贵州省凯里市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷

高二数学试卷 第1页（共6 页） 秘密★考试结束前 凯里一中2022—2023 学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求．） 1．已知集合   | 1 , A x x     | 1 1 B x x    ，则A B   A．  | 1 1 x x   B．  | 1 1 x x   C．  | 1 1 x x   D．  | 1 x x  2．复数 2 1 i z   ，则z  A． 2 2 B． 2 C．1 D．2 3．已知双曲线 2 2 : 2 2 C x y   ，则双曲线C 的焦距是 A． 6 2 B．3 C．6 D．2 3 4．已知 3 1 , log 2, lg3 2 a b c    ，则下列正确的是 A．b a c   B．b c a   C．c b a   D．a b c   5． 已知 ABC  的内角 , , A B C 的对边分别为, , a b c ，ABC  的面积为 3 ， 60 A  ， 2 2 3 b c bc   ， 则a  A．2 B．2 2 C．4 D．16 6．已知等比数列 n a 的前n 项和为 n S ，且公比 0 q  ， 2 4 2 3 3 = 2 8 S S S   ， ，则 4 a  A．1 B．1 2 C．1 4 D．1 8 高二数学试卷 第2页（共6 页） 第8 题图 7．已知圆 2 2 1 : 1 C x y   与圆     2 2 2 2 : 2 2 ( 1) C x y r r      有两个交点，则r 的取值范围是 A．  1 2 1  ， B．  2 2 1 2 2 1   ， C．1 2 1  ， D．2 2 1 2 2 1       ， 8．如图，在平面四边形ABCD 中， , , 30 AD CD AC BC DAC BAC      ，现将ABC  沿AC 折起， 并连接BD ， 使得平面ACD 平面ABC ， 若三棱锥D ABC  的体积为 3 8 ， 则三棱锥D ABC  外接球的体积为 A．4 3  B．3 2  C．3 D．4 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选 项是符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分．） 9．下列叙述不正确的是 A．若 0  b a ，则 2 2 a b  B．“ a b  ”是“ln ln a b  ”的充分不必要条件 C．命题 2 : , 0 p x R x   ，则命题p 的否定： 2 , 0 x R x   D．函数 4 ( ) f x x x   的最小值是4 10．已知直线: cos + 3 2 0 ( ) l x y R      ，则下列说法正确的是 A．直线l 倾斜角的取值范围是0, 6        B．直线l 在y 轴的截距为 2 3 3  C．当 3   时，直线l 与圆 2 2 : 1 C x y   相离 D．直线l 与直线 3 cos 1 0 x y    垂直 全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》 高二数学试卷 第3页（共6 页） 11．函数 ( ) sin( ) cos( ) ( 0, ) 2 f x x x              的最小正周期为π，且函数 ( ) f x 的图象过 点       2 , 2  ，则下列正确的是 A．函数  f x 在0, 2        单调递减 B． , 2 2 x R f x f x                   C．满足条件   ( ) 1 0 f x f x   的最小正整数x 为1 D．函数 2 g x f x          为奇函数 12．如图，在棱长为2 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，点P 满足 1 1 1 D B P B   ，其中   1 , 0   ，则下列结 论正确的是 A．有且仅有一点P ，使得BD 1 A P  B． 1 A BP  的周长与的大小有关 C．三棱锥 1 P A BD  的体积与的大小有关 D．当 1 = 2  时，直线 1 A P 与平面 1 A BD 所成的角的正弦值为 6 3 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．） 13．已知向量   1,2  a ，     2,1 , 1,3   b c ，若   / / t c a + b ，则t ____________． 14．已知函数    2 log 1 , 0 tan , 0 4 x x f x x x                ，则     7 f f  ____________． 15．已知定义在R 上的函数 ) (x f 满足下列条件： ①函数 ) (x f 的图象关于y 轴对称； ②对于任意 ) ( ) 1 ( , x f x f R x     ； ③当   1 , 0  x 时， x x f  ) ( ； 若函数 0 ( , log ) ( ) (    a x x f x F a 且 ) 1  a 有6 个零点，则a 的取值范围是____________． 第12 题图 高二数学试卷 第4页（共6 页） 16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得 到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内 放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切， 设图中球 1 O ，球 2 O 的半径分别为4 和1，球心距 6 2 1  O O ,截面 分别与球 1 O ，球 2 O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点）， 则此椭圆的离心率等于____________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10 分） ABC  的内角 , , A B C 的对边分别为, , a b c ，且 2cos 1 c A b  ． （1）若 6, 2 a b   ，求c 的值； （2）若 0 CA CB      ，求角B ． 18．（本小题满分12 分）已知数列  n a 满足 1 2 2 ( ), 3 n n a a n N a      ． （1）求数列  n a 的通项公式 n a ； （2）令 1 1 n n n b a a   ，求数列 n b 的前n 项和 n S ． 第16 题图 高二数学试卷 第5页（共6 页） 19.（本小题满分12 分）凯里市2020 年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组 举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400 份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成 绩均为不低于40 分的整数）分成六段：     40,50 , 50,60 , , 90,100  ，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值，并估计知识竞赛成绩的第80 百分位数； （2）现从该样本成绩在  50 , 40 与  60 50， 的市民中按分层抽样选取6 人，求从这6 人中随机选取2 人， 且2 人的竞赛成绩来自不同组的概率． 20．（本小题满分12 分）如图所示，直三棱柱 1 1 1 ABC A B C  的底面是边长为2 的正三角形，且直三棱柱 1 1 1 ABC A B C  的体积为2 3 ，点E 为 1 AA 的中点． （1）证明： 1 BC 平面 1 EB C ； （2）求平面 1 C EB 与平面EBC 夹角的余弦值． 高二数学试卷 第6页（共6 页） 21．（本小题满分12 分）设函数  ( , 0 x x f x a a x R a      且 1) a  ． （1）若 (1) 0 f  ，且不等式 ( 1) ( ) 0 f tx f x    在区间  0,2 恒成立，求实数t 的取值范围； （2）若 3 (1)= 2 f ，函数 2 2 ( ) 2 ( ) x x g x a a mf x     在区间  ,1  上的最小值为2 ，求实数m 的值． 22．（本小题满分12 分）抛物线 2 : 2 ( 0) C y px p   上的点 0 (1, ) M y 到抛物线C 的焦点F 的距离为2 ， , A B （不与O 重合）是抛物线C 上两个动点，且OA OB  ． （1）求抛物线C 的标准方程及线段AB 的最小值； （2）x 轴上是否存在点P 使得 2 APB APO   ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．