浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)

（北京）股份有限公司 2022 学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测 数学试题（A 卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。 考生注意： 1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上。 2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改功，须将原填涂处用橡皮擦净。 3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题卷上无效。 选择题部分 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知 是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知空间的三个不共面的单位向量 ， ， ，对于空间的任意一个向量 ，（ ） A．将向量 ， ， 平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上 B．总存在实数x，y，使得 C．总存在实数x，y，z，使得 D．总存在实数x，y，z，使得 3．已知函数 在 的附近可导，且 ， ，则 在 处的切线 方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆 的焦点为 ， ，且c 是a，b 的等比中项，则在椭圆上 使 的点P 共有（ ） A．0 个 B．2 个 C．4 个 D．8 个 （北京）股份有限公司 5．已知 是公差不为0 的等差数列， 是其前n 项和，则“对于任意 ，都是 ”是“ 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （北京）股份有限公司 6．已知椭圆 ： ，椭圆 与椭圆 的离心率相等，并且椭圆 的短轴端点就是椭圆 的长轴 端点，据此类推：对任意的 且 ，椭圆 与椭圆 的离心率相等，并且椭圆 的短轴端点就 是椭圆 的长轴端点，由此得到一个椭圆列： ， ， ， ，则椭圆 的焦距等于（ ） A． B． C． D． 7．正三棱柱 中， ， ，O 为BC 的中点，M 是棱 上一动点，过O 作 于点N，则线段MN 长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知a，b 为不相等的正实数，则下列命题为真的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 二、选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．设直线 ： ， ： ，下列说法正确的是（ ） A．当 时，直线 与 不重合 B．当 时，直线 与 相交 C．当 时， D．当 时， 10．已知空间向量 ， ，下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 在 上的投影向量为 ，则 D．若 与 夹角为锐角，则 （北京）股份有限公司 11．如图，已知点P 是椭圆 上第一象限内的动点， ， 分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y 轴上的动圆T 始终与射线 ， 相切，切点分别为M，N，则下列判断正确的是（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． 面积的最大值为 D．当点P 坐标为 时，则直线PT 的斜率是 12．已知数列 的前n 项和为 ， ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 非选择题部分 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．已知圆 与圆 内切，则有序实数对 可以是______．（写出一 对即可） 14．11 世纪，阿拉伯数学家阿尔•卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如图所示），据 此可知： ______． 15．已知点 在抛物线 上，B，C 是抛物线上的动点且 ，若直线AC 的斜率 ，则点B 纵坐标的取值范围是______． （北京）股份有限公司 16．四面体ABCD 中， ，二面角 的大小为 ，则四面体ABCD 外接 球体积的最小值为______． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． （北京）股份有限公司 17．（本小题满分10 分）已知点 及圆C： ． （Ⅰ）求过P 且与圆C 相切的直线方程； （Ⅱ）以PC 为直径的圆交圆C 于A，B 两点，求 ． 18．（本小题满分12 分）已知数列 满足： ， （ ） （Ⅰ）写出 ， ，并求 的通项公式； （Ⅱ）若数列 （ ），求数列 的前n 项和 ． 19．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥 中，底面ABCD 为正方形，二面角 为直二 面角． ， ，M，N 分别为AP，AC 的中点． （Ⅰ）求平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值； （Ⅱ）若平面 平面 ，求点A 到直线l 的距离． 20．（本小题满分12 分）广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由 一个双曲面和上下两个圆面围成的．其中双曲面的构成原理如图所示：圆 ， 所在的平面平行， 垂 直于圆面，AB 为一条长度为定值的线段，其端点A，B 分别在圆 ， 上，当A，B 在圆上运动时，线段 AB 形成的轨迹曲面就是双曲面．用过 的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称 之为截面双曲线． 已知主塔的高度 ， ，设塔身最细处的圆的半径为 ，上、 下圆面的半径分别为 、 ，且 ， ， 成公比为 的等比数列． （北京）股份有限公司 （Ⅰ）求 与 的夹角； （Ⅱ）建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程． 21．（本小题满分12 分）已知F 是双曲线C： 的右焦点，过F 的直线l 交双曲线右支于P，Q 两 点，PQ 中点为M，O 为坐标原点，连接OM 交直线 于点N． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）设 ，当 时，求三角形 面积S 的最小值． 22．（本小题满分12 分）已知函数 ， ，其中 ． （Ⅰ）当 时，证明： ； （Ⅱ）若 对任意的 恒成立，求k 的取值范围。 2022 学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测 数学试题（A 卷）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 （北京）股份有限公司 求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D D A C A B B B （北京）股份有限公司 二、选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出得选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 题号 9 10 11 12 选项 BD ABD AD AD 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．答案不唯一，只要 ， 且 即可。 14．2025 15． 16． 17．高二数学A 卷B 卷第17 题评分标准（本小题满分10 分） 答：（Ⅰ）圆心 ， 当k 不存在时， ，符合题意． 当k 存在时，设直线方程为 ，即 ，所以 ∴ ，即 综上所述，切线方程为 或 （说明：如果答案错误，出现点到线的距离公式，给2 分） （Ⅱ）以PC 为直径的圆的方程为 所以AB 直线方程为 所以C 到直线AB 的距离为 ∴ 18．解答：（Ⅰ）由条件代入计算得： ， 当 时，由 ，得 （北京）股份有限公司 ，又 ，得 ， 综上， ， ， 的通项公式为： （北京）股份有限公司 （Ⅱ）由 ，得 相减得 得 19．解答（Ⅰ） ∵ ， ，∴ ∵面 面ABCD 又底面ABCD 为正方形 ∴ ， ， ∴ 面PBC， 面PBC，∴ 作 ， ，连接MF，ND ∴四边形ABPF 为矩形 ∵M、N 分别为AP 和AC 的中点 ∴B、M、F 三点共线，B、N、D 三点共线，∴ 面CDFP ∴ 就是所求的角， ∵ ， ，∴ ∴ ∴平面BMN 与平面PCD 夹角的余弦值为 ； （说明：有简要的说明补体理由给3 分，找到角给2 分，最后答案2 分） （北京）股份有限公司 解答（Ⅱ） ∵四边形ABPF 为平行四边形，∴ 又∵ 面CDFP，∴ 面CDFP 又面 面 ∴A 到直线l 的距离 ． （说明：找到交线给3 分，答案2 分） （北京）股份有限公司 20．解答：（Ⅰ）过A 做 圆面 于点 ，连接 ，则有 在圆面 上，过 做 于点H， 根据题意： ， ， 所以 所以 与 的夹角为 【答案对，辅助线说明不完整给5 分；3 个半径各1 分，能在图中找到半径就可以给分】 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， ， 又∵在直角 中， 所以 ， 解得 ，所以 以塔身最细处的圆的圆心为原点O，以 所在直线为y 轴，以圆O 的一条平行于 的直径所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的顶点坐标为 ，设双曲线方程为： 设 ，如图，根据相似性： ， 得： 即 代入双曲线方程得： ，解得： 所以双曲线的渐近线方程为 ． （北京）股份有限公司 21．解答：（1）设PQ 的方程为 ，设 ， ， 由 得 ， ， ， ，得 ∴ ，得直线OM 的方程为 ，从而得 由 ， ， 得 ，故 （Ⅱ）因直线PQ 与双曲线右支交于两点，得 由 ， ，得 又因 ，得 ， ， （北京）股份有限公司 得 ，又因 得 ， ， （北京）股份有限公司 由 ， ， 不妨设 令 ， 在该区间内单调递增 故， 22．解：（Ⅰ） 等价于证明： 因为 所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 得证． （Ⅱ）题目等价于：对任意的 ， 恒成立 ，记 ①当 时， 所以 在 单调递减， ，成立． ②当 时， ，记 因为 关于 单调递减，且 ， ， ，所以存在 ， 使得 ，且 在 单调递增，在 单调递减．又因为 ， ，必存在 ，使得 在 单调递减，在 单调递增， （北京）股份有限公司 且 ，所以 在 时恒小于零，不符合题意． 综上①②：