湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期起点考试数学试题

湖北省新高考联考协作体2021-2022 学年高二上学期起点考 试 数学试卷 考试时间：2021 年9 月13 日 下午15:00-17:00 试卷满分：150 分 一、单项选择题（共8 小题，每小题5 分，共计40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．某校高一年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100 分）依次为84，78， 82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70 百分位数为（ ） A．86 B．84 C．96 D．89 3．设复数z 满足 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 4．若 ，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．掷两枚质地均匀骰子，设事件 “第一枚出现奇数点”，事件 “第二枚出现偶数 点”则A 与B 的关系为（ ） A．互斥 B．相互独立 C．对立 D．相等 6．如图，在平行四边形 中，M 是AB 的中点，DM 与AC 交于点N，设 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 7．设m、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，且直线 ，直线 ， 则下列说法中正确的序号是（ ） “ ① ”是“ ”的必要不充分条件；②“ ”是“ ”的既不充分也不必 要条件 “ ③ ”是“ ”的充要条件；④“ ”是“ ”的充分不必要条件 A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 8．在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓 球决赛采用7 局4 胜制．在决胜局的比赛中，先得11 分的运动员为胜方，但打到10 平以 后，先多得2 分者为胜方．在 平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1 个球． 若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为 ，樊振东发球时马龙得分的概率为 ， 各球的结果相互独立，在双方 平后，马龙先发球，则马龙以 赢下决胜局的概 率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共4 小题，每小题5 分，共计20 分．在每小题给出的四个选 项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有 错选得0 分） 9．下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ） A．样本 的标准差 B．样本 的中位数 C．样本 的极差 D．样本 的平均数 10．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 的部分图象如图所示，下列说 法正确的是（ ） A．函数 的周期为 B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 在 单调递减 D．该图象先向右平移 个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标 不变），可得 的图象 12．2021 年“奔跑吧·少年”孝感市青少年阳光体育系列赛事活动于2021 年6 月开赛，本 次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为 ，托盘由 边长为4 的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②，则下列结论正确 的是（ ） 图① 图② A．直线AD 与平面 所成的角为 B．直线 平面 C．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为 D．球上的点离球托底面 的最大距离为 三、填空题（共4 小题，每小题5 分，共计20 分．请把答案填写在答题卡相应 位置上） 13．若 ，则 的最小值为_________． 14．已知向量 ， ，若 ，则向量 与向量 夹角的余弦值 为_________． 15．在 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若 ， ，则 _________． 16．已知函数 （e 为自然常数， ）， ， 若 ，总 ，使得 成立，则实数a 的取值范围为_______ __． 四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10 分）袋子中有5 个大小形状质地完全相同的球，其中2 个白球（标号为1 和2），3 个黑球（标号为3、4 和5），从中不放回的依次随机摸出2 个球，设事件 “第一次摸到白球”，事件 “第二次摸到黑球”，事件 “两个球颜色相同”，事 件C 的对立事件为 （1）用集合的形式写出试验的样本空间 ，并求出 ． （2）求 和 ． 18．（本小题12 分）如图，在棱长为4 的正方体 中，设E 是 的中 点． （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． 19．（本小题12 分）2021 年3 月18 日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医 疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资 质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠 肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一 线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不 定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100 个，将其质量指标 值分成以下六组： ， ， ，…， ，得到如下频率分布直方 图． （1）求出直方图中m 的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数 （同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到 ）； （3）现规定：质量指标值小于70 的口罩为二等品，质量指标值不小于70 的口罩为一等品． 利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100 个口罩中抽出5 个口罩，其中一等品和二等品 分别有多少个． 20．（本小题12 分）在 中， ， ， 的外接圆半径 ． （1）若 ，求 及边长AB； （2）求 的取值范围． 21．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 平面 ， ． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，PB 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余 弦值． 22．（本小题12 分）已知二次函数 满足以下条件：①经过原点 ② ， ③函数 只有一个零点 （1）求二次函数 的解析式； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数m 的取值范围： （3）若函数 与 的图象有两个公共点，求 实数t 的取值范围． 湖北省新高考联考协作体2021-2022 学年高二上学期起点考试数学参考答案 一、单选题 1-4． BABC 5-8． BADC 1．B 因为 ， ， ，所以 ． 2．A 解：因为 ．所以这名学生七次月考物理成绩的第70 百分位数为86． 3．B 因为 ，所以 ， ． 4．C 对于A 选项，由于 在R 上递减，而 ，故 ，所以A 选项错误． 对于B 选项，由于x，y 可能是负数，故B 选项错误． 对于C 选项，由于 ，故 成立，所以C 选项正确． 对于D 选项，当 ， 时， ，但 ，所以D 选项错误． 5．B 解：对于A，C，因为事件A 和事件B 中有相同的样本点，如 ，所以这两个事件既不 互斥也不对立，所以AC 错误； 对于D，因为事件A 中含有事件B 中没有的样本点，如 ，所以两个事件不可能相等， 所以D 错误， 对于B，因为 ， ， ，所以 ，所 以事件A 和事件B 是相互独立事件． 6．A 解：依题意在平行四边形 中， ， 又M 是AB 的中点，DM 与AC 交于点N，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 7．D 线面垂直性质： 有 ，但 ，不能得出 ，①正确 时，根据线面平行性质的条件知m 若在平面 内，不能得出 ，反之 ， 内的直线也不一定与m 平行，即不能得出 ，既不充分也不必要，②正确 时，m、n 可能是异面直线，不一定平行， 时， 、 也可能相交，不一定平 行，③错误 两条直线垂直，这两条直线所在的平面可能相交，可以平行，不一定垂直，④错误 故①②两个是正确的 8．C 记甲为马龙，乙为樊振东 在比分为 后甲先发球的情况下，甲以 赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为： ②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为， 所以，所求事件概率为 ． 二、多选题 9．AC 10．BC 11．ABD 12．ACD 9．AC 由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 10．BC 对于A， 是偶函数，在 上是增函数，在 上是减函数，故A 不正确； 对于B，因为 ，其定义域为R，所以 是偶函数，且 时， 在 上是增函数，故B 正确； 对于C， 定义域为 ， ，所以 是偶函 数，且 时， 在 上是增函数，故C 正确； 对于D， 的定义域是 ，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，故D 不 正确． 11．ABD 由图像可知： ，周期 ，∴ ； 由 解得： 故函数 对于A： ，故A 正确； 对于B： 故B 正确； 对于C：当 时 ，所以 在 上不单调． 故C 错误； 对于D： 向右平移 个单位得到 ，再把横 坐标伸长为原来的2 倍，可得 的图象，故D 正确． 12．ACD 由平面 与平面 垂直知AE 在平面 内的射影是DE，所以 为直线AD 与平面 所成的角，此角大小 ，A 正确． 由 知，A，C，E，F 四点共面，而CF 与AE 不平行，故直线CF 与平面 不 平行，所以B 错误． 由上面讨论知AC 与MP 平行且相等，而MP 与NF 平行且相等，因此AC 与NF 平行且相等， 从而 是平行四边形， ，所以 是异面直线AD 与CF 所成的角（或 其补角）．由已知， ， ， ，C 正确； 由上面讨论知 ，设O 是球心，球半径为R， 由 得 ，则 是正四面体，棱长为1， 设H 是 的中心，则 平面 ，又 平面 ， 所以 ， ，则 ，又 ． 所以球离球托底面 的最大距离为 ，D 正确． 三、填空题 13． 14． 15．2 16． 13． ． 因为 ， ，最小值为 ． 14． 由 ，得 ，所以 ， ∵ ，∴ ，故 ． 15．2 由 ，及 ，解得 ，故 16． 设函数 、 的值域分别为集合A、B， 当 时， ，所以， 因为对任意的 ，总存在实数 ，使得 成立， 所以应有 ， 故当 显然不合要求． 当 时，在 上 符合要求． 当 时， 在 上递增， 所以 ，故 ． 综上， 四、解答题 17．（1）由题设可得 ， 中共有20 个基本事件． 3 分 C 中含有的基本事件为： ，共8 个基本事 件， 故 ， 5 分 （2） 中含有的基本事件为： 共14 个基本事件， ． 8 分 AB 中含有的基本事件为： ，共6 个基本事件， 故 ． 10 分 18．（1）连接 ，设 与 交于O，连接EO，因为 为平行四边形，所以 O 为 中点，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 6 分 （2）∵ ， 所以体积为 12 分 19．解：（1）由 ， 得 ． 2 分 （2）平均数为 ， 6 分 因为 ， ， 所以中位数在第4 组，设中位数为n，则 ， 解得 ． 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为 ． 10 分 （3）由频率分布直方图可知：100 个口罩中一等品、二等品各有60 个、40 个， 由分层抽样可知，所抽取的5 个口罩中一等品有： （个），二等品有： （个）． 所以抽取的5 个口罩中一等品有3 个，二等品有2 个． 12 分 20．解：（Ⅰ） ； 2 分 由正弦定理， ， 4 分 （Ⅱ）∵ ，由正弦定理可得 6 分， ∴ 8 分 ， 10 分 ∵ ，∴ ， ∴ ， 所以 的取值范围为 ． 12 分 21．（1）证明：因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为底面 为平行四边形，所以 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 平面 ； 4 分 （2）解：由（1）可知 ， 因为 ， ，所以 ， 因为 平面 ，所以DP 为BP 在平面 上的射影，所以PB 与平面 所成 角即为 ，因为PB 与平面 所成角的正弦值为 ，所以 6 分 以D 为坐标原点，DA，DB，DP 所在的直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如 图所示， 则 ， ， ， ， 所以， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 令 ， ， ，得面 的法向量 9 分 同理可得平面 的法向量 10 分 所以 ，因为二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 12 分 22．解： （1）由条件②可知 的对称轴为 ，由条件③可知 的最值为 ， 可设顶点式 ，再根据 ，解得 ， 故解析式为 ． 3 分 （2）若对任意 ， 恒成立，只需 在对任意 恒成立， 即求 在 的最小值即可， 5 分 令 ，则 ，令 ， 所以 ，所以 ． 7 分 （3）由函数 与 的图象有两个公共点，即 ，整理得 ．此方程有两个实数根， 8 分 令 ， ，由m 与x 的图像关系知，当 时，一个m 对应两个x， 则关于m 的方程 只有一个正实数根， 9 分 分为以下三种情况： 若 即 时， ，所以 ； 10 分 若 即 时，满足 只有一个正实数根，有两种情况， 有2 个相等的正实根或两异号根，即 或 解得 或 ， 综上所述，t 的取值范围是 ． 12 分