吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第三学程考试（期末）数学试卷

长春市十一高中2021—2022 学年度高二上学期第三学程考试 数 学 试 题 注意事项：1.本试卷共22 小题，满分150 分. 2.考试时间120 分钟. 第Ⅰ卷（共 80 分） 一、单项选择题：本题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.下列说法错误的是（ ） A. 设⃗ a,⃗ b 是两个空间向量，则⃗ a,⃗ b 一定共面 B. 设⃗ a,⃗ b 是两个空间向量，则⃗ a⋅⃗ b=⃗ b⋅⃗ a C. 设⃗ a,⃗ b,⃗ c 是三个空间向量，则⃗ a,⃗ b,⃗ c 一定不共面 D. 设⃗ a,⃗ b,⃗ c 是三个空间向量，则⃗ a⋅ (⃗ b+⃗ c)=⃗ a⋅⃗ b+⃗ a⋅⃗ c 2.如果AB>0,BC>0,，那么直线Ax−By−C=0 不经过的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若直线ax+by=1与圆x2+ y2=1有两个公共点，则点P(a,b)与圆的位置关系是（ ） A.点P 在圆上 B.点P 在圆外 C.点P 在圆内 D.以上都有可能 4.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共 7 层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次 是下层个数的2 倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数 为（ ） A.1016 B.512 C.128 D.1024 5. 若双曲线 x2 4 + y2 k =1 （k 为非零常数）的离心率是√5 ，则双曲线的虚轴长是（ ） A.6 B.8 C.12 D.16 6. 设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a4+a5=24 ,S6=48 ，则{an}的公差为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 7.已知平面α={P|⃗ n⋅⃗ P0 P=0}，其中点P0(1,2,3)，法向量⃗ n=(1,1,1)，则下列各点中不在 平面α 内的是（ ） A.(3,2,1) B.(−3,4,5) C.(−2,5,4) D.(2,−4,8) 8.已知圆C : x2+ y2−6 x−2 y+6=0 上存在两个关于直线l: x+ay−1=0(a∈R)对称的 点，过点P(−3,a)作圆C 的一条切线，切点为A ，则|PA|= （ ） A.√41 B.4√3 C.7 D.2√10 9. 已知数列{an}满足a1=2，an+an+1=(−1)n ，则数列{an}前2021项和为（ ） A.−1011 B.−1010 C.1011 D.1012 10.过双曲线 x2 a2−y2 b2 =1(a>0,b>0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ， 垂线l 与另一条渐近线相交于点B .若A 是线段FB 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.√3 C.3 D.2 二、多项选择题：本题共2 小题，每小题5 分，共10 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 11．已知 是等比数列 的前 项和，下列结论一定成立的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 12.已知 为椭圆 的上顶点，以 为圆心， 为半径的圆与 的长 轴相交于 两点，与 相交于 两点.下列说法正确的是（ ） A． B． C．若 ，则椭圆的离心率为 D．若 ，且 ，则 的面积为 第Ⅱ卷（共 70 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.如图，已知四面体 分别是 的中点，且 ， ， ，则用 表示向量 . 14.某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽 8m ，一条木船宽4m ，木船露出水面上的部分高为0.75m . 水面上涨到与抛物线拱顶相距 米时，木船不能通过. 15.椭圆 x2 45 + y2 20 =1 的一个焦点是F ，过原点O 作倾斜角为 锐角的直线与椭圆相交于A ,B 两点，若Δ ABF 的面积是20，则直线AB 的方程是 . 16.已知公差不为0 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小 值为 . 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）已知抛物线C : y2=2 px( p>0)上的点P(m,2√5)到焦点F 的距离为6． （1）求m 的值及抛物线C 的标准方程； （2）若0< p<5 ，点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段FQ 的中点，试求点M 的轨 迹方程． 18.（12 分）某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方 式筹措资金，投资72 万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12 万元，以后每年都 增加4 万元，每年收入租金50 万元. （1）若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润? （2）若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目? 19．（12 分）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ， 分别是 ， 的中点， 平面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 是边长为2 的菱形，求直线 与平面 所成角的正弦值. 20．（12 分）已知Sn 为数列{an}的前n 项和，且a1=1,Sn=an+1−2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=log2 2nan+1 3 ，求数列{ 1 bnbn+1}的前n 项和T n . 21．（12 分）已知椭圆 的中心是坐标原点 ，左右焦点分别为 设 是椭圆 上一点，满足 轴， ，椭圆 的离心率为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过椭圆 左焦点 且不与 轴重合的直线与椭圆相交于 两点，求Δ ABF2内切 圆半径的最大值. （参考公式：已知Δ ABC 的三边分别是a,b,c ，且内切圆的半径是r ，则Δ ABC 的面积 SΔ ABC=1 2 r(a+b+c) ） 22．（12 分）已知数列{an}，{bn}，Sn 是数列{an}的前n 项和，已知对于任意n∈N ¿ ， 都有3an=2Sn+3 ，数列{bn}是等差数列，b1=log3a1，且b2+5,b4+1,b6−3成等比数 列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）记cn=¿{an,n=2k−1¿¿¿¿， （i）求数列{cn}的前n 项和T n； （ii）求∑ k=1 2n ck ck+1 ．