江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一上学期期中联合调研数学试卷

2022-2023 学年南京市第一学期六校联合体期中联合调 研 高一数学 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 命题“ ， ”的否定是 ( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 4. 设 ， ，则 = ( ) A. B. C. D. 5. 已知 均为实数，且 ，则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 6. 函数 的大致图象为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知关于 的不等式 的解集是 ， 则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. 8. 已知 是奇函数，且在 上是增函数，又 ，则 的解集为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9. 下列各组函数中是同一个函数的是 ( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题中正确的是 ( ) A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. D. 11. 已知命题p：函数 有零点，命题 ， . 若p，q 全为真命题，则实数a 的取值可以是 ( ) A. B. C. D. 12. 已知函数 是偶函数，且当 时， ， 关于 的方程 的根，下列说法正确的有 ( ) A．当 时，方程有4 个不等实根 B．当 时，方程有6 个不等实根 C．当 时，方程有4 个不等实根 D．当 时，方程有6 个不等实根 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13. 已知函数 ，则 ． 14. 若“ ” 是“ ” 的充分不必要条件，则实数 的取值范围 是 ． 15. 已知 ，且 ，则 的最小值为 ． 16. 函数 . (1) 若 ，则 ； (2) 若 是 上的减函数，则实数 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 17.（10 分） 已知全集 ，集合 ，集合 . (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围. 18.（12 分） 化简求值： (1) ； (2) . 19.（12 分） 已知二次函数 满足 ，且 . (1) 求 的解析式； (2) 解关于 的不等式 . 20.（12 分） 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， . (1) 求 的值； (2) 求函数 的解析式； (3) 判断函数 在区间 上的单调性，并证明． 21.（12 分） 2022 年8 月17 日，为进一步捍卫国家主权和领土完整，中国人民解放军东部战区继续 开展围绕某岛的军事演习，海陆空三军联手展开全域作战演练，各类现役主力装备悉数登 场，其中解放军长航时无人机远海作战能力再一次强力震慑住了敌对势力.例如两型侦察干 扰无人机可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的 电磁压制和干扰，甚至压制敌方的防空系统.为了检验实战效果，某作战部门对某处战场实 施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离的比值 成正比，比例系数为常数 .现已知相距36km 的 两处配置两架无人机干扰 源，其对敌干扰的强度分别为和 ，线段 上任意一点 处的干扰指数 等于   A C B  两机对该处的干扰指数之和，设 . (1) 试将 表示为 的函数，并求出定义域； (2) 当 时，试确定“干扰指数”最小时 所处的位置. 22.（12 分） 已知二次函数 . (1) 若关于 的不等式 对 恒成立，求 的取值范围； (2) 已知函数 ，若对 ， ，使不等式 成立，求 的取值范围. 2022-2023 学年南京市第一学期六校联合体期中联合调 研 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9. 10. 11. 12. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13. 14. （或 ） 15. 16. ， （或 ） 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 17.（10 分） 已知全集 ，集合 ，集合 . (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围. 解析：（1）集合 ， .....................................................1 分 当 时， ， ....................................................2 分 ....................................................2 分 （2）由题可知. ， ....................................................2 分 由 或 ...................................................2 分 解得 ， ...................................................1 分 18.（12 分） 化简求值： (1) ； (2) . 解析：（1）原式= ......................................6 分 （2）原式 ......................................6 分 19.（12 分） 已知二次函数 满足 ，且 . (1) 求 的解析式； (2) 解关于 的不等式 . 解：（1）设 ， 由 ，得 ................................1 分 又 ................................2 分 ................................3 分 （2）由已知， 即 ..............................1 分 ① 当 时 原不等式即为： ..............................1 分 ② 当 时 解为： ..............................2 分 ③ 当 时 解为： ............................. 2 分 综上，当 时，解为： 当 时，解为： 当 时，解为： 20.（12 分） 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， . (1) 求 的值； (2) 求函数 的解析式； (3) 判断函数 在区间 上的单调性，并证明． 解：(1)f(f(5))＝f(－f(－5))＝f(－5)＝5； ..........................2 分 (2)当x＞0 时，－x＜0，则f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x， ..........................2 分 又因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0． ..........................1 分 故f(x)＝ ..........................1 分 (3)由(2)可得g(x)＝＝，x∈(－∞，－3) g(x)在 上为减函数 .........................1 分 证明如下：设x1＜x2＜－3， 则g(x1)－g(x2)＝－＝，.........................3 分 又由3≤x1＜x2，则x1－x2＜0，9－x1x2＜0， 则g(x1)－g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，故g(x)在(－∞，－3)上为减函数．........................2 分 21、（12 分）2022 年8 月17 日，为进一步捍卫国家主权和领土完整，中国人民解放军东 部战区继续开展围绕某岛的军事演习，海陆空三军联手展开全域作战演练，各类现役主力 装备悉数登场，其中解放军长航时无人机远海作战能力再一次强力震慑住了敌对势力。例 如两型侦察干扰无人机可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌 方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌方的防空系统。为了检验实战效果，某作战部 门对某处战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强 度和距离的比值成正比，比例系数为常数k（k>0）。现已知相距36km的A 、B两处配置 两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为1和a（a>0），线段AB上任意一点C处的 干扰指数y等于两机对该处的干扰指数之和，设AC=x（km）. （1）试将y表示为x的函数，并求出定义域； （2）当a=4，k=1时，试确定“干扰指数”最小时C所处的位置. 解：（1）由题意，点C受A干扰指数为k x ，点C受B干扰指数为 ka 36−x ，其中k>0， 从而点C处干扰指数：y= k x + ka 36−x ， .........................................................4 分 又36−x>0❑ ⇒ 0<x<36 ， 故定义域为(0，36) .........................................................1 分 （2）当a=4，k=1时， y= 1 x + 4 36−x ¿ 1 36 [x+(36−x)]( 1 x + 4 36−x ) ¿ 1 36 (5+ 36−x x + 4 x 36−x ) ≥1 36 (5+2❑ √ 36−x x × 4 x 36−x ) ¿ 1 4 .........................................................4 分 当且仅当36−x x = 4 x 36−x 即x=12时，等号成立. .........................................................1 分 答：“干扰指数”最小时C所处位置在距离A点12km处. ..............................................1 分 22、（12 分）已知一元二次函数f ( x)=x 2−(a+1)x+a，a∈R （1）若关于x的不等式f ( x)≥−1对∀x∈(1,3¿恒成立，求a的取值范围； （2）已知函数g( x)=x−1，若对∀x1∈[0,1]，∃x2∈[−1,2]，使不等式g( x1)≥f ( x2) 成立， 求a的取值范围. 解：（1）由f ( x)≥−1❑ ⇒ a( x−1)≤x 2−x+1 令t=x−1，由x∈(1,3¿❑ ⇒ 0<t ≤2且x=t+1 ❑ ⇒ a≤t 2+t+1 t ， .......................................................2 分 令ℎ(t )=t 2+t+1 t ❑ ⇔ a≤ℎ(t )min 又ℎ(t )=t+ 1 t +1≤2❑ √t × 1 t +1=3 ......................................................2 分 当且仅当t=1 t 即t=1即x=2时，等号成立. ❑ ⇒ a≤3 .......................................................1 分 （2）原题等价于g( x)min≥f ( x)min 易知g( x)在[0,1]上单调递增❑ ⇒ g( x)min=−1 .......................................................1 分 而f ( x)=x 2−(a+1)x+a=( x−a+1 2 ) 2 + −a 2+2a−1 4 ❑ ⇒对称轴x=a+1 2 ①当a+1 2 ≤−1即a≤−3时 ❑ ⇒ f ( x)在[−1,2]上单调递增 ❑ ⇒ f ( x)min=f (−1)=2a+2≤−1 ❑ ⇒ a≤−3 2 ，又a≤−3 ❑ ⇒ a≤−3 .......................................................2 分 ②当−1< a+1 2 <2即−3<a<3时 ❑ ⇒ f ( x)min=f ( a+1 2 )=−a 2+2a−1 4 ≤−1 ❑ ⇒ a≤−1 或a≥3，又−3<a<3 ❑ ⇒ −3<a≤−1 .......................................................2 分 ③当a+1 2 ≥2即a≥3时 ❑ ⇒ f ( x)在[−1,2]上单调递减 ❑ ⇒ f ( x)min=f (2)=2−a≤−1 ❑ ⇒ a≥3 综上，a的取值范围为a≤−1或a≥3. ........................................................2 分