福建省厦门市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

厦门市2021-2022 学年度第一学期高一年级质量检测 数学试题 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ， ，则p 的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一质点在半径为1 的圆O 上以点 为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动， 角速度为 ，5s 时到达点 ，则 （ ） A. -1 B. C. D. 5. 已知偶函数 在 上单调递增，且 ，则 的 解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 6. 心理学家有时用函数 测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200 个单词，此时L 表示在时 间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20 个单词，则k 的值约为（ ， ） A. 0.021 B. 0.221 C. 0.461 D. 0.661 7. C，S 分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对 取值的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中， 有多个选项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分． 9. 已知 ，则 的 值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，关于x 的不等式 的解集可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知a， ，则 的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 12. 函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数， 该结论可以推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．已知函数 ．（ ） A. 若 ，则函数 为奇函数 B. 若 ，则 C. 函数 的图象必有对称中心 D. ， 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 写出一个在区间 上单调递增的幂函数： ______． 14. 函数 的定义域为______． 15. 在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次 年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时 间，统计了连续400 天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负 值）．设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足 ，则一个回归年对应的天数约为______（精确到 0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4 个回归年后的春分日应该是星期______．（ ） 16. 1881 年英国数学家约翰·维恩发明了Venn 图，用来直观表示集合之间的关系．全集 ， 集合 ， 的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成 M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a 的取值范围是____ __． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 ， ，求 ，实数a 的取值范围． 18. 在① ；②函数 为偶函数：③0 是函数 的零点这三个条件 中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题． 问题：已知函数 ， ，且______． （1）求函数 的解析式； （2）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数 ． （1）若 ， ，求 ； （2）将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来 的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象．求函数 的单调递增区间． 20. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁 殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培 养时间 （单位：小时）的关系为： 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第 小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ① ，② ，③ ． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）利用 和 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第 小时开始， 至少再经过多少个小时，细菌数量达到 百万个． 21. 如图，点 ， ， 在函数 的图象上． （1）求函数 的解析式； （2）若函数 图象上的 两点 ， 满足 ， ，求四 边形OMQN 面积的最大值． 22. 已知函数 ， ． （1）若 ，解不等式 ； （2）若函数 恰有三个零点 ， ， ，求 的取值范围． 1【答案】C 2【答案】D 3【答案】A 4【答案】C 5【答案】B 6【答案】A 7【答案】B 8【答案】D 9【答案】AD 10【答案】BCD 11【答案】CD 12【答案】ACD 13【答案】x（答案不唯一） 14【答案】 15【答案】 ①. 365.25 ②. 四 16【答案】 17【答案】 解：因为 ，所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 又因为 ，所以 ．因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ．综上，实数a 的 取值范围是 ． 18【小问1】 解：若选条件①．因为 ， 所以 ，即 ． 解得 ．所以 ． 若选条件②．函数 的定义域为R．因为 为偶函数， 所以 ， ，即 ， ，化简得 ， ． 所以 ，即 ．所以 ． 若选条件③．由题意知， ， 即 ，解得 ．所以 ． 【小问2】 解：函数 在区间 上单调递增． 证明如下： ， ，且 ， 则 ． 因为 ， ， ，所以 ，即 ． 又因为 ，所以 ，即 ． 所以 ，即 ． 所以 在区间 上单调递增． 19【答案】（1） （2） 【小问1】 依题意， ． 因为 ，所以 ，所以 ． 从而 ． 【小问2】 将函数 的图象先向左平移 个单位长度，得到函数 的图象． 再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到函数 的图象． 令 ， 的单调递增区间是 ． 所以 ， ，解得 ， ． 所以函数 的单调递增区间为 ． 20【答案】（1） ，理由见解析； （2） ，至少再经过 小时，细菌数量达到 百万个． 【小问1】 解：依题意，所选函数必须满足三个条件： （ⅰ）定义域包含 ； （ⅱ）增函数； （ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小． 因为函数 的定义域为 ， 时无意义； 函数 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大． 函数 可以同时符合上述条件，所以应该选择函数 ． 【小问2】 解：依题意知 ，解得 ，所以 ． 令 ，解得 ． 所以，至少再经过 小时，细菌数量达到 百万个． 21【答案】（1） （2） 【小问1】 由图可知 的周期T 满足 ，得 ． 又因为 ，所以 ，解得 ． 又 在 处取得最小值， 即 ，得 ， 所以 ， ，解得 ， ． 因为 ，所以 ．由 ， 得 ，所以 ． 综上， ． 【小问2】 当 时， ， 所以 ．由 知 ． 此时 ． 记四边形OMQN 的面积为S，则 ． 又 ． 因为 ，所以 ，所以当 ， 即 时， 取得最大值 ． 所以四边形OMQN 面积的最大值是 ． 22【答案】（1） （2） 【小问1】 解：当 时，原不等式可化为 …①． （ⅰ）当 时，①式化为 ，解得 ，所以 ； （ⅱ）当 时，①式化为 ，解得 ，所以 ． 综上，原不等式的解集为 ． 【小问2】 解：依题意， ． 因为 ，且二次函数 开口向上， 所以当 时，函数 有且仅有一个零点． 所以 时，函数 恰有两个零点． 所以 解得 ． 不妨设 ，所以 ， 是方程 的两相异实根， 则 ，所以 ． 因为 是方程 的根，且 ， 由求根公式得 ． 因为函数 在 上单调递增， 所以 ，所以 ．所以 ．所以a 的取值范围是 ．