浙江省丽水市2021-2022学年高二上学期普通高中教学质量监控（期末）数学试题

P D C B1 D1 C1 A1 A B 丽水市2021 学年第一学期普通高中教学质量监控 高二数学试题卷 （2022.01） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6 页，满分150 分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题 卷和答题卷规定的位置上。 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。 选择题部分（共60 分） 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1．在平面直角坐标系中，直线经过点 ， ，则直线的斜率为 A． B． C． D． 2．在等差数列 中，若 ，则 A． B． C． D． 3．抛物线 的准线方程为 A． B． C． D． 4．如图，在长方体 中， 是线段 中点，若 ， 则 F E A C B S （第7 题 图） （第4 题 图） A． B． C． D．3 5．空间中两条不同的直线 ， 和平面 ，则下列命题中正确的是 A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 6．已知函数 的导函数 图象如图所示， 则函数 图象是 A. B. C. D. 7．已知三棱锥 中， ， 分别是 的中点， 则 与 所成的角大小为 A. B. C. D. 8．在数列 ， 中，满足 ，且 ， （第6 题 图） （第9 题图） （第12 题图) ） 若 ，则 A．5050 B．5100 C．10050 D．10100 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2 分） 9．如图，一缕阳光从圆形的窗孔射入，在水平地面上形成椭圆形光斑（轮廓为椭圆）， 若光线与水平地面所成的角为 ，则下列是说法正确的是 A．椭圆的离心率 B．椭圆的离心率 C．椭圆的离心率随 的增大而减小 D．椭圆的离心率随 的增大而增大 10．已知 是等比数列 的前 项和，且 ， ，下列结论一定成立的是 A．若 为偶数，则 B．若 为奇数，则 C．若 为偶数，则 D．若 为奇数，则 11．已知函数 的极大值点为 ，则 A. B. C. 若 ，则 D. 若 ， 则 12．如图，在正四棱柱 中， ， ， 是该正四棱柱表 面或内部一点，直线 ， 与底面 所成的角分别记为 ，且 ，记动点 的轨迹与棱 的交点为 ，则下列说法正确的是 A. 为 中点 B. 线段 长度的最小值为 C. 存在一点 ，使得 平面 D. 若 在正四棱柱 表面， 则点 的轨迹长度为 非选择题部分（共90 分） 三、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分） 13．已知 ，若 ，则 ▲ . 14．已知圆 与圆 ，则圆心距 ▲ . 15．我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即夹在 两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截 面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．在数学上运用祖暅原理推导球的体积公式 时，构造了一个底面半径与高都为 的圆柱内挖掉一个等高的圆锥的几何体（如图所 示），则该几何体的体积为 ▲ . 16．已知 ， 分别是双曲线 ， 的左、右焦点，双曲线上有一 点 ，满足 ，且 ，则该双曲线离心率 的取值范围是 ▲ . 17．在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡 （第15 题图） 献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030 年前达到峰值，努 力争取2060 年前实现碳中和．某地2020 年共发放汽车牌照12 万张，其中燃油型汽 车牌照10 万张，电动型汽车2 万张，从2021 年起，每年发放的电动型汽车牌照按前 一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5 万张，同时规定，若某年发放的 汽车牌照超过15 万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变。 那么从2021 年至2030 年这十年累计发放的汽车牌照数为 ▲ 万张． 18．已知函数 且 有两个不同的零点，则 的取值范围是 ▲ . 四、解答题（本大题共5 小题，共60 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题满分10 分）已知圆 的圆心为点 ，且与 轴相切. （Ⅰ）求圆 的方程； （Ⅱ）求直线 被圆 所截得的弦长． 20．（本题满分10 分）已知三棱柱 中， ， ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若二面角 的大小为 ， 求直线 与平面 所成角的大小． （第20 题图） （第 23 题 图） 21．（本题满分12 分）已知函数 ， ． 注： 2.71828 e  是自然对数的底数． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）记函数 的导函数为 ，求证： ． 22．（本题满分14 分）已知数列 是以为首项， 为公比的等比数列，数列 满足： 2 1  b ， ， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）（i）若 ，记 ，求数列 的前项和 ； （ii）若 ，证明： ． 23．（本题满分14 分）如图，椭圆 ： 的右焦点为 ) 0 , 3 ( F ，椭圆 ： ，椭圆 的切线MN 、 交椭圆 于 、 、 三点， 切点分别为 、 . （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）求证：点 是线段 的中点； （Ⅲ）求四边形 面积的最大值． 丽水市2021 学年第一学期普通高中教学质量监控 高二数学答案 （2022.01） 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D C B C A A B D ？ AD ABD BD 二．填空题 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题 19.解：（Ⅰ） 圆 的圆心为点 ，且与 轴相切， 圆 的半径圆 故圆 的方程为 ；…………………………………………4 分 （Ⅱ） 圆 的圆心 点 到直线 的距离为 所求的弦长为 .……………………………10 分 20.解：（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ， y x z N M D E F C B A N M D E F C B A G 三棱柱 中， ， 又 ， 在面 内的射影 在 上 ，又 ， 面 .……………………………………………………………………5 分 （Ⅱ）取 的中点 ，连接 ，由（1）知， ， 又 ， 是二面角 的平面角， . 设 ， 法一：如图建系， 有 ， 设面 的法向量为 ，则 ， 解得面 的一个法向量 所以 与面 所成角的正弦值为 , 所以 与面 所成角为 . 法二：过 作 于点 ，则 面 ， 是 与面 所成的角 在平行四边形 中， ， ， 中， ， 所以 与面 所成角为 .………………………………………………10 分 21.解：（Ⅰ） 单调递增； 单调递减； ………………………………………………………………6 分 （Ⅱ） 在 上单调递减，在 上单调递增 又 .……………………………………………………………………12 分 22. 解：（I） 数列 是以为首项， 为公比的等比数列 ，即 …………………………………………………4 分 （II）(i) ， 两边同时除以 ，得 ，又 数列 是以2 为首项，公差为1 的等差数列， ， ， ， ， 两式相减可得， ……………………………………………………………………9 分 (ii) 累加得， ， 时， ， 时， ， 综上，原不等式成立.……………………………………………………………………14 分 23.解：（I） ， ， ………………………………………3 分 （II）当直线 斜率存在时，设 ，与 联立 得 （*） 设 ， 当 时， ，即 ，易得 ， 从而点 是线段 的中点 当直线 斜率不存在时，易知点 仍是线段 的中点， 所以，点 是线段 的中点.………………………………………………………7 分 （III）由（II）易知，点 是线段 的中点， ， 当直线 斜率存在时 ，由（*）得， 当直线 斜率不存在时, ，此时， ， ，同理， 当 时， 的最大值为 .………………………………………14 分