山东省师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含答案【KS5U 高考】

1 山东省师范大学附属中学2020 级2021-2022 学年10 月质 量检测数学学科考试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4 页,满分为150 分,考试用时120 分钟. 注意事项： 1．答卷前,考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写 在规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3．第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、 修正带和其它笔. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的） 1.空间直角坐标系下，点 关于 轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.直线 的一个方向向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3.如图，四面体 - , 是底面 的重心， ， 则 （ ） A． B． C． D． 4. 已知直线 与 平行，则 的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角为（ ） A． B． C． D． 6.一条光线从点 射出，与直线 交于点 ，经直线反射，则 反射光线所在直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 7.已知空间三点 ，则以 为邻边的平行四边形面积 2 为（ ） A. B. C. D. 8. 两条异面直线 所成的角为 ，在直线 上分别取点 和点 ，使 ，且 .已知 ，则线段 的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题（本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项 是符合题目要求的,全部选对的得5 分,有选错的得0 分,部分选对的得2 分） 9.下列说法中，正确的是（ ） A. 直线 在 轴上的截距为 B. 直线 的倾斜角为 C. ， ， 三点共线 D. 过点 且在 轴上的截距相等的直线方程为 10. 已知空间三点A(−1,0,1),B(−1,2,2),C(−3,0,4),则下列说法正确的是（ ) A. ⃗ AB //⃗ AC B. ⃗ AB⋅⃗ AC=3 C.|⃗ BC|=2√3 D. 11．给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算： ．规定： ① 为同时与 ， 垂直的向量；② ， ， 三个向量 构成右手系（如图1）；③ ． 如图2，在长方体 中， 则下列结论正确的是（ ) A． B． C． D． 12．如图，在正方体 中， ， 为棱 上的动点，下面说法正 确的是（ ） A. 与平面 所成角的正弦值的范围为 B. 当点 与点 重合时， 平面 C. 当点 与点 重合时，若平面 //平面 ，则平面 截该正方 3 体所得截面面积最大值为 D.当点 为 的中点时，若平面 与 交于点 ，则 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共4 个小题,每小题5 分,共20 分） 13.已知 ， ，且 ，则 的值是_________. 14.若直线沿 轴向右平移2 个单位长度，再沿 轴向上平移1 个单位长度后，回到原来 的位置，则直线的斜率为_________. 15.已知 ,动直线 过定点 ，则点 坐标为_________；直 线 ，若 ， 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则 _________.（第一个空2 分,第二个空3 分） 16.如图，在正四棱锥 中， 分别为侧棱 上的 点， 四点共面，若 ，则 _________. 四、解答题（本题共6 个小题,共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤） 17.（10 分） 的三个顶点是 ， ， ，求 （1）经过点 ,且平行于过 和 两点的直线的方程； （2）边 的垂直平分线的方程. 18. （12 分）在平行六面体 中，底面 是边长为1 的正方形， ， . （1）求侧棱 的长； （2） 分别为 , 的中点，求 19.（12 分）如图，在直棱柱 的底面 中， ， ，棱 ，以 为原点，分别 以 ， ， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角 坐标系 （1）求平面 的一个法向量； （2）求点 到直线 的距离. 20. （12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为平 行四边形， 侧面 底面 ．已知 ， ， ， ． 4 （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 21. （12 分）如图， 是半径为的半圆， 为直径，点 为 的中点，点 和点 为线段 的三等分点，平面 外 一点 满足 ， ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）已知点 为线段 上的点， ， ，求直线 与平面 的距离． 22．（12 分）如图1，已知正方形 的边长为 ， 分别为 ， 的中点， 将正方形 沿 折成如图2 所示的二面角，且二面角的大小为 ，点 在线段 上(包含端点)运动，连接 . 图1 图2 （Ⅰ）若 为 的中点，直线 与平面 的交点为 ，试确定点 的位置， 并证明直线 ∥平面 . （Ⅱ）是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求此时 平面 与平面 的夹角的余弦值；若不存在，请说明理由. 2020 级2021-2022 学年10 月质量检测数学学科考试题答 案 1-5.CDBCA 6-8.DCB 9.BC 10.BCD 11.ACD 12.ABD 13. 14. 15. , 16.3 5 17.解：（1） 由点斜式得 ，化简得 法2： 由两点式得 ，化简得 设过A 点且平行于过B、C 两点的直线方程为 带入 得 所以 （2）设B、C 中点为O，则 由（1）知， ，所以BC 垂直平分线的斜率为 所以BC 垂直平分线的方程为 ，化简得 18.解：(1)设 ，则， 作为一组基底. , , (2) 19.解：（1）由题意可知 故 设 为平面 的法向量，则 ， 令 ，则 （2） , 的单位方向向量为 6 又 , 所以，点 到直线 的距离 = 20. 法一： （Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ， 得 平面 ． 因为 ，所以 ． 又 ， 为等腰直角三角形， ．....................................3′ 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，.....................4′ ， ， ， ，................................................5′ ， ， ， 所 以 ．................7′ （Ⅱ）取 中点 ， ， 连结 ，取 中点 ，连结 ， ． ， ， ． ， ， 与平面 内两条相交直线 ， 垂直． 所以 平面 ， ........................ ........................................................10′ ， ． ，.........................................................................11′ 设 与平面 所成的角记为 ， . 即 与平面 所成的角的正弦值为 . ...........................12′ 法二： （Ⅰ）取BC 中点 ，连结 因为 ，△ABC 为等腰直角三角形， ，................................1′ 由侧面 底面 ，AO⊥SO 由△SOA≌△SOB， BC⊥SO，.....................................................................................3′ 则BC⊥面SOA， ...........................................................................................................5′ 7 BC⊥SA. .........................................................................................................................6′ （Ⅱ）如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，..........7′ ， ， ， ，D.................8′ ， 所以面SAB 的法向量．................................10′ 设 与平面 所成的角记为 ， . 即 与平面 所成的角的正弦值为 . .................................12′ 21.证明：（1）∵E 为圆弧AC 中点 且 △AEC 为等腰直角三角形 AC 中点 ∴ （2） FBD △ 为等腰直角三角形 又C 为中点 以C 为原点，以平行于BE 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CF 所在直线为z 轴。建 立空间直角坐标系。 .................................. 6 分 B（0,-1,0）,D（0,1,0）,E（1,-1,0），R（0,） B 到面RQD 的距离为BE 为BE 到面RQD 的距离 =（0，，） .................................. 8 分 设面RQD 法向量 令z =5 =(0,2,5） .................................. 10 分 d=== .................................. 12 分 22. 解：(1)因为直线MF⊂平面ABFE，故点O 在平面ABFE 内，也在平面ADE 内，所以点 O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线(即直线AE)上，延长EA，FM 交于点O，连接OD，如 图所示． 8 因为AO∥BF，M 为AB 的中点，所以△OAM △ ≌FBM，所以OM＝MF，AO＝BF＝2. ……………………1 分 故点O 在EA 的延长线上且与点A 间的距离为2. ……………………2 分 连接DF，交EC 于点N，因为四边形CDEF 为矩形， 所以N 是EC 的中点． 连接MN，则MN 为△DOF 的中位线，所以MN∥OD， ……………………4 分 又MN⊂平面EMC，OD⊄平面EMC，所以直线OD∥平面EMC. …………………5 分 (2)如图，由已知可得EF⊥AE，EF⊥DE，又AE∩DE＝E，所 以EF⊥平面ADE， 所以平面ABFE⊥平面ADE. 易知△ADE 为等边三角形，取AE 的中点H，连接DH，则易得 DH⊥平面ABFE.以H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系， …………………………6 分 则E(－，0，0)，D(0，0，)，C(0，2，)，F(－，2，0)，所以ED＝(，0，)，EC＝(， 2，)． 设M(，a，0)(0≤a≤4)，则EM＝(，a，0)． 设平面EMC 的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 取y＝－，则x＝a，z＝4-a，所以m＝(, 4-a)为平面EMC 的一个法向量． …………………………8 分 要使直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则|cos〈DE，m〉|＝＝， 即＝，整理得4a2－8a＋3＝0， 解得a＝或a＝， …………………………9 分 所以存在点M，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°. 取ED 的中点Q，连接QA，则QA为平面CEF 的一个法向量，易得Q，0，，A(，0， 0)，所以QA＝，0， 法向量n=（ …………………………10 分 设平面MEC 与平面ECF 的夹角为θ， 9 当a＝时，m=（ cosθ＝=，……………………11 分 当a＝时，m=（ cosθ＝ …………………………12 分 综上，平面MEC 与平面ECF 的夹角的余弦值为.