山东省淄博市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

2021-2022 学年度第一学期高二教学质量检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量   2,0,1 a   ，   3,1,4 b   ，则 2 a b    （ ） A.   4,2,7  B.   4, 2, 7    C.   4, 2,7  D.   4,2, 7  2. 已知直线1 l ，2 l ，1 l 的倾斜角为60°.若1 2 l l  ，则2 l 的斜率为（ ） A. 3 3  B. 3 3 C. 3  D. 3 3. “某彩票的中奖概率为 1 100 ”意味着（ ） A. 买100 张彩票就一定能中奖 B. 买100 张彩票能中一次奖 C. 买100 张彩票一次奖也不中 D. 购买彩票中奖的可能性为 1 100 4. 已知直线1 : 2 2 0 l mx y m    ，2 : 2 4 0 l x my   .若1 2 l l // ，则实数m （ ） A. 2  B. 2 C. 2  或2 D. 0 5. 如图，在四面体OABC 中，M 在棱OA 上，满足 2 OM MA  � ，N，P 分别是BC，MN 的 中点， 设OA a  � ，OB b  � ，OC c  � ，用a  ，b  ，c  表示OP � ，则（ ） A. 1 1 1 4 4 4 OP a b c    � B. 1 1 1 2 3 4 OP a b c    � C. 1 1 1 3 4 4 OP a b c    � D. 1 1 1 3 2 4 OP a b c    � 6. 已知椭圆   2 2 2 2 1 0, 0 2 2 x y a b a b     与双曲线 2 2 2 2 1 x y a b  有相同的焦点，则椭圆的离心率 为（ ） A. 3 3 B. 6 3 C. 3 2 D. 1 2 7. 在直三棱柱 1 1 1 ABC A B C  中， 90 BAC   ， 1 2 AB AC AA   ，则异面直线 1 AB 与 1 BC 所 成角的 余弦值为（ ） A. 5 5 B. 3 3 C. 3 4 D. 6 6 8. 已知：  0,4 A ，  0, 4 B  ，   4,0 C ，  0,2 E ，   0, 2 F  ，一束光线从F 点出发射到BC 上 的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点），则FD 斜率的取值范围是（ ） A. 1 , 4        B. 1 ,0 4        C. 1 , 8        D. 1 ,0 8        二､多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知曲线 2 2 1 mx y  （ ） A. 1 m  表示两条直线 B. 1 m  表示圆 C. 0 m  表示焦点在x 轴上的双曲线 D. 0 1 m   表示焦点在x 轴上的椭圆 10. 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面的法向量为   1,1,1 n   ，直线l 的方向向量为m � ，则下列 说法正确的是（ ） A. 若 1 1 , ,1 2 2 m         � ，则/ / l  B. 若   1,0, 1 m   � ，则l   C. 平面 与所有坐标轴相交 D. 原点O 一定不在平面 内 11. 已知圆   2 2 2 2 C x y    : ，点P 是圆C 上的一个动点，点  2,0 A ，则（ ） A. 2 3 2 AP   B. PAC  的最大值为3  C. PAC △ 面积的最大值为2 D. AC AP  � 的最大值为4 12. 抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A “至少一枚点数为1”，B “两枚骰子点数 一奇一偶”，C “两枚骰子点数之和为8”，D =“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正 确的有（ ） A. A B  B. B，D 为对立事件 C. A，C 为互斥事件 D. A，D 相互独 立 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点  4, 2,5  关于y 轴的对称点坐标为______. 14. 若点P 是抛物线 2 8 x y  上的动点，则点P 到点  4,0 A 的距离与到直线 2 y  的距离之和的 最小值是______. 15. 已知甲､乙两人定点投篮比赛，投中的概率分别为 1 2 和 3 4 ，若按甲､乙､甲､乙……的次序轮 流投篮，且每次投篮是否投中互不影响，直到有一人投中停止比赛，则甲投篮两次的概率是___ ___. 16. 已知双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y E a b a b    的 左焦点为 1 F ，过点 1 F 的直线与双曲线E 的两条渐 近线的交点M､N 位于y 轴左侧，满足 1 1 3 MF F N  � ，ON a �  ，O 为坐标原点，则双曲线E 的 渐近线方程为______. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知O 为坐标原点，  1 1 , A x y ，  2 2 , B x y 是直线l 与抛物线 2 : 4 C y x  的两个交点，满足 4 OA OB   � .试求 1 2 y y 的值，并证明直线l 恒过定点. 18. 已知四棱锥P ABCD  中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD， 2 PA AD  ， 1 AB  ，点M 在PD 上，且 3 BM  . （1）求 PM MD 的值； （2）求点B 到直线CM 的距离. 19. 1765 年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）在他的著作《三角形的几何学》中首次提 出著名的欧拉线定理：三角形的重心､垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧 拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.已知ABC  中，  2, 2 A   ，   0,4 B ，ABC  的欧拉线方程为 2 2 0 x y   . （1）求ABC  外接圆的标准方程； （2）求点C 到直线AB 的距离. 注：重心是三角形三条中线的交点，若ABC  的顶点为  1 1 , A x y ，  2 2 , B x y ，   3 3 , C x y ，则 ABC  的重心是 1 2 3 1 2 3 , 3 3 x x x y y y          . 20. 某游乐场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费， 超过半小时的部分每小时收费2 元（不足1 小时的部分按1 小时计算）.现有甲､乙两人在该停车 场临时停车，两人停车时间互不影响且都不超过2.5 小时. （1）若甲停车的时长在不超过半小时､半小时以上且不超过1.5 小时､1.5 小时以上且不超过2.5 小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲､乙两人停车 付费之和为4 元的概率； （2）若甲､乙停车半小时以上且不超过1.5 小时的概率分别为 1 4 ､ 1 3 ，停车1.5 小时以上且不超 过2.5 小时的概率分别为 5 12 ､ 1 6 ，求甲､乙两人临时停车付费不相同的概率. 21. 已知平面图形ABCDE（图1）中，AB ED ∥ ， 1 AE ED BC   ， 60 ABD EAB    ，BC BD  .沿BD 将 BCD △ 折起，使得点C 到F 的位置（如图2）， 满足 0 BF AE   � . （1）证明：平面ADF 平面BDF； （2）求平面AEF 与平面BCF 夹角的余弦值. 22. 如图，已知椭圆 2 2 : 1 4 x E y  的顶点 1 A ， 2 A ， 1 B ， 2 B 分别为矩形ABCD 的边 AD BC AB DC ， ， ， 的中点，点T R ， 分别满足 1 4 OT AB  � ， 1 4 CR CB  � ，直线 1 BT 与直线 2 B R 的交点为P . （1）证明：点P 在椭圆E 上； （2）设直线l 与椭圆E 相交于M，N 两点，PMN  内切圆的圆心为 1 O .若直线 1 PO 垂直于x 轴， 证明直线l 的斜率为定值，并求出该定值. 1【答案】B 2【答案】A 3【答案】D 4【答案】A 5【答案】C 6【答案】B 7【答案】A 8【答案】B 9【答案】BD 10【答案】C 11【答案】AC 12【答案】BC 13【答案】  4, 2, 5    14【答案】2 5 15【答案】 7 64 16【答案】 2 2 y x  17【详解】解：因为 4 OA OB   � ，所以 1 2 1 2 4 x x y y   ， 又因为 2 2 1 1 2 2 4 , 4 y x y x   ， 所以 2 1 2 1 2 4 4 y y y y        ，解得 1 2 8 y y  ， 下证直线l 恒过定点. 由题可知，直线l 不与y 轴垂直，设直线l 的方程为x my b   ， 由 2 4 x my b y x       得 2 4 4 0 y my b   ， 2 16 16 0 m b     所以 1 2 1 2 4 , 4 y y m y y b    ， 由 1 2 8 y y  得 2 b ， 所以直线l 的方程为 2 x my   ， 所以直线l 恒过定点 (2,0) 18【答案】（1）1 （2） 2 6 3 【小问1 详解】 以A 为原点建立空间直角坐标系如图所示： 则 (1 B ，0， 0) ， (0 P ，0， 2) ， (1 C ，2， 0) ， (0 D ，2， 0) ，  (1 PB  � ，0，2)  ， (0 PD  � ，2，2)  ， ( 1 CD  � ，0，0) ， 设 (0 PM PD    � ，2，2 )   ，则 ( 1 BM PM PB    � ，2，2 2 )   ，     2 2 1 2 2 2 3 BM        � ， 即 2 4 4 1 0    ， 1 2  ， ∴ 1 PM MD  【小问2 详解】 在棱CM 上取点N ，使得CM BN  ， 设 MN k MC ， [0 k  ，1]， 则MN kMC  � ，又   1,1, 1 MC   � ， ∴   , , MN k k k   � 故   1, 1,1 , BN BM MN k k k       � ， 因为CM BN  ， 则 1 1 1 0 MC BN k k k       � ， 解得 1 [0 3 k  ，1]， ∴ 2 4 2 , , , 3 3 3 BN        � ∴ 2 6 3 BN  � . ∴点B 到直线CM 的距离 2 6 3 . 19【答案】（1） 2 2 ( 2) 20 x y    （2）2 10 【小问1 详解】 解：由题知，边AB 的中点为  1,1  ，直线AB 的斜率为 4 ( 2) 3 0 ( 2) AB k     ， 所以边AB 的中垂线的方程为 1 1 ( 1) 3 y x    ，即 3 2 0 x y   ， 又因为ABC  的外心在其欧拉线 2 2 0 x y    上， 所以联立 3 2 0 2 2 0 x y x y         ，解得 2 0 x y      ，即ABC  的外心为  2,0 ， 所以ABC  外接圆的半径为 2 2 (2 2) 2 2 5 r     ， 所以ABC  外接圆的标准方程为 2 2 ( 2) 20 x y    【小问2 详解】 解：设点 ( , ) C a b ，则由（1）知 2 2 ( 2) 20 a b    ， 因为ABC  的重心 2 2 ( , ) 3 3 a b   在欧拉线 2 2 0 x y   上， 所以 2 2 2 2 0 3 3 a b      ，即 2 12 0 a b    所以 2 2 ( 2) 20 2 12 0 a b a b          ，解得 4 4 a b     ，即 (4, 4) C  又 3 AB k ，所以直线AB 的方程为3 4 0 x y   ， 所以点C 到直线AB 的距离为 2 2 | 4 3 4 4 | 2 10 1 3 d       20【答案】（1） 1 3 （2） 49 72 【小问1 详解】 解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，由题知   , 0,2,4 a b ， 所以两人停车费用的可能情况为(0,0),(0,2),(0,4),(2,0),(2,2),(2,4),(4,0),(4,2),(4,4) 共9 种， 其中，甲､乙两人停车付费之和为4 元的事件有(0,4),(2,2),(4,0) 所以甲､乙两人停车付费之和为4 元的概率为 3 1 9 3  . 【小问2 详解】 解：设甲、乙两人停车时长不超过半小时分别为事件 1 1 , A B ，停车的 时长在半小时以上且不超过 1.5 小时分别为事件 2 2 , A B ，停车的时长在1.5 小时以上且不超过2.5 小时分别为事件 3 3 , A B ， 则 1 2 3 1 5 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 4 12 3 P A P A P A      ， 1 2 3 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 , 3 6 2 P B P B P B      所以，甲乙两人临时停车付费相同的概率为 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B A B A B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B         1 1 1 1 5 1 23 3 2 4 3 12 6 72    ， 所以，甲乙两人临时停车付费不相同的概率为 23 49 1 72 72   21【小问1 详解】 ∵BC BD  ，∴ , BF BD  又∵ 0 BF AE   � ，∴ , AE BF  且AE 与BD 相交， ∴BF 平面ABDE，又AD 平面ABDE， ∴ , BF AD  由图1 知AB ED ∥ ， 1 AE ED  ， 60 ABD EAB    ， ∴ 120 AED EDB     ，∴ 30 EDA    ， 即 90 ADB    ， ∴AD BD  ， 又BF BD B   ， ∴AD 平面BDF，又AD 平面ADF， ∴平面ADF 平面BDF； 【小问2 详解】 以B 为坐标原点，BC ，BD ， BF 所在直线为x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴        3 3 3,1,0 , , ,0 , 1,0,0 , 0,0,1 , 0,1,0 2 2 A E C F D           ，   3 1 3, 1,1 , , ,0 , 2 2 AF AE           � ， 设平面AEF 的一个法向量为 ( m x  � ，y ，) z ， 则 0 0 AF m AE m      �  �  ，即 3 0 3 0 x y z x y           ， 令 3 x  ，则 3, 6 y z   ， ∴ ( 3 m  � ，3  ，6)  ， 易知平面BCF 的一个法向量为 (0 n   ，1，0) 设平面AEF 与平面BCF 所成的夹角为 ， 则 3 0 3 1 6 0 cos cos , 3 9 36 0 1 0 3 4 m n n m m n                  ， 故平面AEF 与平面BCF 所成的夹角的余弦值为 3 4 ． 22【小问1 详解】 解：由题知： 1 2 1 (1,0), 2, , (0, 1), (0,1) 2 T R B B        ， 则直线 1 BT 的方程为： 1 0 x y   ，直线 2 B R 的方程为： 4 4 0 x y   ， 解方程组 1 0 4 4 0 x y x y         ，得 8 3 , 5 5 P     ， 因为 2 2 8 3 5 1 4 5              ， 所以点P 在椭圆E 上. 【小问2 详解】 解：由题知，直线l 的斜率存在且不为0 ，设直线l 的方程为 y kx m   ， 联立 2 2 4 4 x y y kx m        得 2 2 2 (1 4 ) 8 4 4 0 k x kmx