江西省南昌市2021-2022学年高一下学期期末调研检测数学试题

2021 级高一期末调研检测 数学 一.选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 若复数z 满足 （i 是虚数单位），则在复平面内z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若 ， ， 表示不同的平面，l 表示直线，则下列条件能得出 的是（ ） A. 内有无数条直线与 平行 B. ， C. ， D. ， 3. 在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 ，则 （ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 4. 如图，棱锥、棱柱、棱台的底面积和高均相等，分别为s，h，棱台上底面的面积为 ，现将装满水的棱 锥、棱柱、棱台中的水分别倒入底面积为s 的圆柱里，对应的水面高分别记为 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 5. 在等腰 中，若 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 某学生体重为 ，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为 （重力 加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的 斜边BC、直角边AB，AC.点E 在以AB 为直径的半圆上，延长BE，CA 交于点D，若 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知非零向量 ， ， ，下列有关向量的命题，不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 是 的充要条件 D. 若 ， ，则 10. 若复数 ， 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为4 C. D. 11. 如图，在单位正方体 中，M 为线段 上动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 与直线AC 所成角为60° B. 平面 C. 平面 D. 点 与点D 到平面 的距离相等 12. 汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图）， 证明了被称为几何学的基石——勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度得到如图所示的 一个“数学风车”，现以弦图的中心为坐标原点O，线段OA 在如图所示的x 轴上（其中有两“股”线延长交 x，y 轴分别为A，B），此“数学风车”绕点O 逆时针匀速旋转一周的时间为2 秒， ，分别用 ， 表示t 秒后A，B 两点的纵坐标，那么以下选项正确的有（ ） A. 函数 与 的 图象经过平移后可以重合 B. 函数 的最大值为2 C. 函数 图象的一个对称中心为 D. 函数 在 上单调递减 三.填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ，且直观图 的面积 为 ，则该平面图形的面积为______. 14. 已知点A，B，C 是球O 的小圆O'上的三点，若 ， ，则球O 的表 面积为______. 15. 已知函数 的 部分图象如图所示，则 ______. 16. 如图，在 中，D，E，F 分别在边BC，AB，AC 上，且 ，若 ， ，则 ______. 四.解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，已知 ， . （1）若 ，求 ； （2）若 的面积为 ，求c. 18. 如图，已知正四棱台 的侧棱与底面所成的角为 ，O 为下底面 的中心， . （1）证明： 平面 ； （2）求正四棱台 的体积. 19. 如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位： mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用 求刻画. （1）求此弹簧振子运动的 周期； （2）求 时弹簧振子所处的位置距离初始位置（ ）的距离是多少？ 20. 如图，直三棱柱 中， ， ，点E，F，G，H 分别是棱 ， BC， ，CA 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面BGH. 21. 人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或 者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似 度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点 ， ，曼哈顿距离 . 余弦相似度： . 余弦距离： . （1）若 ， ，求A，B 之间的 和余弦距离； （2）已知 ， ， ，若 ， ，求 的值. 22. 将圆锥侧面展开得到扇形AOB（图1），已知扇形AOB 的半径和面积分别为2， ，现要探究在该扇 形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.现有两个实验小组，他们分别采用两种 方案，方案一：如图2 所示，将矩形的一边CD 放在OA 上，另外两个顶点E，F 分别在弧AB 和OB 上；方 案二：如图3 所示，两个顶点D，E 在弧AB 上，另外两个顶点C，F 分别在OA 和OB 上. （1）求圆锥的体积； （2）比较两种方案，哪种方案更优？并谈谈两种方案的区别与联系. 2021 级高一期末调研检测 数学 一.选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 【1 题答案】 【答案】B 【2 题答案】 【答案】B 【3 题答案】 【答案】C 【4 题答案】 【答案】A 【5 题答案】 【答案】A 【6 题答案】 【答案】B 【7 题答案】 【答案】D 【8 题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 【9 题答案】 【答案】ABC 【10 题答案】 【答案】ABC 【11 题答案】 【答案】AB 【12 题答案】 【答案】AC 三.填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 【13 题答案】 【答案】8 【14 题答案】 【答案】 【15 题答案】 【答案】2 【16 题答案】 【答案】 四.解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【17 题答案】 【答案】（1） （2） 【18 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19 题答案】 【答案】（1） s （2） 【20 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【21 题答案】 【答案】（1） ，余弦距离等于 （2） 【22 题答案】 【答案】（1） （2）方案一更优，答案见解析