黑龙江省八校2021-2022学年高二上学期期中联合考试数学试题

2021-2022 学年度上学期八校期中联合考试 高二数学试题 本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150 分,考试时间120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、单项选择题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1. 已知空间向量 (2,1, 1), ( , 2,2) a b x     ，且a b ∥ ，则x  ( ) A. 2  B. 4  C. 2 D. 4 2. 4 m  是直线 (3 4) 3 0 mx m y    与直线2 3 0 x my   平行的 ( ) A. 充要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 1 2 , F F 是椭圆 2 2 25 6 1 1 x y   的两焦点,过点 2 F 的直线交椭圆于点A、 B， 若||8 AB  ， 则 1 1 AF BF   ( ) A. 9 B. 10 C. 12 D. 16 4. 方程  2 2 3 3 4 0 x y x     表示的曲线是 ( ) A. 一个椭圆和一条直线 B. 一个椭圆和一条射线 C.一条直线 D. 一个椭圆 5. 过点  1,3 作圆 2 2 10 x y   的切线，则切线方程为 ( ) A. 3 10 0 x y    B. 1 x  或3 10 0 x y    C. 3 10 0 x y    D. 3 y  或 3 10 0 x y    6. 如图所示的三棱锥PABC  中，D 是棱PB 的中点，已知PA 底面ABC ， 2 PABC   ， 4 AB  , ABBC  ， 则异面直线PC ，AD 所成角的正弦值为 ( ) A. 30 6 B. 30 10 C. 6 6 D. 70 10 7. 已知F 是椭圆 2 2 2 2 1 x y a b  （ 0 a b   ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点， PFx  轴， 若 1 4 PF AF  ， 则该椭圆的离心率是 ( ) A. 1 4 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 4 8. 设m R  ， 过定点A 的动直线 1 0 x my   和过定点B 的动直线 2 3 0 mx y m    交于点  , P x y ，则PA PB  的最大值为 ( ) A. 2 5 B. 6 C. 3 D. 3 2 二、多项选择题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分.) 9. 下列说法正确的是 ( ) A. 过 1 1 ( , ) x y ， 2 2 ( , ) x y 两点的直线方程为 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      B. 点(1,3) 关于直线 1 0 x y   的对称点为(2,2) C. 直线2 4 0 x y    与两坐标轴围成的三角形的面积是4 D. 经过点(1,1) 且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为 2 0 x y    10. 已知正方体 1111 ABCDABCD  的棱长为1，点 , E O 分别是 1 1 A B ， 1 1 AC 的中点，P 在 正方体内部且满足 1 1 3 2 2 4 3 AP AB AD AA    ， 则下列说法正确的是 ( ) A. BE 与平面 1 1 ABCD 所成角的正弦值是 10 5 B. 点O 到平面 1 1 ABCD 的距离是 2 2 C. 平面 1 ABD 与平面 1 1 BCD 间的距离为 3 3 D. 点P 到直线AD 的距离为5 6 11. 以下四个命题表述正确的是 ( ) A. 圆 2 2 2 x y   上有且仅有3 个点到直线: 1 0 l x y   的距离都等于 2 2 B. 已知圆 2 2 : 2 C x y   ，P 为直线 2 3 0 x y    上一动点， 过点P 向圆C 引一条切 线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为2 C. 曲线 2 2 1 : +2 0 C x y x   与曲线 2 2 2 4 8 0 C : x y x y m      ，恰有四条公切线，则 实数m 的取值范围为 4 m  D. 圆 2 2 10 10 0 y x x y     与圆 2 2 6 2 0 40 x x y y      的公共弦所在的直线方程 为 3 +10 0 x y   12. 已知椭圆 1 C ：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     与圆 2 C ： 2 2 2 x y b   ，若在椭圆 1 C 上存在 点P ， 使得由点P 所作的圆 2 C 的两条切线相互垂直， 则椭圆 1 C 的离心率可以是 ( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 1 2 D. 4 5 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.16 题第一空2 分，第二空3 分) 13. 已知||2 a  ，||1 b  ， , a b   ，则|2| a b  ________. 14. 某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m 米.现有一船，宽10m，若该船能从桥下通过， 则该船水面以上的高度不得超过________m . 15. 直线 (2)4 ykx  与曲线 2 1 4 y x 仅有一个公共点， 则实数的k 的取值范围 是________. 16. 已知椭圆 2 2 2 2 1 : 1( 0) a b x y C a b     ， 1 F 为左焦点， 1 A ， 2 A 为左、右顶点，P 是椭 圆 1 C 上任意一点， 1 PF 的最大值为3 ，直线 1 PA 和 2 PA 满足 1 2 3 4 PA PA k k  ，则椭圆 1 C 的 方程为__________，过P 作圆 2 2 2 : ( 3 3) 3 C x y    的两条切线PM 、PN ，切点分 别为M 、N 则 2 2 C M C N  的最小值为__________. 四、解答题(本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分10 分) 已知向量 ( 2, 1,3)   a ， ( 1,1,2) b  ， ( ,2,2) x  c . （1）当| | 2 2 c  时，若向量ka b  与c 垂直，求实数x 和k 的值； （2）若向量c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值. 18. (本小题满分12 分) 已知圆C 经过点  3,2 A  和  10 B , ，且圆心在直线 1 0 x y  上. （1）求圆C 的方程； （2）若直线 3 0 lkxyk ： 与圆C 交于不同的两点A ，B ，求实数k 的取值范围. 19. (本小题满分12 分) 已知直线l 经过直线2 1 0 x y   与直线 2 7 0 x y    的交点P . （1）若两定点 (6, 6) (2,4) A B 、 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； （2） 若直线l 与圆 2 2 :( 1) ( 2) 9 Q x y     相交于 , C D 两点， 求弦长的最小值及此时直 线l 的方程. 20. (本小题满分12 分) 已知动点P 与平面上点  1,0 A  ，  10 B , 的距离之和等于2 2 . (1)试求动点P 的轨迹方程C ； (2)设直线: 3 l y kx   与曲线C 交于M 、N 两点，当 8 2 7 MN  时，求直线l 的方程. 21. (本小题满分12 分) 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，D 是AB 中点，顶点A1 在底面ABC 上的射 影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2. (1) 求证：BC1∥平面A1DC； (2) 在棱B1C1上确定一点P， 使 14 AP  ， 并求出平面PAB 与平面 1 AAB 夹角的余弦值． 22. (本小题满分12 分) 设椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y M a b a b     的左顶点为A 、 中心为O ， 若椭圆M 过点 1 1 , 2 2 P       ， 且APPO  ． （1）求椭圆M 的方程； （2）过点A 作两条斜率分别为 1 k ， 2 k 的直线交椭圆M 于D ，E 两点，且 1 2 1 k k ， 求证：直线DE 恒过一个定点． D B C A A1 C1 B1 1 / 3 高二数学期中试卷参考答案 (答案仅供参考,其它解法请酌情给分) 一. 选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C C A D D A BC ACD AB AD 二. 填空 13. 2 14. 536  15. 3 5 , 4 12              16. 2 2 4 3 1 x y  ； 21 8  三 .解答题 17. 解：(1)因为||22 c  ,所以 2 2 2 2 2 2 2 0 x x      -------2 分 且kab   ( 2 1,1 ,3 2) k k k     . 因为向量kab  与c 垂直, 所以( ) 0 ka b c    . 即460 k   ， 3 2 k  -------4 分 所以,实数x 和k 的值分别为0 和 3 2  .-------5 分 (2)因为向量c 与向量a ，b 共面,所以设c a b     （, R  ）. -------7 分 因为( ,2,2) ( 2, 1,3) ( 1,1,2) x        , 2 , 2 , 2 3 2 , x                所以 , , 4 5 5 . 2 8 5 x              -------9 分 所以实数x 的值为 4 5  .-------10 分 18. 解:（1）因为圆心C 在直线 1 0 x y   上，所以设圆心 ( , 1 ) C a a  ， 因为点, A B 是圆上两点，所以CA CB  ， 根据两点间距离公式，有 2 2 2 2 ( 3) ( 1 2) ( 1) ( 1 ) a a a a       ， 解得 1 a . 所以，圆心 (1,2) C  -------------4 分 圆的半径 2 2 (1 3) ( 2 2) 2 r AC      -------5 分 所以,所求圆的方程为 2 2 ( 1) ( 2) 4 x y     .-------6 分 （2）因为直线 3 0 l kx y k    ： 与圆O 交于不同的两点, A B ， 所以，圆心O 到直线l 的距离 2 3 1 1 k d k     ，-------9 分 即 2 3 1 k k    ， 解得 4 3 k  -------11 分 所以实数k 的取值范围是4 ( , ) 3 -------12 分 19. 解:（1）2 1 0 2 7 0 x y x y        ，解得 (1,3) P -------1 分 当直线l 与直线AB 平行时，   4 6 5 2 6 2 AB k     方程为   5 3 1 2 y x    ，即5 2 11 0 x y    ；-------3 分 2 / 3 当直线l 经过线段AB 中点(4,1)  ，   3 1 4 143 l k   ， 方程为   4 3 1 3 y x    ，即43130 x y  .-------5 分 所以，直线l 方程为52110 x y  或43130 x y  .-------6 分 （2）当弦CD 与PQ 垂直时，弦长最小，-------8 分 此时 231 112 PQ k     ，故 2 CD k ， 此时直线l 方程为250 x y  .----------10 分 圆心到直线距离 2 2 | 2( 1) 2 5| 5 2 1 d       ， 弦长 2 2 2 2 9 5 4 CD r d      .-------11 分 所以，弦长最小值为4，直线l 方程为2 5 0 x y    .-------12 分 20. 解: （1）设点P 的坐标为(,) x y 2 2 2 PA PB AB     由椭圆定义可知点P 轨迹是以 , A B 为焦点的椭圆-------3 分  2 a  ， 1 c  2 2 2 1 b a c     动点P 的轨迹方程C 为： 2 2 1 2 x y  -------5 分 （2）将直线: 3 l y kx   代入椭圆方程得:   2 2 1 2 4 3 4 0 k x kx     ,   2 2 4 3 4 4 (1 2 ) 0 k k     ,即 , 设   1 1 , M x y ，   2 2 , N x y 1 2 2 4 3 1 2 k x x k    ， 1 2 2 4 1 2 x x k  -------7 分     2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 48 16 1 4 1 1 2 1 2 4 (1 )( 1) 8 2 1 2 7 k MN k x x x x k k k k k k                  4 2 1732570 k k  , 3 k  -------11 分 直线l 的方程为： 3 3 y x  -------12 分 21.（1）证明：连接 1 AC 交 1 AC 于点E ,连接DE 在三棱柱ABC－A1B1C1中 侧面 1 1 AACC 是平行四边形 E 是 1 AC 的中点 D 是AB 中点 1 / / DE BC  DE 平面 1 ADC ， 1 BC 平面 1 ADC  1 / / BC 平面 1 ADC -------------4 分 （2）以A 为坐标原点，以AC ，AB 所在直线分别为x 轴， y 轴，过点A 作 1 B A 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz (0,0,0) A , (0,2,0) B ， (2,0,0) C ， 1(0,2,2) A , 1(0,4,2) B (0,2,0) AB  , 1 1 (2, 2,0) BC BC    ， 1 (0,2,2) BB  设 1 1 1 (2 , 2 ,0) B P BC       ，(0 )   -------------5 分  1 1 (2 ,4 2 ,2) AP AB BB B P        (或 1 1 (2 ,4 2 ,2) AP AB AA B P        ) 2 2 4 (4 2 ) 4 14 AP        D B C A A1 C1 B1 z x y ------------9 分 3 / 3 解得 1 2  ，即P 为 1 1 B C 中点-------6 分 设 (,,) nxyz  为平面PAB的一个法向量， (0,2,0) AB  ， (1,3,2) AP  ， · 2 0 · 3 2 0 n y n AP x y AB z          ，令 1 z ， 2 x  ∴ ，   1 2,0,1 n  ，-------8 分 因为x 轴平面 1 A AB , 设 2 (1,0,0) n  为平面 1 AAB 的一个法向量-------9 分 1 2 1 2 1 2 · 2 1 2 cos cos , 5 5 · 1 5 n n n n n n        ，-------11 分 所以，P 为 1 1 B C 中点，平面PAB与平面 1 AAB 夹角的余弦值为2 5 5 ．-------12 分 22. 解:（1）由AP OP  ，可知 1 AP OP k k  ， 又由A 点坐标为(, 0) a  ，故 1 1 2 2 1 1 1 2 2 a      ， 解得 1 a -----------2 分 因为椭圆M 过P 点，故 2 1 1 1 4 4b  ， 解得 2 1 3 b  -------3 分 所以，椭圆M 的方程为 2 2 1 1 3 y x  ．-------4 分 （2）由点