辽宁省辽南协作体2022-2023学年高一上学期期末数学试题

（北京）股份有限公司 2022—2023 学年度上学期期末考试高一试题 数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：辽阳市第一高级中学 审题人：瓦房店高中 第Ⅰ卷（选择题，共60 分） 一、单项选择题（本小题共8 小题，每小题5 分，共40 分，每小题只有一个选项符合要求） 1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2.对任意实数 ， ， ，下列命题中真命题是（ ） A.“ ”是“ ”的充要条件 B.“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件 C.“ ”是“ ”的充分条件 D.“ ”是“ ”的充分条件 3.若 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 4.某数学竞赛有5 名参赛者，需要解答五道综合题，这五个人答对的题数如下：3，5，4，2，1，则这组数据 的60%分位数为（ ） A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 5.函数 的反函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 6.在同一坐标系内，函数 和 的图象可能是（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7.已知 ，则（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本小题共4 道题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错误答案得0 分） 9.设 ， 是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ） A.若 ，则存在实数 ，使得 . B.若 ，则 . C.若 ，则 ， 反向. D.若 ，则 ， 一定同向 10.某校组织全体高一学生参加了主题为“青春心向党，奋斗正当时”的知识竞赛，随机抽取了100 名学生进 行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50 分至100 分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右 开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）（小数点后保留一位） （北京）股份有限公司 A.在被抽取的学生中，成绩在区间 内的学生有20 人 B.这100 名学生的平均成绩为84 分 C.估计全校学生成绩的中位数为86.7 D.估计全校学生成绩的样本数据的70%分位数为91.5 11.在边长为4 的正方形 中， 在正方形（含边）内，满足 ，则下列结论正确的是 （ ） A.若点 在 上时，则 B. 的取值范围为 C.若点 在 上时， D.当 在线段 上时， 的最小值为 12.已知函数 ，则（ ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 是单调增函数 D.若 ，则 ，或 第Ⅱ卷（选择题，共90 分） 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 已知 的取值范围为 （1 ） ______ ，（2 分）；（2 ）若 ，则 ______.（3 分） 14.已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范围是______. 15.在 中， ， ，若 （ ， 均大于0），则 的值为_ _____. 16.已知函数 ，（1）当方程 有三个不同的实根， ______，（2 分）. （北京）股份有限公司 （2）当方程 有四个不同的实根，且 ， ， ， ，满足 ，则 的值是_ _____.（3 分） 四、解答题（本题共6 小题，共70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（1）当 时，求 的值. （2）化简求值： . 18.为了更好了解新高一男同学的身高情况，某校高一年级从男同学中随机抽取100 名新生，分别对他们的身 高进行了测量，并将测量数据分为以下五组： ， ， ， ， 进行整理，如下表所示： 组号 分组 频数 第1 组 5 第2 组 35 第3 组 30 第4 组 20 第5 组 10 合计 100 （1）在答题纸中，画出频率分布直方图： （2）若在第3，4 两组中，用分层抽样的方法抽取5 名新生，再从这5 名新生中随机抽取2 名新生进行体能 测试，求这2 名新生来自不同组的概率. 19.已知向量 ， ，当 为何值时， （北京）股份有限公司 （1）求 和 （2） 与 平行？平行时它们是同向还是反向？ 20.设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数. （1）求实数 的值； （2）若 ， ，且 在 上的最小值为 ，求实数 的 值. 21.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简 单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数 （即： 图象连续且解集为实数），存在一个点 ， 使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 为该函数的一个不动点.现新定义：若 满 足 ，则称 为 的次不动点. （1）判断函数 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由. （2）已知函数 ，若 是 的次不动点，求实数 的值； （3）若函数 在 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数 的取值范围. 22.已知函数 （其中 ， ，且 ）的图象关于原点对称. （1）求 ， 的值. （2）当 时， ①判断 在区间 上的单调性（只写出结论即可）. ②关于 的方程 在区间 上有两个不同的解，求实数 的取值范围. （北京）股份有限公司 2022—2023 学年度上学期期末考试高一试题数学答案 一、单项选择题（本小题共8 小题，每小题5 分，共40 分，每小题只有一个选项符合要求） CBDBD；DAC 二、多项选择题（本小题共4 道题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错误答案得0 分） ACD；BC；AD；AC 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） ， ； ；15；0 或2，12； 四、解答题（本题共6 小题，共70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.[解析]（1）因为 ，所以 故答案为：0 5 分 （2）原式 10 分 18.[解析]（1）频率分布直方图如下图所示： 6 分 （2）因为第3，4 组共有50 名新生，所以利用分层抽样从中抽取5 名，每组应抽取的人数分别为：第3 组： 名，第4 组： 名，8 分 设第3 组抽取的3 名新生分别为 ， ， ，第4 组抽取的2 名新生分别为 ， . 从这5 名新生中随机抽取2 名新生，有以下10 种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 10 分 这2 名新生来自不同组的情况有以下6 种： ， ， ， ， ， ， （北京）股份有限公司 故所求的概率 . 12 分 19.【详解】（1）向量 ， ，∴ ， 3 分 ∴ ， 6 分 （2）若 与 平行，则 ，解之得 ， 10 分 这时 ，它们是反向. 12 分 20.【详解】（1）因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，所以 ，即 ， 当 时， 符合条件.2 分 （2）因为 ，所以 ， （舍）4 分 故 ， 令 ，因为 是单调递增函数，由 ，故 ， 所以 7 分 函数图象的对称轴为 ， ①当 时， ，解得 . ②当 时， ， 解得 ，不符合 . 11 分 综上， . 12 分 21.【解析】（1）依题意，设 为 的不动点，即 ，于是得 ，解得 或 （北京）股份有限公司 ，所以 是“不动点”函数，不动点是2 和 . 2 分 （2）因 是“次不动点”函数，依题意有 ，即 ，显然 ， 解得 ，所以实数 的值是 . 4 分 （3）设 ， 分别是函数 在 上的不动点和次不动点，且 ， 唯一， 由 ，得 ，即 ，整理得： ， 令 ，显然函数 在 上单调递增，则 ， ，则 ， 8 分 由 得： ，即 ，整理得： ， 令 ，显然函数 在 上单调递增， ， ，则 ， 综上得： ，所以实数 的取值范围 . 12 分 22. 【详解】（1 ）由题意知： ，整理得 ，即 ，对于定义域内任意 都成立， ∴ ，解得 或 . 4 分 （2）由 知： ，故 （北京）股份有限公司 ① ，由 ， 在 上均单调递增， ∴ 在区间 上的单调递增. 6 分 ②由①知 ，可得 ，即 在区间 上有两 个不同的解，令 ， 8 分 ∴ 当且仅当 时等号成立，而 在 上递减，在 上递增，且 时 . 11 分 ∴ . 12 分 （北京）股份有限公司