江苏省如皋市2021-2022学年度高二年级第二学期 期初调研 数学

如皋市2021-2022 学年度高二年级第二学期期初调研测试 数 学 试 题 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称 之为“三角垛”.其最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，…，则 第十层球的个数为（ ▲ ）. A. 45 B. 55 C. 90 D. 110 2. “椭圆 的离心率为 ”是“ ”的（ ▲ ）. A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在等比数列 中， ， ， 是 的前n 项和，则 （ ▲ ）. A. 15 B. 31 C. 48 D. 63 4. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下 半部分为同底圆柱，其中总高度为 ，圆柱部分高度为 ，已知该陀螺由密 度为 的木质材料做成，其总质量为 ，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ▲ ）. A. B. C. D. 5. 圆C： 上的动点P 到直线l： 的距离的最大值是（ ▲ ）. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵 中， 若 ， ，点P 为线段 的中点，则点P 到平面 的距离为（ ▲ ）. A. 3 B. 1 C. D. 7. 若 ，则 （ ▲ ）. A.22 B. 19 C. D. 8. 过双曲线 的右焦点 F 作直线 l，且直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直， 垂足为 A，直线 l 与另一条渐近线交于点 已知 O 为坐标原点，若 的内切圆的半径为 ，则双曲线 C 的离心率为（ ▲ ）. A. B. C. 或4 D. 或2 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有项选错得0 分. 9. 已知 为等差数列 的前n 项和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ▲ ）. A. B. 是先递减后递增的数列 C. 是 和 的等比中项 D. 的最小值为 10. A、B、C、D、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ▲ ）. A.若A、B 两人站在一起有48 种方法 B. 若A、B 不相邻共有12 种方法 C. 若A 在B 左边有60 种排法 D. 若A 不站在最左边，B 不站最右边，有72 种方法 11. 如图所示，在棱长为1 的正方体 中， P， Q 分别为棱 AB， BC 的中点，则以下四 个结论正确的是（ ▲ ）. A. 棱 上存在一点M，使得 平面 B. 直线 到平面 的距离为 C. 过 且与面 平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过 PQ 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 12. 已知抛物线 C： 与圆 O： 交于 A， B 两点，且 ，直线l 过 C 的 焦点 F，且与 C 交于 M， N 两点，则下列说法中正确的是（ ▲ ）. A. 若直线l 的斜率为 ，则 B. 的最小值为 C. 若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为 ，则点M 的横坐标为 D. 若点 ，则 周长的最小值为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13. 将5 名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰､短道速滑､高山滑雪3 个项目进行培训，每名志愿者只 分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲､乙两名志愿者必须分配在一起，则共有种 不同的分配方式 ▲ . 14. 过双曲线 的右焦点F 作渐近线 的垂线，垂足为M，与双曲线的左、 右两支分别交于 两点，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ . 15. 数列 满足 ，若 ，则前12 项的和 ▲ . 16. 过直线 上一点P 作圆 的切线 、 ，切点为 ，则直线AB 过定 点 ▲ ，若AB 的中点为D，则点D 的轨迹方程为 ▲ . （本小题第一空2 分，第二空3 分） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17. （本小题满分10 分） 已知数列 满足 ， （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前n 项和. 18. （本小题满分12 分） 如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，且ABCD 是直角梯形， ， ，点E 是PB 的中点. （1）证明：直线 平面PAC； （2）者直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为 ，求三棱 锥 的体积. 19. （本小题满分12 分） 已知数列 满足 ， （1）求 的值； （2）记 ，证明：数列 为等比数列． 20. （本小题满分12 分） 已知抛物线 过点 ，其焦点为F，且 （1）求抛物线C 的方程； （2）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆 相切，切点分别为 ，求证： 三点共线． 21. （本小题满分12 分） 在四棱锥 中， ， ， ， ， 为正三角形，且平面 平面 （1）求二面角 的余弦值； （2）线段PB 上是否存在一点 不含端点，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为 ？ 若存在，指出点M 的位置；若不 存在，请说明理由. 22. （本小题满分12 分） 如图，已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，F；A，B 分别是椭圆C 的左， 右顶点，短轴长为 ，长轴长是焦距的2 倍，过右焦点F 且斜率为 的直线l 与椭圆C 相 交于M，N 两点． （1）若 时，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的值； （2）记直线AM，BN 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 使 成立，若存在，求出 的 值， 若不存在，请说明理由．