即 ( ) 2cos2 f x x  . （2）将函数 ( ) f x 的图像向右平移 6 个单位长度，可得 2cos 2 3 y x          的图像， 再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1 2 ，得到 ( ) 2cos 4 3 y g x x           的图像， 当 , 12 6 x          时， 2 4 , 3 3 3 x           ， 当 2 4 3 3 x     时，函数( ) g x 取得最小值，最小值为1  ， 当4 0 3 x   时，函数( ) g x 取得最大值，最小值为2， 故函数( ) g x 的值域[ 1,2]  ． 20.解：（1）因为半圆的直径 8 AB ，由题易知：又 ( 4,0) A  、 (4,0) B 又 4 OC ， 2 3 BOC    ，易得： ( 2,2 3) C  . （2）由（1）知， ( 2, 2 3) CA   � ， (6, 2 3) CB   � ，所以 3 1 ( 3, 3) 4 4 PA CA CB     � . 设PA � 与CB � 夹角为，则 3 1 cos 2 | || | 2 3 4 3 PA CB PA CB        � � ， 又因为 [0, ]    ，所以 2 3   ，即PA � 与CB � 的夹角为2 3 . （3 ）设 (0 1) OP tOC t   � ，由（1 ）知， ( 2,2 3) ( 2 ,2 3 ) OP t t t   � ， (2 , 2 3 ) PO t t   � ， (2 4, 2 3 ) PA t t    � ， 所以 2 2 2 1 2 (2 4) 12 16 8 16( ) 1 4 PA PO t t t t t t          � ， 又因为0 1 t ，所以当 1 4 t  时，PA PO  � 有最小值为1  ， 此时点P 的坐标为 1 3 , 2 2          . 21.解（1）由条件可得 2 2 sin sin(90 ) cos 3 BAC DAB DAB       ， 在 ABC △ 中， sin sin